4. Zastosowanie logarytmów w fizyce, chemii i nie tylko

RJ2UA4F6N27J71

Zdjęcie przedstawia przekrój muszli w kształcie spirali.

Już samo słowo logarytm budzi strach u wielu humanistów, nie mówiąc już o  twierdzeniach logarytmicznych. Jednak okazuje się, że logarytmy są przydatne nie tylko po to, aby zwiększać trudność zadań maturalnych, ale można je wykorzystać w  całkiem przyjemny sposób, na przykład określając muzyczne interwały, badając kształt muszli, czy sprawdzając poprawność obliczeń księgowych.

W psychologii prawo określające związek między czasem potrzebnym jednostce na podjęcie decyzji a liczbą możliwych wyborów, opisane jest za pomocą logarytmów.

Suwaki logarytmiczne były przez wiele lat wykorzystywane jako przeliczniki miar, służyły do określania dawki leku, towarzyszyły kosmonautom w misji Apollo. Wciąż są używane w chemii analitycznej, przez płetwonurków i jako suwaki – kalkulatory zużycia paliwa.

Zastosowanie logarytmów w fizyce

W tym materiale pokażemy kilka zastosowań logarytmów w obliczeniach z fizyki. Przekształcając podane wzory, wykorzystamy własności logarytmów. Dla przypomnienia podamy najpierw definicję logarytmu.

Wahadło

Wahadło matematyczne to ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi, nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

Dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

RU5LXURHCZ7GB

Grafika przedstawia łuk wyznaczony przez ruch wahadła, z końców łuku biegną dwie ukośne linie łączące się nad łukiem w środku jego rozpiętości. Linie te są oznaczone literą l. Na lewym końcu łuku zaznaczona została kropka. Obok łuku narysowany został rysunek przedstawiający wahadło i pokazujący sposób w jaki ono się porusza. Ramię wahadła jest podpisane litera l.

gdzie:
$T$ – okres drgań
$l$ – długość wahadła
$g$ – przyspieszenie ziemskie

Zauważmy, że podany wzór obowiązuje nie tylko w odniesieniu do drgań wahadła na Ziemi, ale też na innych planetach. Na Księżycu dane wahadło miałoby $\sqrt{6}$ razy dłuższy okres drgań, gdyż przyspieszenie grawitacyjne jest tam około sześciokrotnie mniejsze niż na Ziemi.

Absolutna wielkość gwiazdowa

Absolutna wielkość gwiazdowa to obserwowana wielkość gwiazdowa (wyrażona w magnitudo), jaką miałby obiekt oglądany z pewnej odległości przy braku pochłaniania światła w przestrzeni międzygwiezdnej.

W przypadku, gdy obiekt znajduje się poza Układem Słonecznym, za odległość odniesienia przyjęto $10$ parseków.
Parsek to jednostka odległości używana w astronomii.
$1$ parsek to około $3,26$ roku świetlnego.
$1$ parsek to około $3,1·{10}^{16} \mathrm{m}$.

Absolutna wielkość gwiazdowa jest miarą jasności ciał niebieskich. Obserwowana wielkość gwiazdowa to jasność obserwowana gwiazdy w skali wielkości gwiazdowych.

Zależność między wielkością obserwowaną a absolutną wyraża się wzorem

gdzie:
$M$ – wielkość absolutna obiektu, określona jako wielkość obserwowana z odległości $10$ parseków,
$m$ – wielkość obserwowana,
$r$ – odległość między obserwatorem a obiektem, wyrażona w parsekach.

Rząd wielkości

Rząd wielkości to przybliżone oszacowanie wartości danej liczby, określające w przyjętej skali przedział, w którym ta wielkość się znajduje. Znajomość rzędu wielkości pozwala na przykład ocenić rozmiar wpływu tej wielkości na wyniki obliczeń.

Rząd wielkości wyrażony jest przez całkowitą potęgę liczby $10$ najbliższą wartości szacowanej liczby.

Na przykład:

• liczba $1,21$ jest rzędu jedności, czyli ${10}^0$,

• liczba $8·{10}^8$ jest rzędu ${10}^9$,

• liczba $7,9·{10}^{-11}$ jest rzędu ${10}^{-10}$.

W matematyce do określania rzędu wielkości używa się też logarytmówlogarytmlogarytmów. Rząd wielkości to najbliższa całkowita wartość logarytmulogarytmlogarytmu dziesiętnego danej liczby.

Poziom natężenia dźwięku

Miarą siły dźwięku jest natężenie dźwięku. Jednostką natężenia dźwięku jest $\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}$. W zakresie słyszalności człowieka dla dźwięku o częstotliwości $1000 \mathrm{Hz}$ natężenie dźwięku przyjmuje wartość od ${10}^{-12} \frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}$ do ${10}^2 \frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}$. Pierwsza wartość odpowiada progowi słyszalności, druga granicy bólu. Posługiwanie się natężeniem dźwięku nie jest wygodne, bowiem stosunek największej wartości natężenia do najmniejszej wyraża się bardzo dużą liczbą ${10}^{14}$. Dlatego wprowadzono pojęcie poziomu natężenia dźwięku, który określa względną wartość natężenia wzorem

gdzie:
$L$ – poziom natężenia dźwięku,
$I$ – natężenie dźwięku,
$I_0$ – natężenie dźwięku odniesienia wynoszące ${10}^{-12} \frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}$.

Jednostką poziomu natężenia dźwięku jest decybel ($\mathrm{dB}$).

Skala Richtera

Skala Richtera jest skalą logarytmiczną określającą wielkość trzęsienia Ziemi na podstawie amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych. Skala ta określa energię wytworzoną w czasie wstrząsu. Każdy kolejny stopień oznacza dziesięciokrotnie większą poziomą amplitudę drgań oraz około $32$-krotnie większą energię.

Siła trzęsień Ziemi określana w skali Richtera opisana jest wzorem

gdzie:
$A$ – amplituda trzęsienia Ziemi wyrażona w $\mathrm{cm}$,
$A_0$ – amplituda wzorcowa równa ${10}^{-4} \mathrm{cm}$.

Zastosowanie logarytmów w chemii

R1QBTH93SLCCC

Ilustracja przedstawia dwa zdjęcia. Po lewo umieszczono zdjęcie satelitarne huraganu Katarina, układający się w kształt spirali. Po prawo umieszczono zdjęcie galaktyki spiralnej.

Wiele zjawisk i obiektów przyrodniczych ma kształt spirali logarytmicznej. Na przykład taki kształt ma tor ruchu owada lecącego do źródła światła, ruch powietrza w czasie cyklonu czy muszle łodzików – morskich głowonogów. Spiralną strukturę mają też niektóre galaktyki.

Poniżej przykład jednego z najbardziej znanych zastosowań logarytmów w obliczeniach chemicznych – wyznaczanie kwasowości roztworów.

Określanie $pH$ roztworów

Skala $pH$ jest ilościową skalą kwasowości i zasadowości roztworów wodnych związków chemicznych.

Skala ta opiera się na aktywności jonów hydroniowych $\left[H_3{O}^{+}\right]$ w roztworach wodnych.

Najczęściej $pH$ oblicza się według wzoru:

gdzie:
$\left[H_3{O}^{+}\right]$ – oznacza stężenie jonów hydroniowych, wyrażone w molach na ${\mathrm{dm}}^3$.

R9ZBHCVEJ3C4U

Ilustracja zatytułowana jest „Przykładowe wartości pH”. Poniżej znajdują się dwie kolumny. Kolumna lewa ma nagłówek Substancja, kolumna prawa ma nagłówek pH, a w niej zapisane są wartości pH na tle w takim kolorze, jaki przybiera papierek lakmusowy przy badaniu pH danej substancji. Podamy teraz zaprezentowane wartości pH dla wymienionych substancji. 1. Jednomolowy kwas solny – pH równe 0, kolor czerwony, 2. Coca‑cola – pH równe 2,5, kolor pomarańczowy 3. Ocet, – pH równe 2,9 kolor jasnopomarańczowy, 4. Herbata – pH równe 5,4, kolor żółty, 5. Mleko – pH równe 6,5, kolor jasnozielony, 6. Chemicznie czysta woda – pH równe 7, kolor zielony, 7. Woda morska – pH równe 8, kolor niebieski, 8. Mydło – pH w zakresie od dziewięciu do dziesięciu, kolor ciemnoniebieski, 9. Woda amoniakalna – pH równe 11,5, kolor granatowy.

Chemicy zwykle przyjmują uproszczoną wersję wzoru określającego $pH$ roztworu, opartą o stężenia jonów wodorowych.

Dla chemicznie czystej wody $pH=-\log {10}^{-7}=7$ – woda ma odczyn obojętny.

Określanie wieku znaleziska

Do określania wieku znaleziska archeologicznego można wykorzystać wynik pomiaru zawartości izotopu węgla ${}^{14}C$ w żyjącym organizmie (roślinnym lub zwierzęcym) - stosunek ilości radioaktywnego izotopu węgla ${}^{14}C$ do izotopu nieradioaktywnego ${}^{12}C$ jest stały i wynosi około $1,5·{10}^{-12}$. Po śmierci organizmu ilość radioaktywnego izotopu ${}^{14}C$ maleje (okres jego połowicznego rozpadu wynosi około $5700$ lat), a ilość izotopu ${}^{12}C$ pozostaje niezmieniona.

W $1946$ r. amerykański fizyk F. Libby zaproponował wzór opisujący masę $m$ próbki promieniotwórczego izotopu o okresie połowicznego rozpadu $T$, po upływie czasu $t$.

gdzie:
$m_0$ – początkowa masa próbki.

Inne zastosowania logarytmów

Demografia

Pokażemy teraz zastosowanie logarytmówlogarytmlogarytmów do obliczeń demograficznych. Wykorzystamy wzór na procent składany.

Zmiany ciśnienia atmosferycznego

Aby obliczyć wysokość szczytu górskiego można użyć barometru i skorzystać ze wzoru:

gdzie:
$h$ – wysokość góry,
$b_1$, $b_2$ – ciśnienie barometryczne (wyrażone w mm słupka rtęci) odpowiednio u podnóża góry i na jej wierzchołku.

Z tego wzoru można też korzystać, chcąc obliczyć wartość ciśnienia atmosferycznego u podnóża góry lub na jej wierzchołku.

Wymiar fraktalny

Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego frangere (łamać). Jest to bardzo trafna nazwa, bowiem wymiar fraktala zwykle nie jest liczbą całkowitą. Geometrycznie fraktal można zinterpretować jako figurę samopodobną, czyli taką, której części są podobne do całości. Dla figur samopodobnych określa się wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa (wymiarem fraktalnym), będącą uogólnieniem klasycznej definicji wymiaru.

Obliczanie wymiaru fraktala oparte jest na koncepcji tzw. pudełek. Daną figurę pokrywamy mniejszymi („pudełkami”), podobnymi do wyjściowej figury. Wymiar pudełkowy oparty jest na zliczaniu ilości „pudełek” pokrywających zbiór.

Jeśli figura w całej wielkości zawiera $N$ samopodobnych kopi siebie wielkości $s$, to jej wymiar samopodobieństwa jest równy:

Dla przykładu wymiar fraktalny płuc szacuje się na ok. $2,97$, a powierzchni mózgu na ok. $2,79$.

Przykład 11

Obliczymy wymiar fraktalny zbioru Cantora.

R1RZ33S7PXGHS

Rysunek przedstawia pogrubione poziome linie. Pierwsza od góry linia jest najdłuższa. Od lewej i od prawej narysowane są pod nią dwie kolejne linie o długości jednej trzeciej linii wyjściowej. Pod każdą z linii z drugiego poziomu narysowane są kolejne dwie linie o długości jednej trzeciej długości linii z drugiego poziomu i ponownie linie na trzecim poziomie są narysowane: jedna od lewej strony, druga od prawej. W czwartym wierszu powtórzono tę samą zasadę dla czterech linii z poziomu trzeciego.

Tworzenie zbioru Cantora rozpoczynamy od narysowania odcinka. Odcinek dzielimy na trzy, a następnie „wycinamy” środek. W podobny sposób postępujemy z utworzonymi „pozostałymi” odcinkami. Procedurę powtarzamy w nieskończoność.

Każdy nowo powstały odcinek jest więc podobny do poprzedniego w skali $3$, a z każdego odcinka powstają dwa nowe.

Zatem:

$N=2$

$s=\frac{1}{3}$

$D_s=\frac{{\displaystyle \log 2}}{{\displaystyle \log \left(\frac{1}{\frac{1}{3}}\right)}}=\frac{\log 2}{\log 3}$

$D_s\approx 0,63$

Odpowiedź:

Wymiar zbioru Cantora jest równy w przybliżeniu $0,63$.

Materiały multimedialne

Zapoznaj się jeszcze z kilkoma ciekawymi możliwościami wykorzystania logarytmów w różnych dziedzinach życia.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik