To ciekawe

Johannes Kepler już na przełomie XVI i XVII wieku opisał ruch planet wokół Słońca. Odkrył on trzy prawa opisujące ruch planet w Układzie Słonecznym. Trzecie prawo Keplera opisuje zależność pomiędzy parametrem orbity, jakim jest wielka półoś orbity, a okresem obiegu planety znajdującej się na tej orbicie. Było to ogromne odkrycie! Były to czasy, w których nie znano zasad rządzących ruchem ciał. Dopiero 13 lat po śmierci Keplera urodził się Isaac Newton. To on odkrył prawo powszechnej grawitacji, które rządzi ruchem ciał posiadających masę! Jaki związek ma prawo powszechnego ciążenia z ruchem orbitalnym planet? Jak bez fundamentalnej wiedzy fizycznej Kepler wyznaczył prawdziwe zależności w Układzie Słonecznym? O tym wszystkim dowiesz się w tym e‑materiale.

Warto przeczytać

Johannes Kepler był znakomitym uczonym. Podobnie jak wielu astronomów i filozofów przed nim, Kepler przekonany był o jedności i doskonałej harmonii przyrody, której przejawów szukał w związkach liczbowych między wielkościami opisującymi ruch planet. Wnikliwa analiza wieloletnich obserwacji zebranych przez Tychona Brahe sprawiła, że Kepler znalazł owe zależności. W swoim trzecim prawie opisał zależność pomiędzy wielką półosią orbity a okresem obiegu planety wokół Słońca.

III prawo Keplera:

Nie wiedział on, ile dokładnie ta stała wynosi i skąd się bierze, ale wiedział, że stosunek tych dwóch wielkości jest taki sam dla wszystkich analizowanych (znanych w jego czasach) planet. Kilkadziesiąt lat później Isaac Newton, wyznając te same zasady co Kepler, analizował otaczający go świat.

Isaac Newton uważany jest za najwybitniejszego i jednego z najważniejszych uczonych wszechczasów. Jako pierwszy wykazał, że te same prawa rządzą ruchem ciał na Ziemi i ruchem ciał niebieskich. Jego prawa, opisujące ruch na Ziemi, dały matematyczne uzasadnienie prawom Keplera, a także uogólniły je. W jaki sposób? Przeanalizujmy ruch mas z punktu widzenia Newtona.

Newtonowskie prawo powszechnego ciążeniaPrawo powszechnego ciążeniaprawo powszechnego ciążenia mówi, że:

Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

Ma ono postać: $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$, gdzie $G$ to stała grawitacjiStała grawitacjistała grawitacji.

Rozpatrzmy to prawo w przypadku ruchu dwóch mas m i M wokół wspólnego środka masy O (Rys. 1.).

R1Ec7L65tOLHL

Rys. 1. Na ilustracji widoczne są dwa współśrodkowe okręgi o ciemnoniebieskich krawędziach. Symbolizują one orbity kołowe. Ich środek opisano czarnym punktem i wielką literą O. Promień mniejszego okręgu opisano wielką literą R. Na tym okręgu po prawej stronie narysowana żółtą kulę a jej masę opisano jako wielka litera M. Promień większego okręgu jest równy mała litera r. Po lewej stronie na obwodzie większego okręgu narysowano mniejszą, niebieską kulę której masę podpisano małą literą m. Kule symbolizują ciała niebieskie na orbitach o różnych promieniach i posiadające różne masy. Środek orbit oraz planety znajdują się na jednej prostej. Planety krążą po orbitach w kierunku przeciwnym względem ruchu wskazówek zegara co symbolizuje czarna strzałka w postaci łuku po prawej stronie i z góry rysunku. Strzałkę tę podpisano małą grecką literą omega co stanowi oznaczenie prędkości kątowej.

Środek masy to punkt charakterystyczny dla rozkładu masy w ciele lub układzie ciał. Jeżeli rozpatrywalibyśmy identyczne masy, to środek ten leżałby w połowie odległości między nimi. Im bardziej masywny jest jeden składnik układu, tym środek masy znajduje się bliżej niego. W przypadku ruchu planety o masie m wokół gwiazdy centralnej o masie M zachodzi zależność M >> m. Ponadto odległość masywniejszego ciała M od środka masy dąży do zera (R → 0), ponieważ środek masy układu, z bardzo dobrym przybliżeniem, znajduje się w obrębie ciała centralnego  Dlatego też, ruch ten upraszczamy do ruchu planety o masie m wokół gwiazdy centralnej o masie M.

RhCe7YzmpxZEh

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest okrąg narysowany czarną linią. W środku okręgu znajduje się duża złota kula. Symbolizuje to planetę i jej orbitę kołową. Pod planetą, na obwodzie okręgu, w najniższym jego punkcie znajduje się mniejsza złota kulka. Symbolizuje ona satelitę krążącego po orbicie kołowej. Z satelity wychodzą dwie czarne strzałki symbolizujące wektory. Jeden z wektorów jest pionowy, skierowany w górę do środka planety i podpisany jako siła wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor. Jest to w domyśle siła oddziaływania grawitacyjnego. Drugi wektor jest poziomy i skierowany w lewo. Jest to wektor prędkości liniowej mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor.

Dzięki II zasadzie dynamiki Newtona wiemy, że wypadkowa siła działająca na poruszające się ciało jest równa iloczynowi jego przyspieszenia i masy. W ruchu po okręgu siłę tę nazywamy siłą dośrodkowąSiła dośrodkowasiłą dośrodkową. Jest ona zwrócona ku środkowi okręgu i utrzymuje ciało na orbicie kołowej. Wartość siły dośrodkowej: $F=\frac{m{v}^2}{r}$, gdzie $v$ to prędkość liniowa, równa całkowitej długości orbity podzielonej przez okres obiegu $T$.

Z powyższych zależności dostajemy wartość siły dośrodkowej w postaci:

$F=\frac{4{\pi }^2\mathrm{\text{rm}}}{T^2}$.

Ponieważ siła dośrodkowa jest siłą przyciągania grawitacyjnego:

$G\frac{\mathrm{\text{mM}}}{r^2}=\frac{4{\pi }^2\mathrm{\text{rm}}}{T^2}$.

Przekształcając wzór dostajemy zależność:

$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{\mathrm{\text{GM}}}=\mathrm{\text{const}},$

która jest niczym innym jak III prawem Keplera.

Oczywiście ruch planet wokół Słońca odbywa się po elipsie. Jednak ekscentryczność orbit planet jest bardzo mała, więc w przybliżeniu można przyjąć, że orbity te są kołowe. W takim wypadku za promień r obieramy wartość wielkiej półosi orbity a.

W ten uproszczony sposób udowodniliśmy dzięki prawom Newtona, ile wynosi stała w III prawie Keplera. To przełomowe uzasadnienie przez Newtona praw Keplera uzmysłowiło innym uczonym tamtych czasów, że teoria heliocentryczna Kopernika jest prawdziwa. Dopiero w XVII wieku stała się ona powszechna.

Słowniczek