2. Błąd bezwzględny i błąd względny

R1LVNVNKO2KFD

Zaokrąglając liczby np. podając ceny, odległości, czy wagi popełniamy błędy przybliżenia. Duże znaczenie mają one zwłaszcza podczas wykonywania doświadczeń i badań fizycznych czy chemicznych. Wykonując doświadczania i opisując ich wyniki dowiesz się, że błędy pomiaru dzielą się na trzy kategorie: błędy grube, błędy systematyczne i błędy przypadkowe.

Błędy grube powstają na skutek niestaranności osoby wykonującej eksperyment lub nieumiejętności użycia danego przyrządu. Przyczyną błędu systematycznego może być zła metoda pomiaru, wada urządzenia pomiarowego, zewnętrzne warunki pomiaru (np. zbyt wysoka temperatura w pomieszczeniu). Błąd przypadkowy, to np. błąd pomiaru. Jego źródłem mogą być też przypadkowe drgania budynku, czy ruch powietrza.

Dokonując różnych badań należy uwzględniać takie błędy, a na co dzień pamiętać, że nasze przybliżenia są nimi obarczone.

Ze względu na rodzaj zapisu błędy dzielą się na bezwzględne, względne oraz procentowe.

Twoje cele

Przypomnisz sobie informacje na temat przybliżeń i zaokrągleń.
Przypomnisz sobie jak obliczamy wartość bezwzględną liczby rzeczywistej.
Poznasz pojęcie błędu bezwzględnego i względnego.
Nauczysz się obliczać błąd bezwzględny.
Nauczysz się obliczać błąd względny przybliżenia.

Błąd bezwzględny

Błąd przybliżenia

Definicja: Błąd przybliżenia

Błąd przybliżenia to różnica między wartość przybliżoną (tą, którą obliczyliśmy, oszacowaliśmy lub zmierzyliśmy) a wartością dokładną (prawdziwą, dokładną).

Błąd bezwzględny przybliżenia

Definicja: Błąd bezwzględny przybliżenia

Błąd bezwzględny przybliżenia to wartość bezwzględna różnicy między wartością przybliżoną (tą, którą obliczyliśmy, oszacowaliśmy lub zmierzyliśmy) a wartością dokładną (prawdziwą, dokładną).

Jeśli oznaczymy przez $x$ wartość dokładną, a przez $p$ wartość przybliżoną, to błąd bezwzględny $∆_{x}$ możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

∆_{x} = |x - p|

Błąd bezwzględny jest więc zawsze liczbą nieujemną. Wyrażamy go w takich samych jednostkach jak wartość, którą przybliżamy.

Przykład 1

Podczas wizyty w sklepie meblowym mamie spodobała się niewielka komoda. Oszacowała, że jej długość wynosi $120 cm$ . Tata twierdził, że komoda ma co najwyżej $100 cm$ długości. Poproszony do pomocy sprzedawca zmierzył mebel i okazało się, że jego długość wynosi dokładnie $112 cm$ . Obliczymy jaki błąd przybliżeniabłąd przybliżeniabłąd przybliżenia popełniło każde z rodziców.

$p_{m} = 120 cm$

$p_{t} = 100 cm$

Wartość dokładna: $x = 112 cm$

Przybliżenie wykonane przez mamę, to przybliżenie z nadmiarem.

Błąd tego przybliżenia wynosi $8 cm$ .

Przybliżenie wykonane przez tatę, to przybliżenie z niedomiarem.

Błąd tego przybliżenia to $12 cm$ .

Przykład 2

Uczniowie postanowili udekorować swoją pracownię szkolną. Oszacowali więc jej wymiary, aby kupić odpowiednią ilość materiałów. Mając do dyspozycji metrową linijkę dokonali następujących pomiarów: długość pracowni – $9 m$ ,
szerokość – $6 m$ , wysokość – $3 m$ . Chcieli udekorować największą ścianę i sufit, a więc, zgodnie z obliczeniami uczniów, powierzchnie o polach $27 m^{2}$ oraz $54 m^{2}$ .

Wiedząc, że dokładne wymiary pracowni to $8, 75 m \times 5, 5 m \times 2, 8 m$ , obliczymy błąd bezwzględny, jaki popełnili uczniowie przy obliczaniu pól tych powierzchni.

Obliczamy pola powierzchni ściany i sufitu.

Ściana:

Pole obliczone przez uczniów: $p = 27 m^{2}$

Pole obliczone z dokładnych wartości wymiarów: $x = 8, 75 m \cdot 2, 8 m = 24, 5 m^{2}$

A zatem błąd bezwzględnybłąd bezwzględnybłąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi

$∆_{x} = |24, 5 - 27| = |- 2, 5| = 2, 5$

$∆_{x} = 2, 5 m$

Sufit:

Pole obliczone przez uczniów: $p = 54 m^{2}$

Pole obliczone z dokładnych wartości wymiarów: $x = 8, 75 m \cdot 5, 5 m = 48, 125 m^{2}$

A zatem błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi

$∆_{x} = |48, 125 - 54| = |- 5, 875| = 5, 875$

$∆_{x} = 5, 875 m$

Przykład 3

Odległość z Warszawy do Zamościa wynosi $293 km$ . Możemy powiedzieć, że to w przybliżeniu $300 km$ .

Wtedy:

wartość dokładna $x = 293 km$

wartość przybliżona $p = 300 km$

błąd względny $∆_{x} = |293 - 300| = |- 7| = 7$

Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $∆_{x} = 7 km$ .

Przykład 4

Pan Jan musi zapłacić do Urzędu Skarbowego podatek w wysokości $536, 40 zł$ . Kwotę tę powinien zaokrąglić do pełnych złotych. Oblicz ile wynosi błąd bezwzględnybłąd bezwzględnybłąd bezwzględny tego przybliżenia.

Wyliczony podatek, to wartość dokładna, a zatem

$x = 536, 40$

Po zaokrągleniu do pełnych złotych otrzymujemy przybliżenie z nadmiarem

$p = 536$

Obliczmy błąd bezwzględny tego przybliżenia.

$∆_{x} = |536, 40 - 536| = |0, 4| = 0, 4$

Błąd bezwzględny przybliżenia wynosi $∆_{x} = 0, 4 zł$ .

Przykład 5

Przybliżenie pewnej liczby $x$ jest równe $3, 83$ . Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $\frac{1}{300}$ . Oblicz dokładną wartość liczby $x$ .

Korzystając ze wzoru na błąd bezwzględny przybliżenia możemy zapisać

$|x - 3, 83| = \frac{1}{300}$

A zatem rozważamy dwie możliwości:

$x - 3, 83 = \frac{1}{300}$ lub $x - 3, 83 = - \frac{1}{300}$

$x = \frac{1}{300} + 3, 83$ lub $x = - \frac{1}{300} + 3, 83$

$x = \frac{1}{300} + \frac{383}{100}$ lub $x = - \frac{1}{300} + \frac{383}{100}$

$x = \frac{1 + 1149}{300}$ lub $x = \frac{- 1 + 1149}{300}$

$x = \frac{1150}{300}$ lub $x = \frac{1148}{300}$

$x = 3 \frac{5}{6}$ lub $x = 3 \frac{62}{75}$

Ponieważ w pierwszym przypadku $x > p$ , więc liczba $3, 83$ jest przybliżeniem z niedomiarem.

W drugim przypadku $x < p$ . A liczba $3, 83$ jest przybliżeniem z nadmiarem.

Błąd względny

Wykonując różne pomiary i obliczenia, popełniamy błędy przybliżeń. Wiesz już, co to jest błąd bezwzględny przybliżenia i potrafisz go obliczyć.

A jednak obliczenie tej wartości nie pozwala nam do końca oszacować wielkości tego przybliżenia.

R1CGL281EV5EV

Ilustracja przedstawia lupę, która powiększa zapis umieszczony w pewnej książce. — Źródło: dostępny w internecie: pixnio.com, domena publiczna.

Jeśli podamy przybliżenie odległości z Warszawy do Krakowa, dla którego błąd bezwzględny wynosi $25 km$ oraz przybliżenie odległości z Warszawy do Londynu, dla którego błąd bezwzględny wynosi $25 km$ , to otrzymane błędy bezwzględne są sobie równe. Widzimy jednak, że znaczenie tego błędu jest zupełnie inne.

Błąd bezwzględny informuje nas jedynie o odchyleniu podanego przybliżenia od wartości rzeczywistej. Aby móc wyciągnąć wnioski dotyczące oceny danego przybliżenia, musimy obliczyć błąd względny.

Błąd względny przybliżenia

Definicja: Błąd względny przybliżenia

Błąd względny przybliżenia to iloraz błędu bezwzględnego i modułu wartości dokładnej.

Jeśli oznaczymy przez $x$ wartość dokładną, a przez $p$ wartość przybliżoną, to błąd względny $δ_{x}$ możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

δ_{x} = \frac{|x - p|}{|x|} = \frac{∆_{x}}{|x|}

Błąd względny najczęściej jest wyrażany w procentach i nazywany wtedy błędem procentowym.

δ_{x} = \frac{∆_{x}}{|x|} \cdot 100 %

Błąd względny jest wielkością niemianowaną, czyli nie posiada jednostki miary, błąd procentowy podajemy oczywiście w procentach.

Przypomnijmy, że błąd bezwzględny jest wyrażany w takich samych jednostkach jak wartość, którą przybliżamy.

Przykład 6

Wróćmy do wspomnianych we wstępie odległości między miastami. Obliczymy błąd względny tych przybliżeń.

Rzeczywista odległość z Warszawy do Krakowa wynosi $x = 320 km$ .

Jeżeli wspomniany we wstępie błąd bezwzględny $∆_{x}$ wynosi $25 km$ , to błąd względny przybliżenia wynosi

$δ_{x} = \frac{∆_{x}}{|x|} = \frac{25}{320} \approx 0, 078$ .

A błąd procentowybłąd procentowy bezwzględnybłąd procentowy to

$δ_{x} = \frac{∆_{x}}{|x|} \cdot 100 % \approx 0, 078 \cdot 100 % = 7, 8 %$ .

Z kolei rzeczywista odległość z Warszawy do Londynu wynosi $y = 1625 k m$ .

Jeżeli błąd bezwzględny $∆_{y}$ wyniesie $25 km$ , to błąd względny przybliżenia wynosi

$δ_{y} = \frac{∆_{y}}{|y|} = \frac{25}{1625} \approx 0, 015$ .

A błąd procentowy to

$δ_{y} = \frac{∆_{y}}{|y|} \cdot 100 % \approx 0, 015 \cdot 100 % = 1, 5 %$

A zatem, choć w obu przypadkach pomyliliśmy się o $25 km$ , to w przypadku trasy Warszawa‑Kraków pomyliliśmy się o około $8 %$ , a w przypadku trasy Warszawa‑Londyn tylko o około $1, 5 %$ .

Przykład 7

Plac z ławeczkami przed szkołą ma długość $96, 5 m$ . Uczniowie na przerwie zmierzyli długość tego placu i ich pomiar wyniósł $100 m$ . Obliczmy błąd bezwzględny i błąd względny tego przybliżenia.

Wartość dokładna

$x = 96, 5 m$

Wartość przybliżona

$p = 100 m$

Błąd bezwzględny przybliżenia

$∆_{x} = |96, 5 - 100| m = |- 3, 5| m = 3, 5 m$

Błąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżeniaBłąd względny przybliżenia

$δ_{x} = \frac{3, 5}{|96, 5|} \approx 0, 036 = 3, 6 %$

Uczniowie pomylili się o ponad $3, 5 %$ .

Przykład 8

Państwo Nowakowie postanowili latem zrobić remont łazienki. Pan Nowak postanowił sam wykonać całą pracę i zaczął od oszacowania kosztów remontu. Obliczył, że na wykonanie zmian oraz zakup nowych mebli i sprzętów do łazienki potrzebne będzie $10000 zł$ . Jednak koszty rzeczywiste tego remontu wyniosły $10685 zł$ . Obliczymy jaki błąd bezwzględny i względny popełnił pan Nowak?

Wartość dokładna

$x = 10685 zł$

Wartość przybliżona

$p = 10000 zł$

Błąd bezwzględny przybliżenia

$∆_{x} = |10685 - 10000| zł = |685| zł = 685 zł$

Błąd względny przybliżenia

$δ_{x} = \frac{685}{|10685|} \approx 0, 064 = 6, 4 %$

Pan Nowak pomylił się o około $6 %$ .

Przykład 9

Oblicz, ile wynosi błąd względny przybliżenia liczby $\frac{7}{12}$ do części setnych.

$\frac{7}{12} = 0, 58333 . . . = 0, 58 (3) \approx 0, 58$

Wartość dokładna

$x = \frac{7}{12}$

Wartość przybliżona

$p = 0, 58 = \frac{58}{100} = \frac{29}{50}$

Błąd bezwzględny przybliżenia

$∆_{x} = |\frac{7}{12} - \frac{29}{50}| = |\frac{175 - 174}{300}| = \frac{1}{300}$

Błąd względny przybliżenia

$δ_{x} = \frac{\frac{1}{300}}{|\frac{7}{12}|} = \frac{1}{300} \cdot \frac{12}{7} = \frac{1}{175} \approx 0, 005714 \approx 0, 6 %$

Błąd względny tego przybliżenia wynosi około $0, 6 %$ .

Przykład 10

Przybliżenie z nadmiarem pewnej liczby dodatniej $x$ do drugiego miejsca po przecinku jest równe $12, 35$ . Błąd względny tego przybliżenia wynosi $\frac{1}{4200}$ . Obliczymy dokładną wartość liczby $x$ .

Korzystając ze wzoru na błąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżeniabłąd względny przybliżenia możemy zapisać

$\frac{|x - 12, 35|}{|x|} = \frac{1}{4200}$

Wiemy, że liczba $12, 35$ jest przybliżeniem z nadmiarem, a zatem

$x < 12, 35$

Zatem

$x - 12, 35 < 0$

Więc

$|x - 12, 35| = - x + 12, 35$

Wiemy również, że liczba $x$ jest dodatnia, więc $|x| = x$ .

Wtedy

$\frac{- x + 12, 35}{x} = \frac{1}{4200}$

$x = - 4200 x + 51870$

$x + 4200 x = 51870$

$4201 x = 51870$

$x = \frac{51870}{4201}$

$x = 12 \frac{1458}{4201}$

Szukaną liczbą jest liczba $x = 12 \frac{1458}{4201}$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją, a następnie na jej podstawie wykonaj Polecenie 1.

R13NALCAOG3MO

Polecenie 1

R1LVQ5DX8U7HH

Polecenie 2

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, a następnie na jego podstawie wykonaj polecenie 2.

RMVZUNEOSH6JB

Polecenie 3

R12PJTC13Q61U

Uzupełnij tabelkę, wyznaczając błędy względne oraz przybliżone wartości błędów bezwzględnych przedstawionych przybliżeń. Określ czy jest to przybliżenie z nadmiarem, czy z niedomiarem. Przeciągnij w odpowiednie miejsca. Wariant pierwszy. Odległość dokładna x wynosi sto dwadzieścia pięć i trzydzieści pięć setnych kilometra. Wartość przybliżona p wynosi sto dwadzieścia pięć kilometrów. Błąd bezwzględny przybliżenia delta x wynosi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trzydzieści pięć setnych kilometra, 2. trzy dziesiąte procenta, 3. Jedna czterysta sześćdziesiąta, 4. Sześć dziesiątych procenta, 5. Dwadzieścia pięć setnych punktu procentowego, 6. Dwa i dwie dziesiąte procenta. Błąd względny przybliżenia sigma x w procentach wynosi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trzydzieści pięć setnych kilometra, 2. trzy dziesiąte procenta, 3. Jedna czterysta sześćdziesiąta, 4. Sześć dziesiątych procenta, 5. Dwadzieścia pięć setnych punktu procentowego, 6. Dwa i dwie dziesiąte procenta. Wariant drugi. Wartość dokładna x ułamka wynosi osiem dwudziestych trzecich. Wartość przybliżona p wynosi trzydzieści pięć setnych. Błąd bezwzględny przybliżenia delta x wynosi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trzydzieści pięć setnych kilometra, 2. trzy dziesiąte procenta, 3. Jedna czterysta sześćdziesiąta, 4. Sześć dziesiątych procenta, 5. Dwadzieścia pięć setnych punktu procentowego, 6. Dwa i dwie dziesiąte procenta. Błąd względny przybliżenia sigma x w procentach wynosi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trzydzieści pięć setnych kilometra, 2. trzy dziesiąte procenta, 3. Jedna czterysta sześćdziesiąta, 4. Sześć dziesiątych procenta, 5. Dwadzieścia pięć setnych punktu procentowego, 6. Dwa i dwie dziesiąte procenta. Wariant trzeci. Wartość dokładna x oprocentowania kredytu wynosi jedenaście i dwadzieścia pięć setnych procenta. Wartość przybliżona p oprocentowania wynosi trzydzieści pięć setnych. Błąd bezwzględny przybliżenia delta x wynosi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trzydzieści pięć setnych kilometra, 2. trzy dziesiąte procenta, 3. Jedna czterysta sześćdziesiąta, 4. Sześć dziesiątych procenta, 5. Dwadzieścia pięć setnych punktu procentowego, 6. Dwa i dwie dziesiąte procenta. Błąd względny przybliżenia sigma x w procentach wynosi. Możliwe odpowiedzi: 1. Trzydzieści pięć setnych kilometra, 2. trzy dziesiąte procenta, 3. Jedna czterysta sześćdziesiąta, 4. Sześć dziesiątych procenta, 5. Dwadzieścia pięć setnych punktu procentowego, 6. Dwa i dwie dziesiąte procenta.

Błąd bezwzględny przybliżenia

Odległość: $∆_{x} = |125, 35 - 125| km = |0, 35| km = 0, 35 km$

Ułamek: $∆_{x} = |\frac{8}{23} - \frac{35}{100}| = |\frac{800 - 805}{2300}| = |- \frac{5}{2300}| = \frac{1}{460}$

Oprocentowanie kredytu: $∆_{x} = |11, 25 - 11| p . p . = |0, 25| p . p . = 0, 25 p . p .$

Błąd względny przybliżenia

Odległość: $δ_{x} = \frac{0, 35}{125, 35} \approx 0, 002792 \approx 0, 3 %$

Ułamek: $δ_{x} = \frac{\frac{1}{460}}{\frac{8}{23}} \approx \frac{1}{160} \approx 0, 00625 \approx 0, 6 %$

Oprocentowanie kredytu: $δ_{x} = \frac{0, 25}{11, 25} \approx 0, 02222 \approx 2, 2 %$

Zestaw ćwiczeń multimedialnych

RPOEJCQL47UKM1

Ćwiczenie 1

R17O6SZJMB3LS1

Ćwiczenie 2

RTD42T7NK6ESR2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RCHRRXBETZ7KC2

Wyjaśnij różnicę między błędem względnym a błędem bezwzględnym.

Ćwiczenie 5

Oblicz błąd bezwzględny zaokrąglenia liczby $5 \frac{3}{11}$ do części setnych.

$x = 5 \frac{3}{11} = 5, (27)$

Przybliżenie liczby $x$ : $p = 5, 27$

$x = 5 \frac{3}{11} = 5, (27)$

$p = 5, 27$

$∆_{x} = |5 \frac{3}{11} - 5, 27| = |5 \frac{3}{11} - 5 \frac{27}{100}| = |\frac{300 - 297}{1100}| = |\frac{3}{1100}| = \frac{3}{1100}$

$∆_{x} = \frac{3}{1100}$

RHBOTQLGPGSJ12

Ćwiczenie 6

RS1ENL6XPTZNO3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość dokładną liczby $x$ , wiedząc, że jej przybliżenie z niedomiarem jest równe $123 \frac{4}{5}$ , a błąd bezwzględny to $0, 67$ .

Wykorzystaj wzór $|x - p| = ∆_{x}$ . Pamiętaj, że przybliżenie liczby jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli poszukiwana liczba jest większa niż jej przybliżenie.

Wiemy, że:

$p = 123 \frac{4}{5}$

$∆_{x} = 0, 67$

$p$ jest przybliżeniem z niedomiarem, więc $x > p$

Korzystając ze wzoru $|x - p| = ∆_{x}$ i informacji, że $x - p > 0$ , otrzymujemy, że

$x - p = ∆_{x}$

Podstawiając dane wartości:

$x - 123, 8 = 0, 67$

$x = 124, 47$

Dokładna wartość liczby $x$ jest równa $124, 47$ .

REMFHC6GD8S8A1

Ćwiczenie 9

RCPPPJ82OHUGB1

Ćwiczenie 10

RKH2BQAO8SKNA2

Ćwiczenie 11

RXGSSO6PJ33142

Ćwiczenie 12

R1R5J22DNRZPQ2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Podaj przybliżenie podanych ułamków zwykłych z dokładnością do $d$ . Oblicz błąd bezwzględny i względny jaki popełniasz w tym przybliżeniu.

a) Ułamek zwykły: $\frac{3}{7}$ . Przybliżenie ułamka z dokładnością do $d = 0, 001$ .

b) Ułamek zwykły: $2 \frac{1}{3}$ . Przybliżenie ułamka z dokładnością do $d = 0, 01$ .

c) Ułamek zwykły: $4 \frac{7}{9}$ . Przybliżenie ułamka z dokładnością do $d = 0, 1$ .

d) Ułamek zwykły: $6 \frac{10}{21}$ . Przybliżenie ułamka z dokładnością do $d = 1$ .

Przybliżenie ułamka z dokładnością do $d$

a) $\frac{3}{7} = 0, 42857142 . . . \approx 0, 429$

b) $2 \frac{1}{3} = 2, 33333 . . . \approx 2, 33$

c) $4 \frac{7}{9} = 4, 7777 . . . = 4, (7) \approx 4, 8$

d) $6 \frac{10}{21} \approx 6$

Błąd bezwzględny

a) $∆_{x} = |\frac{3}{7} - \frac{429}{1000}| = |\frac{3000 - 3003}{7000}| = |\frac{- 3}{7000}| = \frac{3}{7000}$

b) $∆_{x} = |2 \frac{1}{3} - 2 \frac{33}{100}| = |\frac{100 - 99}{300}| = |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$

c) $∆_{x} = |4 \frac{7}{9} - 4 \frac{8}{10}| = |\frac{70 - 72}{90}| = |\frac{- 2}{90}| = \frac{2}{90}$

d) $∆_{x} = |6 \frac{10}{21} - 6 = \frac{10}{21}| = \frac{10}{21}$

Błąd względny

a) $δ_{x} = \frac{\frac{3}{7000}}{\frac{3}{7}} = \frac{1}{1000}$

b) $δ_{x} = \frac{\frac{1}{300}}{2 \frac{1}{3}} = \frac{1}{700}$

c) $δ_{x} = \frac{\frac{1}{45}}{4 \frac{7}{9}} = \frac{1}{215}$

d) $δ_{x} = \frac{\frac{10}{21}}{6 \frac{10}{21}} = \frac{10}{136}$

Przybliżenie ułamka z dokładnością do $d$

a) $\frac{3}{7} \approx 0, 429$

b) $2 \frac{1}{3} \approx 2, 33$

c) $4 \frac{7}{9} \approx 4, 8$

Błąd bezwzględny

a) $∆_{x} = \frac{3}{7000}$

b) $∆_{x} = \frac{1}{300}$

c) $∆_{x} = \frac{1}{45}$

d) $∆_{x} = \frac{1}{300}$

Błąd względny

a) $δ_{x} = \frac{1}{1000}$

b) $δ_{x} = \frac{1}{700}$

c) $δ_{x} = \frac{1}{215}$

d) $δ_{x} = \frac{1}{700}$

R41AAUAAFATAB3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Oblicz wartość dokładną liczby dodatniej $x$ , wiedząc, że jej przybliżenie z nadmiarem jest równe $0, 486$ , a błąd względny to $\frac{1}{1700}$ . Odpowiedź zapisz w ułamku zwykłym.

Zauważ, że $p$ jest przybliżeniem z nadmiarem, więc $x < p$ . Wykorzystaj tą informację przy opuszczaniu wartości bezwzględnej występującej we wzorze na błąd względny.

Wiemy, że:

$p = 0, 486$

$δ_{x} = \frac{1}{1700}$

$p$ jest przybliżeniem z nadmiarem, więc $x < p$ .

A zatem $x - p < 0$ ,

więc $|x - p| = p - x$

$x$ jest liczbą dodatnią więc $|x| = x$

Korzystając ze wzoru $δ_{x} = \frac{|x - p|}{|x|}$ oraz powyższych informacji otrzymujemy

$\frac{x - 0, 486}{x} = \frac{1}{1700}$

$x = 826, 2 - 1700 x$

$1701 x = 826, 2$

$x = \frac{8262}{17010} = \frac{17}{35}$

$x = \frac{17}{35}$

Słownik

błąd przybliżenia

różnica między wartością przybliżoną a wartością dokładną

błąd bezwzględny

wartość bezwzględna z różnicy między wartością przybliżoną a wartością dokładną

błąd względny przybliżenia

iloraz błędu bezwzględnego i modułu wartości dokładnej

błąd procentowy bezwzględny

błąd względny przybliżenia wyrażony w procentach

1. Przybliżenia i zaokrąglenia

3. Przybliżenia, zaokrąglenia i błędy w praktyce