• Wybierzesz równania opisujące dany problem przedstawiony w zadaniu.

• Zapiszesz i rozwiążesz równania opisujące dane zależności.

• Uzupełnisz wyrażeniami algebraicznymi dane w tabeli, opisujące warunki zadania.

• Zapiszesz i rozwiążesz równania opisujące dane zależności.

• Przedstawisz wyrażenia algebraiczne opisujące kolejne liczby parzyste, nieparzyste, podzielne przez daną liczbę lub takie, które w wyniku dzielenia przez daną liczbę mają określoną resztę.

• Zapiszesz i rozwiążesz równanie opisujące dane zależności między liczbami.

Opakowanie wypełnione cukierkami waży $1 \mathrm{kg}$.

Oblicz, ile waży samo opakowanie, a ile cukierki z opakowania, jeśli pięć pustych opakowań waży tyle samo, co cukierki z jednego opakowania.

Aby obliczyć wagę opakowania i wagę cukierków, musimy ułożyć i rozwiązać równanie.

W tym celu jako $x$ oznaczymy masę cukierków, a jako $1-x$ masę opakowania.

Ponieważ pięć pustych opakowań waży tyle samo, co cukierki z jednego opakowania, zatem możemy zapisać równanie:

$5\left(1-x\right)=x$

Rozwiążemy teraz równanie z niewiadomą $x$.

$5\left(1-x\right)=x$

$5-5x=x$

$-6x=-5$

$x=\frac{5}{6}$

$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$

Opakowanie waży $\frac{1}{6} \mathrm{kg}$, a cukierki $\frac{5}{6} \mathrm{kg}$.

Do pracowni matematycznej zakupiono krzesła i stoły za łączną kwotę $6080 \mathrm{zł}$. Krzesła kosztowały $120 \mathrm{zł}$ za sztukę i stoły $280 \mathrm{zł}$ za sztukę.

Ile zakupiono krzeseł i stołów, jeżeli wiadomo, że przy każdym stole stoją cztery krzesła?

Oznaczmy przez $x$ liczbę zakupionych stołów. Wówczas liczba zakupionych krzeseł jest równa $4x$.

Możemy zapisać i rozwiązać równanie:

$x·280+4x·120=6080$

$280x+480x=6080$

$760x=6080$

$x=8$

$4x=32$

Do pracowni matematycznej zakupiono $8$ stołów i $32$ krzesła.

Banknot $100 \mathrm{zł}$ rozmieniono na monety o nominale $2 \mathrm{zł}$ i $5 \mathrm{zł}$.

Ile było monet każdego rodzaju, wiedząc, że wszystkich monet było $29$?

Jeżeli za $x$ przyjmiemy liczbę monet o nominale $2 \mathrm{zł}$, to monet o nominale $5 \mathrm{zł}$ będzie $29-x$.

Zatem zapiszemy równanie:

$2x+5\left(29-x\right)=100$

$2x+5·29-5x=100$

$2x+145-5x=100$

$-3x=100-145$

$-3x=-45$

$x=15$

$29-15=14$

Monet $2 \mathrm{zł}$ było $15$, a monet pięciozłotowych było $14$.

Za $60$ lat Ania będzie $6$ razy starsza niż dziś. Ile lat ma obecnie Ania?

Przed zapisaniem równania wprowadzimy oznaczenia. Niech $x$ oznacza obecny wiek Ani. Za $60$ lat Ania będzie miała $x+60$ lat.

Zauważymy, że w zadaniu jest podana informacja, że za $60$ lat Ania będzie $6$ razy starsza, niż obecnie. Czyli możemy również powiedzieć, że za $60$ lat Ania będzie miała $6x$ lat.

Zatem:

$x+60=6x$

$5x=60$

$x=12$.

Ania ma $12$ lat.

Janek ma $17$ lat, a Wojtek jest o $4$ lata młodszy od Janka. Za ile lat chłopcy będą mieli wspólnie $50$ lat?

Analizę zadania przedstawimy w tabeli.

Zatem możemy zapisać równanie:

$17+x+13+x=50$

$30+2x=50$

$2x=50-30$

$2x=20$

$x=10$

Za $10$ lat chłopcy będą mieli wspólnie $50$ lat.

Wnuczka ma tyle miesięcy, ile babcia lat. Razem mają $65$ lat. Ile lat ma babcia, a ile wnuczka?

Oznaczymy przez $x$ liczbę lat babci i liczbę miesięcy wnuczki.

Zapiszemy równanie: $x+\frac{x}{12}=65$.

Pomnożymy obie strony równania przez $12$.

$12x+x=780$

$13x=780$

Rozwiązaniem równaniarozwiązanie równaniaRozwiązaniem równania jest:

$x=60$

Babcia ma $60$ lat, a wnuczka $60$ miesięcy. Aby wyrazić w latach wiek wnuczki, należy wykonać działanie:

$60:12=5$

Zatem babcia ma $60$ lat, a wnuczka $5$ lat.

Obliczymy średnią prędkość jazdy samochodu, który dystans $40 \mathrm{km}$ pokonał w $20$ minut.

Wynik podamy w $\left[\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right]$.

Najpierw ustalimy jednostki.

$t=20 \min =\frac{20}{60} \mathrm{godziny}=\frac{1}{3} \mathrm{h}$

$s=40 \mathrm{km}$

Następnie obliczymy średnią prędkość samochodu.

$v=\frac{s}{t}$

$v=\frac{40 \mathrm{km}}{\frac{1}{3} \mathrm{h}}$

$v=40 \mathrm{km}·3 \frac{1}{\mathrm{h}}$

$v=120 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Średnia prędkość samochodu jest równa $120 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Obliczymy długość drogi, jaką pokonał Krzysztof, jeżeli przez $12$ minut biegł z prędkością $12 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Wiemy, że:

$v=12 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

$t=12 \min =\frac{12}{60} \mathrm{godziny}=\frac{1}{5} \mathrm{h}$

Korzystając ze wzoruwzór na drogę w ruchu jednostajnymwzoru $s=v·t$ obliczamy długość drogi.

$s=12 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}·\frac{1}{5} \mathrm{h}$

$s=\frac{12}{5} \mathrm{km}$

$s=2\frac{2}{5} \mathrm{km}$

$s=2,4 \mathrm{km}$

Krzysztof przebiegł drogę długości  $2,4 \mathrm{km}$.

Pan Jan jechał samochodem ze średnią prędkością $40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ przez $30$ minut, a pan Tadeusz jechał ze średnią prędkością o $20\%$ większą niż pan Jan, ale przez okres o $20\%$ krótszy od pana Jana. Który z nich pokonał większy dystans? O ile kilometrów?

Niech:

$40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ – prędkość samochodu pana Jana,

$30 \min =\frac{1}{2} \mathrm{h}$ – czas podróży pana Jana,

$40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}+20\%·40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ – prędkość samochodu pana Tadeusza,

$\frac{1}{2} \mathrm{h}-20\%·\frac{1}{2} \mathrm{h}$ – czas podróży pana Tadeusza.

Obliczymy dystans, jaki pokonał pan Jan.

$s=v·t$

$s=40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}·\frac{1}{2} \mathrm{h}$

$s=20 \mathrm{km}$

Czas podróży pana Tadeusza to:

$\frac{1}{2} \mathrm{h}-0,2·\frac{1}{2} \mathrm{h}=\frac{1}{2} \mathrm{h}-\frac{1}{5}·\frac{1}{2} \mathrm{h}=\frac{1}{2} \mathrm{h}-\frac{1}{10} \mathrm{h}=\frac{4}{10} \mathrm{h}=\frac{2}{5} \mathrm{h}$.

Prędkość jazdy pana Tadeusza to:

$40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}+0,2·40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}+8 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=48 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Obliczymy dystans, jaki pokonał pan Tadeusz.

$s=v·t$

$s=48 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}·\frac{2}{5} \mathrm{h}=19,2 \mathrm{km}$.

$20-19,2=0,8 \mathrm{km}$.

Pan Jan pokonał dystans dłuższy o $0,8 \mathrm{km}$.

Z miejscowości $A$ do miejscowości $B$ wyruszył na rowerze Tomek, który jechał z prędkością $10 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Dwie godziny później z tej samej miejscowości i w tym samym kierunku wyjechał na rowerze Marcin, który poruszał się z prędkością $12 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Obaj chłopcy dotarli jednocześnie do miasta $B$. Jaka jest odległość między miejscowościami $A$ i $B$?

Niech $s$ w km oznacza szukaną odległość.

Zatem:

$\frac{s}{10} \mathrm{h}$ – czas przejazdu Tomka,

$\frac{s}{12} \mathrm{h}$ – czas przejazdu Marcina.

Porównując czasy chłopców możemy zapisać i rozwiązać równanie.

$\frac{s}{10}-2=\frac{s}{12} |·60$

$6s-120=5s$

$s=120$

Odległość między miejscowościami $A$ i $B$ wynosi $120 \mathrm{km}$.

Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z tego samego miejsca, ale w przeciwnych kierunkach. Jaka będzie odległość między nimi, po $3$ godzinach, jeżeli pierwszy jedzie z prędkością $40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, a drugi $50 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$?

W ciągu jednej godziny odległość między samochodami jest równa $50+40=90 \mathrm{km}$.

Zatem po trzech godzinach odległość w $\left[\mathrm{km}\right]$ będzie równa $90\cdot 3=270$.

Jan i Mateusz wyjechali równocześnie naprzeciw siebie na rowerach ze swoich domów oddalonych o $40 \mathrm{km}$ . Spotkali się po $1$ godzinie i $20$ minutach. Obliczymy, z jaką średnią prędkością poruszał się każdy z chłopców oraz jaką drogę pokonali do momentu spotkania, jeżeli wiadomo, że Jan jechał z prędkością o $6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ większą od Mateusza.

Niech :

$v$ – prędkość z jaką poruszał się Mateusz,

$v+6$ – prędkość z jaką poruszał się Jan,

$1\frac{1}{3} \mathrm{h}$ – czas jazdy każdego z  chłopców,

$s$ – długość drogi jaką przebył Mateusz w $\left[\mathrm{km}\right]$,

$40-\mathrm{s}$ – długość drogi jaką przebył Jan w $\left[\mathrm{km}\right]$.

Zapiszemy równanie opisujące prędkość jazdy Jana i Mateusza.

$v=\frac{s}{1\frac{1}{3}}$

$v+6=\frac{40-s}{1\frac{1}{3}}$

$v=\frac{40-s}{1\frac{1}{3}}-6$

$\frac{s}{\frac{4}{3}}=\frac{40-s}{\frac{4}{3}}-6 |·\frac{4}{3}$

$s=40-s-6·\frac{4}{3}$

$s=40-s-8$

$2s=32$

$s=16$ – czyli Mateusz przejechał $16 \mathrm{km}$

$40-s=24$ – czyli Jan przejechał $24 \mathrm{km}$

Teraz obliczymy prędkość jazdy każdego z  chłopców.

$v=\frac{16}{\frac{4}{3}}=16·\frac{3}{4}=12$

$v+6=12+6=18$

Jan jechał z prędkością $18 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ i pokonał trasę długości $24 \mathrm{km}$. Mateusz jechał z prędkością $12 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ i pokonał trasę długości $16 \mathrm{km}$.

R1F4OK3KO25F91

Grafika przedstawia niebieską liczbę 24 z żółtym konturem na białym tle.

Obliczymy trzy kolejne liczby całkowite podzielne przez $2$, których suma jest równa $-54$.

Najpierw przypomnimy sobie, jak  zapisujemy liczbę podzielną przez dwa. Jeżeli $k$ jest dowolną liczbą całkowitą, to liczbę podzielną przez dwaliczba parzystaliczbę podzielną przez dwa można przedstawić w postaci $2k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Kolejne po $2k$ liczby podzielne przez dwa to:

$2k+2$, $2k+4$, $2k+6$, $2k+8$ itd.

Zapiszemy i rozwiążemy równanie opisujące warunki zadania.

$2k+2k+2+2k+4=-54$

$6k+6=-54$

$6k=-54-6$

$6k=-60$

$k=-10$

Czyli:

$2k=-20$, $2k+2=-18$, $2k+4=-16$.

Zatem szukane liczby  to $-20$, $-18$, $-16$.

R45RRSRM9KN581

Zdjęcie przedstawia fragment drewnianych drzwi, na których wisi metalowa kwadratowa tabliczka z numerem 19.

Znajdziemy trzy kolejne liczby nieparzysteliczba nieparzystaliczby nieparzyste wiedząc, że suma dwóch pierwszych liczb jest o $25$ większa od trzeciej liczby.

Skoro liczbę parzystą oznaczamy $2k$ dla $k\in \mathrm{N}$, to liczbę nieparzystą możemy przedstawić jako $2k-1$, $k\in {\mathrm{N}}_{+}$.

Zatem możemy zapisać równanie: $2k-1+2k+1=2k+3+25$.

$4k=2k+28$

$2k=28$

$k=14$

$2k-1=27$

$2k+1=29$

$2k+3=31$

Szukane liczby nieparzyste to $27$, $29$ i $31$.

Pewną naturalną liczbę $x$ powiększono najpierw o $30\%$, a następnie otrzymaną liczbę zmniejszono o $40\%$. W ten sposób otrzymano liczbę $18,72$.

Jaka to liczba?

Zapiszemy równanie opisujące daną sytuację.

Najpierw liczbę $x$ pomnożymy przez $1,3$, a potem powstałą liczbę pomnożymy przez $0,6$.

$\left(x·1,3\right)·0,6=18,72$

Rozwiążemy równanie.

$0,78·x=18,72$

$x=24$

Szukana liczba to $24$.

Znajdziemy cztery kolejne liczby niepodzielne przez $5$ wiedząc, że ich suma jest równa $510$.

Zastanowimy się najpierw, jak zapisać liczby niepodzielne przez $5$.

Jeżeli liczba jest podzielna przez $5$, to możemy ją przedstawić w postaci $5n$, $n\in \mathbb{N}$.

Jeżeli liczba ma być niepodzielna przez $5$, to znaczy, że w wyniku dzielenia przez $5$ otrzymamy resztę.

Reszta ta może być równa odpowiednio $1$, $2$, $3$, $4$.

Czyli liczby niepodzielne przez $5$ możemy przedstawić w postaci:

$5n+1$, $5n+2$, $5n+3$, $5n+4$.

Zatem równanie opisujące warunki zadania to:

$5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=510$

$20n+10=510$

$20n=500$

$n=25$

$5n+1=5·25+1=126$

$5n+2=127$

$5n+3=128$

$5n+4=129$

Zatem szukane liczby to $126$, $127$, $128$, $129$.

W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest $3$ razy mniejsza niż cyfra jedności.

Wyznaczymy tę liczbę wiedząc, że kwadrat sumy jej cyfr wynosi $144$.

Niech:
$x$ – cyfra dziesiątek,
$3x$ – cyfra jedności szukanej liczby.
$x+3x$ – suma cyfr szukanej liczby.

Zatem:

${\left(x+3x\right)}^2=144$

${\left(4x\right)}^2=144$

Pierwiastkując obie strony równania otrzymujemy: $4x=12$ lub $4x=-12$.

Ponieważ $x$ jest cyfrą dziesiątek, więc ujemne rozwiązanie równania kwadratowego możemy pominąć.

$4x=12$

$x=3$

$3x=9$

Zatem szukana liczba to $39$.

równania, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań

grecki matematyk żyjący w $\text{III}$ wieku n.e. w Aleksandrii

liczba, która spełnia dane równanie

gdzie:
$s$ – długość drogi w $\left[\mathrm{km}\right]$,
$v$ – prędkość poruszania sie ciała w $\left[\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right]$,
$t$ – czas trwania ruchu w $\left[\mathrm{h}\right]$

liczba postaci $2n$ dla dowolnego $n\in \mathrm{N}$

liczba postaci $2n+1$ dla dowolnego $n\in \mathrm{N}$