3. Logarytm dziesiętny

RWmSidOPWWL4Y

Grafika przedstawia tło składające się z cyfr

0

oraz

1

RQTODEprT6IG91

Rycina przedstawia starszego mężczyznę z zarostem w dopasowanym nakryciu głowy. Mężczyzna ma ściągnięte brwi, patrzy przed siebie. Ubrany jest dość skromnie, ma na sobie czarne ubranie z białym szerokim kołnierzem. — Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Siedemnastowieczny brytyjski matematyk Henry Briggs, znany również jako wybitny kartograf, postanowił usprawnić obliczenia wykonywane przez astronomów i nawigatorów. Rachunki te były uciążliwe, ponieważ wymagały wykonywania działań na dużych liczbach. W owych czasach potrafiono już mnożenie zamieniać na dodawanie za pomocą logarytmów. Prowadziło to jednak do dużych przybliżeń, co w nawigacji morskiej powodowało fatalne skutki. Briggs, po konsultacjach z wybitnym matematykiem Johnem Napierem, zaproponował, aby w obliczeniach powszechnie korzystać z logarytmów o podstawie $10$ , jako najbardziej przydatnych. Stworzył przy tym tablice logarytmiczne, z których do dziś korzystają matematycy.
Obecnie logarytmy o podstawie $10$ nazywane są logarytmami dziesiętnymi lub logarytmami Briggsa.

W tym materiale będziemy obliczać wartości dokładne i przybliżone logarytmów dziesiętnych, poznamy też niektóre ich własności.

Twoje cele

Wyznaczysz wartości dokładne logarytmów dziesiętnych.
Oszacujesz wartości wyrażeń zawierających logarytmy dziesiętne.
Wykorzystasz wartości przybliżone logarytmów dziesiętnych w obliczeniach arytmetycznych.

Wartość dokładna logarytmu dziesiętnego

Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie $10$ .

Matematycy umówili się, że zapisując logarytm dziesiętny, zwykle pomija się podstawę.
Zamiast $\log_{10} x$ możemy napisać $\log x$ . Logarytmy dziesiętne obliczamy podobnie, jak logarytmy o innych podstawach. Pamiętamy przy tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Przykład 1

Przykłady obliczania logarytmów dziesiętnychlogarytm dziesiętnylogarytmów dziesiętnych przy wykorzystaniu definicji logarytmu.

$\log 1 = 0,$ bo $10^{0} = 1$
$\log 10 = 1,$ bo $10^{1} = 10$
$\log 100 = 2,$ bo $10^{2} = 100$
$\log 1000 = 3,$ bo $10^{3} = 1000$

Przykład 2

Przykłady obliczania logarytmów dziesiętnych przy wykorzystaniu definicji logarytmu.

$\log 0, 1 = - 1,$ bo $10^{- 1} = 0, 1$
$\log 0, 01 = - 2,$ bo $10^{- 2} = 0, 01$
$\log \frac{1}{1000} = - 3,$ bo $10^{- 3} = \frac{1}{1000}$
$\log \frac{1}{10000} = - 4,$ bo $10^{- 4} = \frac{1}{10000}$

Przykład 3

$\log 10^{3} = 3$
$\log 10^{7} = 7$
$\log 10^{- 3} = - 3$
$\log 10^{- 1} = - 1$
$\log 10^{- 6} = - 6$

Zauważmy, że logarytm dziesiętny potęgi liczby $10$ jest równy wykładnikowi tej potęgi.

Logarytm dziesiętny liczby przedstawionej w postaci iloczynu, którego pierwszym czynnikiem jest liczba całkowita, a drugim potęga liczby dziesięć, można zapisywać za pomocą sumy logarytmu dziesiętnego pierwszego czynnika i liczby, będącej wykładnikiem drugiego czynnika.

Przykład 4

$300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^{2}$ , zatem $\log 300 = \log 3 + \log 100 = \log 3 + 2$

$0, 008 = 8 \cdot 0, 001 = 8 \cdot 10^{- 3}$ , zatem $\log 0, 008 = \log 8 \cdot 10^{- 3} = \log 8 - 3$

Przybliżone wartości logarytmów, dokładniejsze niż znalezione w powyższych przykładach, można odczytać z tablic logarytmicznych. Z takich tablic można odczytać też liczby logarytmowane. Jednak jest to dość skomplikowane. Zatem warto, korzystając np. z kalkulatora lub komputera odczytać i zapamiętać wartości przybliżone co najmniej dwóch logarytmów (np. $\log 2$ , $\log 3$ ) i za ich pomocą, wyznaczać przybliżone wartości innych logarytmów.

Przykład 5

Wiedząc, że $\log 2 \approx 0, 3010$ obliczymy $\log 8$ , $\log \sqrt{2}$ , $\log 5$ .

$\log 8 = \log (2^{3}) = 3 \log 2 \approx 3 \cdot 0, 3010 = 0, 9030$

$\log \sqrt{2} = \log 2^{\frac{1}{2}} \approx \frac{1}{2} \cdot 0, 3010 = 0, 1505$

$\log 5 = \log (10 : 2) = \log 10 - \log 2 \approx 1 - 0, 3010 = 0, 699$

Przykład 6

Wiedząc, że $\log 3 \approx 0, 4771$ obliczymy przybliżoną wartość wyrażenia $W = \frac{\log 9}{\log 30 - \log 6}$ .

$W = \frac{\log 9}{\log 30 - \log 6} = \frac{2 \log 3}{\log 10 + \log 3 - \log 3 - \log 2}$

$W \approx \frac{2 \cdot 0, 4771}{1 - 0, 3010} = \frac{0, 9542}{0, 699}$

$W \approx 1, 365$

Gra edukacyjna

Polecenie 1

Ułóż matematyczne puzzle. Dopasuj fragmenty wielokątów tak, aby wyrażenia o tej samej wartości utworzyły kwadrat. Powodzenia!

R15eZ1oYNYcDR1

R1C8rCisfcWiI

Rwr6ZOAFBU4L0

Polecenie 2

Oblicz $\frac{\log 200 - \log 20}{\sqrt{\log 10000}}$ .

$\frac{\log 200 - \log 20}{\sqrt{\log 10000}} = \frac{\log 2 + \log 100 - \log 2 - \log 10}{\sqrt{4}} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1O1BaeNhVkso1

Ćwiczenie 1

RkngPuIHZE3kX1

Ćwiczenie 2

R1Z3h6FGGJMCs2

Ćwiczenie 3

RKWI79gfwQZvt2

Ćwiczenie 4

RifVrXw2ZLo6Z2

Ćwiczenie 5

R18nLPLBbIotJ2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wiedząc, że $\log 3 \approx 0, 4771$ i $\log 2 \approx 0, 3010$ , oblicz przybliżoną wartość wyrażenia $\log 300 + \log 6$ .

$\log 300 + \log 6 = \log (10^{2} \cdot 3) + \log (2 \cdot 3) = \log 10^{2} + \log 3 + \log 2 + \log 3$

$\log 300 + \log 6 \approx 2 + 0, 4771 + 0, 3010 + 0, 4771 = 3, 2552$

Ćwiczenie 8

Korzystając z tego, że $\log 5 \approx 0, 6990$ i $\log 3 \approx 0, 4771$ oblicz przybliżoną wartość liczby $x$ takiej, że $3^{x} = 5$ . Wynik podaj z dokładnością do $0, 01$ .

$3^{x} = 5$
$\log 3^{x} = \log 5$
$x \cdot \log 3 = \log 5$
$x = \frac{\log 5}{\log 3}$
$x \approx \frac{0, 6990}{0, 4771}$
$x \approx 1, 47$

RAN0S3QjofpUE1

Ćwiczenie 9

RjGSAibJ89cvv1

Ćwiczenie 10

RoeniUX8xBWrc2

Ćwiczenie 11

Słownik

logarytm dziesiętny

logarytm o podstawie $10$

2. Własności logarytmów

4. Zastosowanie logarytmów w fizyce i chemii i nie tylko