1. Nierówności liniowe

RHElP1JlyC2e3

Jedną z ważnych operacji w matematyce jest porównywanie liczb lub wyrażeń algebraicznych. Na przykład nierówność $- 3 > - 12$ jest prawdziwa, a nierówność $\sqrt{2} \geq 1, 42$ jest fałszywa.

Patrząc na wagę, która nie pozostaje w równowadze, możesz spróbować zgadnąć, ile maksymalnie może ważyć jedna cytryna. Co trzeba zrobić, aby przekonać się czy to prawda?

R36GOR94GMHTK

Na ilustracji znajduje się waga. Waga po swojej lewej stronie na którą przeważa ma dwie cytryny. Po prawej stronie waga ma dwa obciążniki jeden ważący dwadzieścia, a drugi dziesięć dekagramów. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

W tym materiale dowiesz się jak powstają nierówności i jak zapisywać związki między wyrażeniami algebraicznymi za pomocą nierówności.

Twoje cele

Rozpoznasz nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Porównasz zapis matematyczny nierówności z opisem słownym.
Opiszesz za pomocą nierówności sytuację przedstawioną graficznie lub słownie.
Poznasz pojęcia: rozwiązanie nierówności i zbiór rozwiązań nierówności.
Sprawdzisz, czy dana liczba spełnia nierówność.
Określisz zbiór rozwiązań nierówności.

Na wadze szalkowej zostały ułożone:

trzy opakowania ciastek,
jeden odważnik $1$ – kilogramowy,
jeden odważnik $0, 5$ – kilogramowy.

Na lewej szalce znajdują się dwa opakowania ciastek i jeden odważnik $0, 5 kg$ , natomiast na prawej szalce jest jedno opakowanie ciastek i odważnik $1 kg$ .

W sytuacji, gdy waga przechylona jest na lewą stronę, masa przedmiotów umieszczonych na lewej szalce jest większa od masy przedmiotów umieszczonych na prawej szalce. Zatem masa dwóch opakowań ciastek i odważnika $0, 5 kg$ jest większa od masy jednego opakowania ciastek i odważnika $1 kg$ .

Jeżeli oznaczysz przez $x$ masę jednego opakowania ciastek to odpowiednio masę przedmiotów umieszczonych na lewej i prawej szalce wagi przedstawimy za pomocą następujących wyrażeń algebraicznych:

lewa strona wagi: $2 x + 0,5$

prawa strona wagi: $x + 1$

Pamiętając o tym, że waga jest przechylona na lewą stronę, możemy zapisać:

2 x + 0,5 > x + 1

Taki zapis nazywamy nierównością, a występującą w nim szukaną wielkość $x$ nazywamy niewiadomą.

Przykład 1

Lena miała banknot $10 zł$ . Kupiła kilka kartonów soku pomarańczowego po $2, 50 zł$ każdy.

W sklepie otrzymała ponad $2 zł$ reszty. Ile kartonów soku pomarańczowego kupiła Lena?

Jeżeli Lena otrzymała ponad $2 zł$ reszty, to za soki zapłaciła mniej niż $8 zł$ . Mogła zatem kupić co najwyżej trzy kartony soku pomarańczowego.

Warunek ten można opisać za pomocą nierówności:

10 - 2, 5 \cdot x < 8,

gdzie:
$x$ – oznacza liczbę kartonów soku pomarańczowego zakupionych przez Lenę.

Ważne!

Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem $>$ , $<$ , $\leq$ , $\geq$ nazywamy nierównością algebraiczną.

Przykłady nierówności algebraicznych:

$3 x^{3} - 5 > 2 x$
$3 a b > 4 a^{2}$
$2 x + 5 \leq x - 1$
$3 x y z < 1$
$7 z^{5} \geq 2 z - 9$ .

Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Definicja: Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Nierównością pierwszego stopnia (liniową) z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Np.:

$2 x - 3 \leq 7 + x$
$2 \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} < 4 x$
$x \leq 0$
$- 2 x + 3 \geq x - 6$ .

Nierówności, w których występują znaki $<$ lub $>$ nazywamy nierównościami ostrymi.

Nierówności, w których występują znaki $\leq$ lub $\geq$ nazywamy nierównościami nieostrymi.

Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomąNierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą jest to nierówność, którą można sprowadzić do postaci:

$a x + b > 0$ lub $a x + b \geq 0$

gdzie:
$a$ i $b$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistym oraz $a \neq 0$ .

Przykład 2

Suma trzech kolejnych liczb niepodzielnych przez $4$ jest mniejsza od $105$ . Zapiszemy nierówność, która pozwoli wyznaczyć trójkę największych takich liczb. Trzy kolejne liczby niepodzielne przez 4 możemy zapisać w następujący sposób:

$4 n + 1$ , $4 n + 2$ , $4 n + 3$ , dla $n \in N$ .

Zatem nierówność będzie miała postać:

$4 n + 1 + 4 n + 2 + 4 n + 3 < 105$ .

Ważne!

Liczba spełnia daną nierówność, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach nierówności, otrzymamy nierówność arytmetyczną prawdziwą.

Przykład 3

Podstawimy do lewej i prawej strony nierówności $x - 8 \geq 2 - x$ w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $(- 2)$ , a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, czy fałszywą.

$x - 8 \geq 2 - x$ , $x = (- 2)$

Po podstawieniu liczby $(- 2)$ w miejsce niewiadomej $x$ do lewej strony nierówności otrzymujemy wyrażenie.

$L = - 2 - 8 = (- 10)$

Po podstawieniu liczby $(- 2)$ w miejsce niewiadomej $x$ do prawej strony nierówności otrzymujemy wyrażenie.

$P = 2 - (- 2) = 4$

Lewa strona nierówności przyjmuje dla $x$ równego $(- 2)$ mniejszą wartość niż prawa strona. Wynika stąd, że $L < P$ . Zatem po podstawieniu liczby $(- 2)$ do obu stron nierówności otrzymaliśmy nierówność fałszywą.

Liczba $(- 2)$ nie spełnia tej nierówności.

Przykład 4

Podstawmy do lewej i prawej strony nierówności $3 x - 2 < 5 - x$ w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $1$ , a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, czy fałszywą.

$3 x - 2 < 5 - x$ , $x = 1$

Po podstawieniu liczby $1$ w miejsce niewiadomej $x$ do lewej strony nierówności otrzymujemy wyrażenie.

$L = 3 \cdot 1 - 2 = 1$

Po podstawieniu liczby $1$ w miejsce niewiadomej $x$ do prawej strony nierówności otrzymujemy wyrażenie.

$P = 5 - 1 = 4$

Lewa strona nierówności przyjmuje dla $x$ równego $1$ mniejszą wartość niż prawa strona. Wynika stąd, że $L < P$ . Zatem po podstawieniu liczby $1$ do obu stron nierówności otrzymaliśmy nierówność prawdziwą.

Liczba $1$ spełnia tę nierówność.

Zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą

Definicja: Zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą

Zbiorem rozwiązań nierówności z jedną niewiadomąZbiorem rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór wszystkich liczb spełniających tę nierówność.

Przykład 5

Sprawdzimy, czy każda z liczb należących do zbioru ${0, 1, 2}$ spełnia poniższą nierówność.

3 x + 2 < 2 \cdot (\frac{1}{2} x + 16)

Najpierw podstawimy do obu stron nierówności liczbę $0$ .

3 \cdot 0 + 2 < 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 0 + 16)

2 < 2 \cdot 16

2 < 32

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, zatem liczba $0$ jest liczbą spełniającą nierównośćliczba spełniająca nierównośćliczbą spełniającą nierówność.

Podstawimy do obu stron nierówności kolejną liczbę $1$ .

3 \cdot 1 + 2 < 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1 + 16)

5 < 2 \cdot 16 \frac{1}{2}

5 < 33

Również otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, czyli liczba $1$ spełnia tę nierówność.

Teraz podstawimy do obu stron nierówności liczbę $2$ .

3 \cdot 2 + 2 < 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2 + 16)

8 < 2 \cdot 17

8 < 34

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, czyli liczba $2$ spełnia tę nierówność.

Zatem każda liczba ze zbioru ${0, 1, 2}$ spełnia tę nierówność.

Można jeszcze zastanowić się, czy są to wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.

Spróbuj poszukać innych liczb naturalnych spełniających nierówność, podstawiając wybrane liczby do nierówności.

Infografika

Poniżej przedstawiona jest infografika przedstawiająca klasyfikację nierówności ze względu na liczbę niewiadomych oraz stopień nierówności. Zapoznaj się z poniższą infografiką.

R15XE9H7KNSP7

Polecenie 1

Na podstawie powyższej infografiki przyporządkuj podaną nierówność do odpowiedniego rodzaju. Sprawdź poprawność rozwiązania.

R1HGOUSOOAFGO

nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, większy równy, minus, jeden, 3. pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, siedem, 4. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, trzy, mniejszy równy, minus, trzy x, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka v indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem v, mniejszy niż, dwadzieścia pięć, 6. sześć x, większy niż, dwa, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, x, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, y, mniejszy niż, minus, cztery, 8. y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mniejszy równy, minus, dwa, 9. cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy niż, jeden, 10. pięć d, minus, trzy e, mniejszy równy, dwa nierówność z jedną niewiadomą, która nie jest pierwszego stopnia: Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, większy równy, minus, jeden, 3. pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, siedem, 4. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, trzy, mniejszy równy, minus, trzy x, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka v indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem v, mniejszy niż, dwadzieścia pięć, 6. sześć x, większy niż, dwa, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, x, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, y, mniejszy niż, minus, cztery, 8. y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mniejszy równy, minus, dwa, 9. cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy niż, jeden, 10. pięć d, minus, trzy e, mniejszy równy, dwa nierówność z więcej niż jedną niewiadomą Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, większy równy, minus, jeden, 3. pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, siedem, 4. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, trzy, mniejszy równy, minus, trzy x, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka v indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem v, mniejszy niż, dwadzieścia pięć, 6. sześć x, większy niż, dwa, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, x, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, y, mniejszy niż, minus, cztery, 8. y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mniejszy równy, minus, dwa, 9. cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, większy niż, jeden, 10. pięć d, minus, trzy e, mniejszy równy, dwa

Animacja multimedialna

Przeanalizuj przedstawioną w animacji metodę sprawdzania, czy liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności.

RPRHOAHZVF4O4

Polecenie 2

Sprawdź, czy podane liczby należą do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{x - 1}{3} - 2 x > - 2 (x + 3) + 5$ :

$(- 5)$ ,
$(- 2)$ ,
$0$ .

Nie, ponieważ po podstawieniu liczby $(- 5)$ do obu stron nierówności otrzymaliśmy nierówność fałszywą, lewa strona ( $8$ ) jest mniejsza od prawej ( $9$ ),
Nie, ponieważ po podstawieniu liczby $(- 2)$ do obu stron nierówności otrzymaliśmy nierówność fałszywą, lewa strona ( $3$ ) jest równa prawej ( $3$ ),
Tak, ponieważ po podstawieniu liczby $0$ do obu stron nierówności otrzymaliśmy nierówność prawdziwą, lewa strona $(- \frac{1}{3})$ jest większa od prawej ( $- 1$ ).

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

RKQPJ1HQ8TQ2K1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1GH7JTTG1K9M1

R1K396HKGX3PT2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary nierówność i zbiór liczb, które ją spełniają. x, większy niż, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, sześć przecinek dwa pięć, przecinek, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, sześć przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego x, mniejszy równy, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, sześć przecinek dwa pięć, przecinek, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, sześć przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego x, większy równy, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, sześć przecinek dwa pięć, przecinek, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, przecinek, cztery, przecinek, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, sześć przecinek dwa pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego

RE9P2H6VZ68FS2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary stwierdzenie z odpowiadającą mu nierównością. Jeśli liczbę x pomnożymy przez trzy i od otrzymanego iloczynu odejmiemy liczbę pięć, a następnie otrzymaną różnicę podwoimy to otrzymamy liczbę mniejszą od trzynaście. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, trzynaście, 2. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, trzynaście, 3. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy równy, trzynaście, 4. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, trzynaście Jeśli liczbę x pomnożymy przez trzy i od otrzymanego iloczynu odejmiemy liczbę pięć, a następnie otrzymaną różnicę podwoimy to otrzymamy liczbę nie mniejszą od trzynaście. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, trzynaście, 2. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, trzynaście, 3. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy równy, trzynaście, 4. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, trzynaście Jeśli podwoimy liczbę x i od otrzymanego iloczynu odejmiemy liczbę pięć, a następnie otrzymaną różnicę pomnożymy przez trzy to otrzymamy liczbę większą od trzynaście. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, trzynaście, 2. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, trzynaście, 3. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy równy, trzynaście, 4. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, trzynaście Jeśli podwoimy liczbę x i od otrzymanego iloczynu odejmiemy liczbę pięć, a następnie otrzymaną różnicę pomnożymy przez trzy to otrzymamy liczbę nie większą od trzynaście. Możliwe odpowiedzi: 1. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, trzynaście, 2. trzy nawias, dwa x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, trzynaście, 3. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, większy równy, trzynaście, 4. dwa nawias, trzy x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, trzynaście

RQM833V1N1R492

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawną nierówność opisującą sytuację przedstawioną na rysunku.

RJKC87DKLEKBM

Rysunek przedstawia wagę szalkową. Na lewej szalce umieszczonych jest pięć jabłek i odważnik o masie 2 kilogramy. Na prawej szalce umieszczone są 2 jabłka i dwa odważniki: jeden o masie 2 kilogramy, drugi o masie 1 kilogram. Wagę przeważa szalka lewa. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1QPNL7AOF9UO

RU52N6V959SVT2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R1FFL4XSJ5DQL2

Jeżeli $x$ jest największą z liczb nieparzystych, to druga jest o $2$ mniejsza, a trzecia mniejsza o $4$ .

R19H8PJNP68AH3

Ćwiczenie 9

RVSPFPLE2SQ9X1

Ćwiczenie 10

R1R1LOBUQ6HB31

Ćwiczenie 11

RTVR8KLGDAXKH2

Ćwiczenie 12

R1LG87161GFVL2

Ćwiczenie 13

R1MQTKFO8MCRS2

Ćwiczenie 14

R1CDTQCRCV8S52

Ćwiczenie 15

RD22B1DG8PFJE3

Ćwiczenie 16

R9K61FRRDGDDR3

Ćwiczenie 17

Słownik

nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze

liczba spełniająca nierówność

liczba, po podstawieniu której w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetyczną prawdziwą

zbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomą

wszystkie liczby rzeczywiste spełniające daną nierówność

2. Rozwiązywanie nierówności liniowych

Nierówności liniowe