• Rozwiążesz nierówności metodą nierówności równoważnych.

• Rozwiążesz nierówności zawierające mianownik metodą nierówności równoważnych.

• Rozwiążesz nierówności zawierające nawiasy metodą nierówności równoważnych.

Na poniższym rysunku przedstawiona jest waga szalkowa przechylona na lewą stronę. Wynika z tego, że masa przedmiotów umieszczonych na lewej szalce jest większa od masy przedmiotów znajdujących się na prawej szalce.

RC193FNFNUX23

Ilustracja przedstawia wagę. Na lewej stronie są trzy paczki cukierków i jeden odważnik pięćdziesiąt gramów. Na prawej stronie są trzy odważniki pięćdziesięciogramowe i paczka cukierków. Ramię wagi jest pochylone w lewą stronę.

Jeżeli opakowanie cukierków waży $x$ kilogramów, to sytuację możemy opisać za pomocą nierówności:

Na pewno zauważysz, że jeżeli z obu szalek zdejmiemy odważnik $50 \mathrm{dag}$ waga nadal pozostanie w tym samym położeniu.

R1DA1GTNTA6VN

Ilustracja przedstawia wagę. Na lewej stronie są trzy paczki cukierków. Na prawej stronie są dwa odważniki pięćdziesięciogramowe i paczka cukierków. Ramię wagi jest pochylone w lewą stronę.

Tę sytuację opisuje nierówność:

Z obu stron wagi zdejmujemy jedno opakowanie cukierków.

R3BPHK9KVB74A

Ilustracja przedstawia wagę. Na lewej stronie są dwie paczki cukierków. Na prawej stronie są dwa odważniki pięćdziesięciogramowe. Ramię wagi jest pochylone w lewą stronę.

Tę sytuację opisuje nierówność:

Teraz podzielimy obie strony nierówności przez liczbę $2$, czyli zdejmiemy z lewej szalki jedno opakowanie cukierków, a z prawej szalki jeden odważnik $0,5$ kg. Na lewej szalce zostanie jedno opakowanie cukierków, a na prawej jeden odważnik $0,5 \mathrm{kg}$.

Otrzymaliśmy rozwiązanie nierówności: $x>\mathrm{0,5}$.

Zatem opakowanie cukierków waży więcej niż $50 \mathrm{dag}$.

W ten sposób zapisując odpowiednie nierówności równoważnenierówności równoważnenierówności równoważne rozwiązaliśmy nierówność.

Nierówności z tymi samymi niewiadomymi nazywamy równoważnymi, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Rozwiążemy nierówność $-2x+1<5$.

Rozwiązanie

Przekształcamy ją równoważnie następująco:

Najpierw od obu stron nierówności odejmujemy liczbę $1$ i dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:

$-2x+1-1<5-1$.

$-2x<4$.

Następnie dzielimy obie strony przez $\left(-2\right)$, zmieniając przy tym zwrot nierówności:
$x>-2$.

Rozwiązanie powyższej nierówności możemy zapisać przy pomocy przedziału $x\in (2,\infty )$.

Dana jest nierówność $1-\sqrt{3}x<3-2\sqrt{3}$.

Aby rozwiązać nierówność będziemy ją przekształcać w sposób równoważny do prostszych nierówności.

Przenosimy niewiadome na lewą stronę nierówności, a wiadome na prawą stronę.

Pamiętamy o zmianie znaku podczas przenoszenia na drugą stronę nierówności.

Teraz dokonujemy redukcji wyrazów podobnych.

Dzielimy obydwie strony nierówności przez wyrażenie występujące przy $x$. Pamiętamy o zmianie znaku nierówności na przeciwny, podczas dzielenia przez liczbę ujemną.

Usuniemy niewymierność z mianownika mnożąc licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie arytmetyczne $\sqrt{3}$.

Wymnażamy wyrażenie w liczniku.

Rozwiązaniem nierówności jest przedział $\left(\frac{2\sqrt{3}-6}{-3} , \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność podwójną $3\le 2x-1<5$.

Zauważmy, że jeśli do każdego z wyrażeń występujących w nierówności podwójnej dodamy $1$, otrzymamy warunek równoważny:

$3+1\le 2x-1+1<5+1$

$4\le 2x<6$.

Zauważmy teraz, że po podzieleniu każdego wyrażenia występującego w powyższej nierówności podwójnej przez $2$, również otrzymamy warunek równoważny:

$\frac{4}{2}\le \frac{2x}{2}<\frac{6}{2}$

$2\le x<3$.

Rozwiązanie powyższej nierówności możemy zapisać przy pomocy przedziału $x\in \left.⟨2, 3\right)$.

Rozwiążemy nierówność:

Obie strony nierówności mnożymy przez wspólny mianownik ułamków (najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $3$, $4$ i $6$). Będzie to liczba $12$.

Skracamy wyrażenia.

Wykonujemy mnożenie i pozbywamy się nawiasów. Pamiętamy, że mnożąc  przez liczbę ujemną zmieniamy wszystkie znaki w nawiasie na przeciwne.

Redukujemy wyrazy podobne.

Do obydwu stron nierówności dodajemy $12$ i jednocześnie dodajemy $x$.

Redukujemy wyrazy podobne.

Dzielimy obie strony nierówności przez $9$.

Wyłączamy całości z ułamka niewłaściwego.

Zbiorem rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomąZbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $\left(2\frac{2}{9}, \infty \right)$.

Dla jakich naturalnych wartości $x$, wartość wyrażenia $\frac{x}{2}+\frac{2x-1}{3}$ jest nie większa od wartości wyrażenia $1-\frac{x-3}{3}$?

Najpierw zapiszemy nierówność opisującą warunki zadania. Pamiętajmy, że stwierdzenie „nie większa” oznacza, że wartość pierwszego wyrażenia musi być mniejsza  od wartości drugiego wyrażenia lub równa tej wartości.

Obydwie strony nierówności mnożymy przez wspólny mianownik ułamków (najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ i $3$). Będzie to liczba $6$.

Następnie rozwiązujemy nierówność metodą nierówności równoważnych.

Ponieważ $x$ ma być liczbą naturalną, więc zbiorem rozwiązań tej nierównościzbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomązbiorem rozwiązań tej nierówności jest $x\in \left\{0, 1\right\}$.

Jeżeli do siódmej części pewnej liczby naturalnej $x$, pomniejszonej o $3$, dodamy $2$, to otrzymamy nie więcej niż połowę tej liczby. Jaka najmniejsza liczba całkowita spełnia tę nierówność?

Zapiszemy nierówność opisującą warunki zadania.

Obydwie strony nierówności mnożymy przez wspólny mianownik ułamków (najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $7$ i $2$). Będzie to liczba $14$.

Zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest liczba $5$.

Rozwiążemy nierówność:

Najpierw pozbywamy się wewnętrznego nawiasu. Nawias klamrowy stał się nawiasem kwadratowym. Nawias zwykły zastąpił nawias kwadratowy.

Wykonujemy działania w nawiasie zwykłym znajdującym się w nawiasie kwadratowym.

Pozbywamy się nawiasu zwykłego, zamieniając jednocześnie nawias kwadratowy na zwykły.

Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych w nawiasie zwykłym.

Pozbywamy się nawiasu zwykłego.

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór liczb mniejszych lub równych liczbie $1$.

Nierównością sprzecznąnierówność sprzecznaNierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełniona żadna liczba należącą do dziedziny tej nierówności.

Nierównością tożsamościowąnierówność tożsamościowaNierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.

Przeanalizujemy rozwiązanie nierówności $x^2>-9$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Po podstawieniu do lewej strony nierówności dowolnej liczby rzeczywistej otrzymamy liczbę nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy $0$). Prawa strona nierówności jest  liczbą ujemną. Zatem nierówność $L>P$ jest zawsze prawdziwa.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x^2>-9$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}$.

Rozwiążemy nierówność i sprawdzimy, ile liczb rzeczywistych należy do zbioru rozwiązań nierówności $x+\frac{2x-4}{2}<2\left(x+3\right)$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Nierówność ta jest zawsze prawdziwa, niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce $x$.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x+\frac{2x-4}{2}<2\left(x+3\right)$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}$.

Przeanalizujemy rozwiązanie nierówności $x^2<-2$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Po podstawieniu do lewej strony nierówności dowolnej liczby rzeczywistej otrzymamy liczbę nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy $0$). Prawa strona nierówności jest  liczbą ujemną. Zatem nierówność $L<P$ jest zawsze fałszywa. Nie istnieje liczba, która będzie spełniała tę nierówność.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x^2<-2$ jest zbiór pusty.

Rozwiążemy nierówność i sprawdzimy, ile liczb rzeczywistych należy do zbioru rozwiązań nierówności $x+\frac{3x-1}{2}>\mathrm{2,5}\left(x+1\right)$.

Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Nierówność ta jest zawsze fałszywa, niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce $x$.

Nie istnieje liczba, która będzie spełniała tą nierówność.

Zbiorem rozwiązań nierówności $x+\frac{3x-1}{2}>\mathrm{2,5}\left(x+1\right)$ jest zbiór pusty.

Rozwiążemy nierówność $\frac{x-3}{2}>\frac{x}{6}+\frac{x+2}{3}$.

Obydwie strony nierówności mnożymy przez wspólny mianownik ułamków (najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$, $3$ i $6$). Będzie to liczba $6$.

Pozbywamy się nawiasów.

Redukujemy wyrażenia podobne.

Do obydwu stron równania dodajemy $9$ i jednocześnie odejmujemy $3x$.

Redukujemy wyrażenia podobne.

Jest to nierówność sprzeczna. Nierówność nie posiada rozwiązań.

nierówności z tymi samymi niewiadomymi, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań

każda liczba rzeczywista, która spełnia tę nierówność

służą do ustalenia kolejności wykonywania działań