3. Rozwiązywanie równań liniowych

Jednym z najstarszych dokumentów matematycznych, który opisuje sposób rozwiązywania równań, jest Papirus Rhinda. Został on sporządzony w XVII wieku p.n.e. przez egipskiego pisarza Ahmesa. Papirus został odnaleziony w wyniku nielegalnych prac wykopaliskowych we wnętrzu piramidy Ramzesa II w ruinach egipskiego starożytnego miasta Teby, a następnie zakupiony przez Szkota Aleksandra Henryego Rhinda w $1858$ roku.

RU3KDEE6FRS1D

Ilustracja przedstawia stary papirus. Jest to fragment papirusu Rhinda. Papirus ten jest zniszczony, widoczne są w nim dziury, jest również postrzępiony. Na papirusie zachowały się jednak różne napisy, szkice oraz znaki w obcym języku, napisane i narysowane przy użyciu tuszu..

Szerokość papirusu wynosi $33$ centymetry, a długość około $5,25$ metrów. Papirus zawiera $87$ zadań, popartych przykładami  z różnych dziedzin matematyki, np.: z algebry i geometrii.

Przykłady zadań, które znajdują się na papirusie

1. Suma pewnej wielkości i jej dwóch trzecich i jeszcze jej jednej siódmej wynosi $37$. Jaka to liczba?

2. Znajdź taką wielkość, która powiększona o swoją siódmą część da liczbę $19$.

Rozwiązując równania można wykorzystać metodę równań równoważnychrównania równoważnerównań równoważnych. Dwa równania nazywamy równoważnymi, jeśli mają takie same zbiory rozwiązańzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomązbiory rozwiązań . Przekształacjąc równianie do równania równoważnego staramy się doprowadzić do postaci prostszej tak, aby uzyskanie rozwiązania było łatwiejsze. W przypadku równań w postaci proporcji rozwiązywanie równań zawierających mianownik metodą równań równoważnych sprowadza się do uproszczenia proporcji.

W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, czyli:

R4HKEGXPD89TD

Ilustracja przedstawia twierdzenie matematyczne, które głosi, że jeżeli a podzielone przez b jest równe c podzielone przez d, to a razy d jest równe b razy c.

Rozwiązując równania możemy spotkać się z wyrażeniami zawierającymi nawiasy. W matematyce wyróżniamy nawiasynawiasy w matematycenawiasy:

• okrągłe $($$)$,

• kwadratowe $[$$]$,

• klamrowe $\{$$\}$.

Nawiasów pozbywamy się zaczynając od najbardziej wewnętrznego. Jeżeli pozbędziemy się nawiasu okrągłego, to nawias kwadratowy możemy zastąpić nawiasem okrągłym, a klamrowy - nawiasem kwadratowym.

Pamiętaj, że nie zawsze jest tak, że rozwiązaniem równania stopnia pierwszego  jest jedna liczba.

Podział równań ze względu na liczbę rozwiązań:

Animacje multimedialne

Przeanalizuj przedstawioną w animacji metodę rozwiązywania równań zawierających mianownik. Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania, gdy niewiadoma znajduje się w mianowniku.

R1HS6DRJKJBBO

Animacja przedstawia metodę rozwiązywania równań zawierających mianownik. W metodzie tej mnoży się obie strony równania przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników elementów równania. W przykładzie 1 wskazuje się na konieczność wyznaczenia dziedziny równań, jeżeli niewiadoma występuje w mianowniku któregokolwiek z elementów równania. W przykładzie drugim efektem rozwiązywania równania jest sprzeczność, co oznacza, ze równanie nie ma rozwiązania. W przykładzie trzecim sprawdza się, czy rozwiązanie jednego równania spełnia drugie równanie poprzez rozwiązanie obu równań, i porównanie rozwiązań. Rozwiązania różne od siebie wskazują, ze rozwiązanie jednego równania nie spełnia równania drugiego.

Animacja przedstawia metodę rozwiązywania równań zawierających mianownik. W metodzie tej mnoży się obie strony równania przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników elementów równania. W przykładzie 1 wskazuje się na konieczność wyznaczenia dziedziny równań, jeżeli niewiadoma występuje w mianowniku któregokolwiek z elementów równania. W przykładzie drugim efektem rozwiązywania równania jest sprzeczność, co oznacza, ze równanie nie ma rozwiązania. W przykładzie trzecim sprawdza się, czy rozwiązanie jednego równania spełnia drugie równanie poprzez rozwiązanie obu równań, i porównanie rozwiązań. Rozwiązania różne od siebie wskazują, ze rozwiązanie jednego równania nie spełnia równania drugiego.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1HS6DRJKJBBO

Animacja przedstawia metodę rozwiązywania równań zawierających mianownik. W metodzie tej mnoży się obie strony równania przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników elementów równania. W przykładzie 1 wskazuje się na konieczność wyznaczenia dziedziny równań, jeżeli niewiadoma występuje w mianowniku któregokolwiek z elementów równania. W przykładzie drugim efektem rozwiązywania równania jest sprzeczność, co oznacza, ze równanie nie ma rozwiązania. W przykładzie trzecim sprawdza się, czy rozwiązanie jednego równania spełnia drugie równanie poprzez rozwiązanie obu równań, i porównanie rozwiązań. Rozwiązania różne od siebie wskazują, ze rozwiązanie jednego równania nie spełnia równania drugiego.

Galeria zdjęć interaktywnych

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Spróbuj samodzielnie rozwiązać podany przykład. Sprawdź poprawność Twojego rozwiązania z rozwiązaniem przedstawionym na interaktywnych zdjęciach. Przeczytaj wskazówki umieszczone na slajdach.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik