• Wykorzystasz reguły zaokrąglania liczb w zadaniach.

• Wskażesz błąd względny i bezwzględny.

• Wymienisz sytuacje z życia wzięte, w których można i w których nie można zaokrąglać liczb.

W biurze redaktora naczelnego Gazety Powiatowej
wisi plakat, na którym uwieczniono wizerunki  kilkuset uczniów klas maturalnych, ustawionych w $25$ rzędach, a w każdym rzędzie od $30$ do $35$ osób. Zdaniem redaktora na plakacie jest około ośmiuset osób. Jest to poprawne oszacowanie, ponieważ liczba maturzystów na pewno jest nie mniejsza niż $25·30=750$ i nie większa niż $25·35=875$. Dokładna wartość nie jest redaktorowi potrzebna.

Płytę pilśniową o długości $262 \mathrm{cm}$ mamy pociąć na siedem równych części, przy czym do odmierzenia długości odcinanych części używamy standardowej taśmy z podziałką milimetrową. Ponieważ:

$\frac{262}{7}=37,\left(428571\right)$

więc zapewne będziemy odcinać kolejne części w odstępach równych $37,4 \mathrm{cm}$, zaniedbując dziesiąte części milimetra.

W drugim przykładzie liczbę, która miała po przecinku wiele cyfr (tak naprawdę nieskończenie wiele), przybliżyliśmy liczbą z tylko jedną cyfrą po przecinku. Przypomnijmy regułę, która obowiązuje przy wykonywaniu tego typu działań.

Jeżeli zaokrąglamy liczbę do $n$ – tego miejsca po przecinku, to cyfrę na miejscu $n$ – tym:

• zostawiamy bez zmian, gdy na $n+1$ miejscu jest cyfra $0$, $1$, $2$, $3$ lub $4$,

• zwiększamy o $1$, gdy na $n+1$ miejscu jest cyfra $5$, $6$, $7$, $8$ lub $9$.

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{1}{23}$ jest okresowe, przy czym okres składa się aż z $22$ cyfr:

$\frac{1}{23}$$=0,\left(0434782608695652173913\right)$

Jeśli więc chcemy operować ułamkiem $\frac{1}{23}$ w postaci rozwinięcia dziesiętnego, to zazwyczaj będziemy używać jego przybliżonej wartości. Przykładowo, możemy ten ułamek zaokrąglić do trzech miejsc po przecinku: $\frac{1}{23}$$=0,043$ lub – powiedzmy do siedmiu: $\frac{1}{23}$$0,0434783$.

Wieża Eiffla liczy $324 \mathrm{m}$ wysokości. Jeśli powiemy, że ma ona $320 \mathrm{m}$, to przybliżymy jej wysokość z niedomiarem. Pomylimy się przy tym w naszym przybliżeniu o $4 \mathrm{m}$.

R1A7UE9OAKN1Q1

Na ilustracji przestawione zostało drzewo General Sherman.

Jedne z największych drzew na Ziemi to sekwoje. Należące do tego gatunku drzewo General Sherman ma objętość (zwaną także miąższością) szacowaną na $1489 {\mathrm{m}}^3$. Jeśli powiemy, że ma ono $1500 {\mathrm{m}}^3$ objętości, to przybliżymy tę wielkość z nadmiarem. Pomyłka związana z naszym przybliżeniem będzie równa $11 {\mathrm{m}}^3$.

Drzewo General Sherman ma około dwa i pół tysiąca lat i mierzy blisko $84 \mathrm{m}$.

W powyższych przykładach, określając niedokładność naszego szacowania, używaliśmy tzw. błędu bezwzględnego. Oto ścisła definicja tego pojęcia.

Jeżeli liczba $\tilde{q}$ jest przybliżeniem liczby $q$, to błędem bezwzględnym tego przybliżenia nazywamy liczbę: $\left|q-\tilde{q}\right|$

Kazik, oglądając film przyrodniczy o płetwalu błękitnym, stwierdził, że płetwal waży  pewnie $200$ ton (czyli $200000 \mathrm{kg}$). Płetwal ważył dokładnie $198560 \mathrm{kg}$, zatem chłopiec przybliżył jego masę z nadmiarem. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:
$\left|200000-198560\right| \left(\mathrm{kg}\right)=1440 \left(\mathrm{kg}\right)$.

RK6LZJJS11J81

Ilustracja przestawia płetwala błękitnego w oceanie z wynurzonym grzbietem.

RN61EGTLJGO6J1

Ilustracja przedstawia ryjówkę etruską na palcu człowieka.

Wujek Kazika, przyglądając się w ZOO ryjówce etruskiej, ważącej $2$ gramy, pomyślał, że musi ona ważyć około dwóch dekagramów. Wujek Kazika przybliżył masę ryjówki z nadmiarem. Błąd bezwzględnybłąd bezwzględnyBłąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy: $\left|20-2\right| \left(\mathrm{g}\right)=18 \left(\mathrm{g}\right)$.

Ryjówka etruska to jeden z najmniejszych ssaków żyjących na Ziemi.

Jeżeli liczba $\tilde{q}$ jest przybliżeniem liczby $q\ne 0$, to błędem względnym tego przybliżenia nazywamy liczbę:  $\frac{\left|q-\tilde{q}\right|}{\left|q\right|}$

Obliczymy błąd względnybłąd względnybłąd względny, jaki popełnił Kazik w swoich szacunkach masy płetwala.

Mamy: $q=198 560$, $\tilde{q}=200000$.

Stąd błąd względny jest równy: $\frac{\left|200000-198560\right|}{198560}=\frac{1440}{198560}=0,00725\dots$

W ocenie masy płetwala Kazik pomylił się więc jedynie o około $0,7$ procent.

Obliczymy teraz błąd względnybłąd względnybłąd względny, jaki popełnił wujek Kazika w ocenie masy ryjówki.

Mamy $q=0,002$ oraz $\tilde{q}=0,02$, zatem błąd względny jest równy: $\frac{\left|0,002 - 0,02\right|}{0,002}=\frac{0,018}{0,002}=9$

Wujek Kazika pomylił się w ocenie masy ryjówki aż o $900\%$.

Odległość w linii prostej między Rzeszowem a Szczecinem jest równa $636 \mathrm{km}$. Na mapie w skali $1:2500000$ odległość ta, zmierzona linijką z podziałką milimetrową, wynosi $25,6 \mathrm{cm}$. Korzystając z tego pomiaru, możemy oszacować rzeczywistą odległość w linii prostej między tymi miastami. $25,6·2500000=64000000 \left(\mathrm{cm}\right),$, więc odległość ta wynosi $640 \mathrm{km}$.

Zauważmy, że błąd bezwzględnybłąd bezwzględnybłąd bezwzględny oszacowania odległości obu miast wynosi $4 \mathrm{km}$, więc błąd względnybłąd względnybłąd względny to w tym przypadku $\frac{4}{636}=0,0062893\dots$, a więc jest mniejszy niż $0,7\%$.

R76PNNAHVFEN8

Ilustracja przedstawia mapę Polski. Zaznaczona została odległość w linii prostej pomiędzy Szczecinem a Rzeszowem.

Sprzedawca owoców ma wagę, która waży z dokładnością do pięciu dekagramów. Załóżmy, że klient kupuje kilogram jabłek w cenie $4 \mathrm{zł}$ za kilogram. Oblicz, ile groszy może w najgorszym przypadku przepłacić z powodu niedoskonałości sklepowej wagi.

Zauważmy, że jeśli sprzedawca położy na wadze $95 \mathrm{dag}$ jabłek, a waga wskaże $1 \mathrm{kg}$, to klient za $95 \mathrm{dag}$ jabłek zapłaci $4 \mathrm{zł}$, choć prawidłowo powinien zapłacić:

$0,95 \left(\mathrm{kg}\right)·4 \left(\frac{\mathrm{zł}}{\mathrm{kg}}\right)=3,80 \left(\mathrm{zł}\right)$

W najbardziej niesprzyjających okolicznościach klient przepłaci za kupiony towar $20 \mathrm{gr}$.

jeżeli liczba $\tilde{q}$ jest przybliżeniem liczby $q\ne 0$, to błędem względnym tego przybliżenia nazywamy liczbę:  $\frac{\left|q-\tilde{q}\right|}{\left|q\right|}$

jeżeli liczba $\tilde{q}$ jest przybliżeniem liczby $q$, to błędem bezwzględnym tego przybliżenia nazywamy liczbę: $\left|q-\tilde{q}\right|$