Równanie Clapeyrona

Dotarcie do idealnego prawa gazowego

Ponad trzy stulecia temu naukowcy przeprowadzali eksperymenty, aby sprawdzić, jak zachowują się gazy, jeśli ich ciśnienie lub temperatura ulegną zmianie. Na podstawie badań sformułowano prawa dla hipotetycznego gazu, zwanego „gazem doskonałym”.

Równanie Clapeyrona (często nazywane też równaniem gazu doskonałego) opisuje zależność między ciśnieniem, objętością, temperaturą oraz ilością gazu. Jest ono jednym z podstawowych równań wykorzystywanych w chemii i fizyce do opisu zachowania gazów.

Równanie to ma postać:

p V = n R T

Gdzie:

$p$ – ciśnienie gazu;
$V$ – objętość;
$n$ – liczba moli gazu;
$T$ – temperatura bezwzględna (w Kelwinach);
$R$ – stała gazowa; $8,3143 \cdot 10^{3} \frac{J}{K \cdot mol} = 83,14 \frac{hPa \cdot {dm}^{3}}{mol \cdot K}$ .

W obliczeniach należy zwrócić uwagę na warunki, w jakich znajduje się gaz (warunki standardowewarunki standardowewarunki standardowe albo warunki normalnewarunki normalnewarunki normalne).

Do przeliczenia temperatury ( $T$ ) wyrażonej w stopniach Celsjusza ( $° C$ ) na Kelwiny ( $K$ ), należy posługiwać się zależnością:

T [K] = t [° C] + 273,16

Przykład 1

Przeliczanie temperatury wyrażonej w stopniach Celsjusza na skalę Kelwina.

np. $20 ° C$ w skali Kelwina wynosi:

T [K] = 20 [° C] + 273,16

T [K] = 293, 16 K

$20 ° C$ w skali Kelwina ma wartość $293,16 K$ .

bg‑gold

Jak wyprowadzić prawa gazowe z równania stanu gazu doskonałego?

Mamy początkowe wartości dla stanu gazu:

\frac{p_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}} = n R = const

W innych warunkach, kiedy zmieniamy stan gazu, liczba cząsteczek/atomów nie zmienia się w trakcie przemiany ( $n = const$ ).

\frac{p_{2} \cdot V_{2}}{T_{2}} = n R = const

Gdy ciśnienie gazu jest stałe ( $p = const$ ), otrzymujemy:

p_{1} = p_{2} = const = p

\frac{p \cdot V_{1}}{T_{1}} = \frac{p \cdot V_{2}}{T_{2}}

Dzielimy dwie strony równania przez $p$ i dotarliśmy do prawa Gay‑Lussaca:

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}

bg‑gold

Zastosowanie równania gazu doskonałego (równanie Clapeyrona)

Równanie Clapeyrona stosuje się w zadaniach praktycznych, gdy gaz zmienia swoją objętość, ciśnienie lub temperaturę. Pozwala ono obliczać te wielkości fizyczne w różnych przemianach gazowych. Przekształcając równanie Clapeyrona, możemy również wyznaczyć wielkości w stałych warunkach:

R1GnCGDa4Egj5

Schemat. W centrum schematu znajduje się zielone koło z równaniem Clapeyrona o wzorze: pV=nRT. Wokół koła umieszczone są rozgałęzienia w postaci białych prostokątów, w których wpisane są wielkości i wzory na ich wyliczenie. Wzory są następujące: 1. liczba moli (n), wzór: n = p V R T ; masa (m), wzór: m = M p V R T ; masa molowa (M), wzór: M = R T m p V ; gęstość (d), wzór: d = M p R T ; objętość (V), wzór: V = n R T p ; ciśnienie (p), wzór: p = n R T V ; temperatura (T), wzór: T = p V n R . — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Spójrz na poniższe problemy, aby zapoznać się z różnymi przykładami zastosowań równania Clapeyrona. Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie, a jeśli potrzebujesz pomocy – rozwiązania są ukryte tuż pod nimi.

Ćwiczenie 1

Oblicz ciśnienie, jakie jest wywierane na $4$ mole gazu znajdującego się w pojemniku o objętości $2$ ${dm}^{3}$ , jeśli temperatura wewnątrz układu wynosi $30 ° C$ .

R1CsRK9EhXu3D

RI6IUNLyh7sPB

Użyj przekształconego wzoru Clapeyrona: $p = \frac{n R T}{V}$ Pamiętaj, że:

$T = 30 ° C = 30 + 273,16 = 303,16 K$
$R = 83,14 \frac{hPa \cdot {dm}^{3}}{mol \cdot K}$

$p = \frac{4 mole \cdot 83,14 \frac{hPa \cdot {dm}^{3}}{mol \cdot K} \cdot 303,16 K}{2 {dm}^{3}} = 50409 hPa$

Ciśnienie wywierane na $4$ mole gazu wynosi $50409$ $hPa$ .

Ćwiczenie 2

Oblicz masę $8$ ${dm}^{3}$ chloru w temperaturze $300$ $K$ i pod ciśnieniem $1500$ $hPa$ . Przyjmij, że stała gazowa $R$ wynosi $83,14$ $\frac{hPa \cdot {dm}^{3}}{mol \cdot K}$ .

RyoPP4gIQwvBX

RNkLfmw5g6kzS

$p V = n R T$ , a liczba moli $n = \frac{m}{M}$ , stąd:

$m = \frac{p V M}{R T}$

$\frac{1500 hPa \cdot 8 {dm}^{3} \cdot 71 \frac{g}{mol}}{83,14 \frac{hPa \cdot {dm}^{3}}{mol \cdot K} \cdot 300 K} = 34 g$

Masa chloru wynosi $34$ $g$ .

Symulacja 1

Zapoznaj się z symulacją, która ilustruje równanie Clapeyrona oraz zmiany parametrów układu. Zwróć uwagę, że poruszające się w zamkniętych pojemnikach kulki prezentują model cząsteczek gazu doskonałego, natomiast kształt cząsteczek gazów rzeczywistych może różnić się od zaprezentowanego poniżej.
Za pomocą suwaków dołączonych do wykresów zmieniaj parametry układu, a następnie odpowiedz na pytania zamieszczone pod symulacją.

RGun9Z8NZGTaF

Symulacja interaktywna pt. „Równanie Clapeyrona”.
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Podpowiedźgreenwhite

Pamiętaj, że równanie Clapeyrona stosowane jest w obliczeniach dotyczących różnych przemian gazowych, gdy gaz zmienia swoją objętość, ciśnienie lub temperaturę. Ponadto, po przekształceniu oraz przy założeniu stałych warunków, równanie Clapeyrona pozwala na wyznaczenie wielu różnych wielkości, takich jak:

liczba moli (n)
$n = \frac{pV}{RT}$
masa (m)
$m = \frac{MpV}{RT}$
masa molowa (M)
$M = \frac{RTm}{pV}$
gęstość (d)
$d = \frac{Mp}{RT}$
objętość (V)
$V = \frac{nRT}{p}$
ciśnienie (p)
$p = \frac{nRT}{V}$
temperatura bezwzględna (T)
$T = \frac{pV}{nR}$
Uwaga! Pamiętaj, że temperatura bezwzględna wyrażona jest w Kelwinach. W codziennym życiu nie posługujemy się tą jednostką, w związku z czym odczytaną z termometru temperaturę (wyrażoną w stopniach Celsjusza) należy odpowiednie przeliczyć:
$T [K] = t [° C] + 273,16$

Równanie Clapeyrona (równanie stanu gazu doskonałego)

jest kombinacją wszystkich omówionych praw gazowych:

p V = n R T

Gdzie:

$p$ – ciśnienie gazu;
$V$ – objętość;
$n$ – liczba moli gazu;
$T$ – temperatura bezwzględna (w Kelwinach);
$R$ – stała gazowa; $8,3143 \cdot 10^{3} \frac{J}{K \cdot mol} = 83,14 \frac{hPa \cdot {dm}^{3}}{mol \cdot K}$ .

Polecenie 1

R4D7P8k0lddAH

Należy wykorzystać równanie Clapeyrona, które mówi:

p V = n R T

Po przekształceniu:

p = \frac{n R T}{V}

Nasze dane:

V = 98,4 {dm}^{3} = 98,4 \cdot 10^{- 3} m^{3}

n = 3,93 mole

T = (24 + 273) K = 297 K

R = 8,31 Pa \cdot m^{3} \cdot K^{- 1} \cdot {mol}^{- 1}

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

p = \frac{(3,93 mole) \cdot (8,31 Pa \cdot m^{3} \cdot K^{- 1} \cdot {mol}^{- 1}) \cdot (297 K)}{98,4 \cdot 10^{- 3} m^{3}} = 9,86 \cdot 10^{4} Pa

Ciśnienie gazu wynosi $9,86 \cdot 10^{4} Pa$ .

R1dNJgzhbDY8z

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Załóżmy, że gaz zajmuje pewną stałą objętość. Odpowiedz, jak zmienia się ciśnienie gazu, gdy temperatura pojemnika, w którym znajduje się gaz, rośnie.

RSA2CMLqo2uZq

Ćwiczenie 5

Wyprowadź zależność między parametrami równania Clapeyrona w momencie, gdy temperatura układu, w którym znajduje się gaz, przyjmuje stałą wartość.

RNT7K3CbHgURv

R8xSFIDOxnxq9

Pamiętaj, że liczba moli ( $n$ ) oraz parametr $R$ są stałe. Zapisz równanie Clapeyrona dla dwóch różnych stanów. Zapisz równość dla obu stanów. Następnie przekształć je, przyjmując stałą temperaturę gazu.

Mamy początkowe wartości dla stanu gazu:

\frac{p_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}} = n R = const

W innych warunkach, kiedy zmieniamy stan gazu, liczba cząsteczek/atomów nie zmienia się w trakcie przemiany ( $n = const$ ).

\frac{p_{2} \cdot V_{2}}{T_{2}} = n R = const

Gdy temperatura gazu jest stała ( $T = const$ ), otrzymujemy:

T_{1} = T_{2} = const = T

p_{1} \cdot V_{1} = p_{2} \cdot V_{2}

p = \frac{1}{V}

bg‑gold

Objętość gazu w warunkach normalnych

Warunki normalne zdefiniowane są następująco:

Ciśnienie normalne: 101 325 Pa = 1013,25 hPa (średnie ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza).

Temperatura normalna: 273,15 K, czyli $0 ° C$ (temperatura krzepnięcia wody przy ciśnieniu normalnym).

Rozważ następujący problem: jaką objętość ma 1 mol gazu w warunkach normalnych?

Korzystamy z równania Clapeyrona: $\frac{p_{0} \cdot V_{0}}{T_{0}} = n \cdot R$ , gdzie $p_{0}$ to ciśnienie normalne, $T_{0}$ – temperatura normalna, $n$ – liczba moli ( $n = 1$ ), $R$ – stała gazowa, a $V_{0}$ to szukana objętość 1 mola gazu. Mamy stąd:

$V_{0} = \frac{n \cdot R \cdot T_{0}}{p_{0}} = \frac{1 \cdot 8,31 \cdot 273,15}{1,01325 \cdot 10^{5}} [\frac{m o l \cdot J}{m o l \cdot K} \cdot \frac{K \cdot m^{2}}{N}] = 22,4 \cdot 1 0^{- 3} m^{3} = 22,4 d m^{3}$

Zauważ, że powyższy wynik nie zależy od rodzaju gazu pod warunkiem, że gaz można traktować jak gaz doskonały. Otrzymaliśmy więc ważny rezultat:

1 mol każdego gazu ma w warunkach normalnych objętość $22,4 {d m}^{3}$ (22,4 litra).

RusR5mDAy1xKZ1

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

R15xXg44MH4r21

a) Objętość powietrza w pokoju wynosi $V = S \cdot h = 20 \cdot 2,5 [m^{3}] = 50 m^{3}$

b) Liczba moli powietrza w pokoju $n = \frac{V}{V_{0}} = \frac{50 m^{3}}{0,0224 m^{3}} = 2232$

bg‑blue

Notatnik

R17TY7A3VUjRk

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wyznaczanie wzoru empirycznego i rzeczywistego

Obliczenia stechiometryczne

Dotarcie do idealnego prawa gazowego

Jak wyprowadzić prawa gazowe z równania stanu gazu doskonałego?

Zastosowanie równania gazu doskonałego (równanie Clapeyrona)

Objętość gazu w warunkach normalnych

Notatnik