2. Sposoby opisywania funkcji

RDT8CXLSJUTDQ

R6FEDTV4XQK311

Ilustracja przedstawia głowę meżczyznę w średnim wieku. Ma krótkie włosy, wąsy i brodę. — Heron z Aleksandrii
Źródło: dostępny w internecie: http://www.xtec.es/~jcanadil/imatges/personatges/actius/Heron.jpg, domena publiczna.

Funkcje można przedstawiać różnymi sposobami, na przykład słownie.

Już w starożytności, kiedy nie znano jeszcze pojęcia funkcji, stosowano jej opis słowny. Na początku naszej ery Heron z Aleksandrii podał algorytm obliczania pola trójkąta. Jest to typowy przykład słownego opisu funkcji. Nie jest to jedyny przykład stosowania opisu słownego. W średniowieczu, kiedy pojęcie funkcji zostało już sformułowane w sposób jawny, stosowano opis słowny, aby na podstawie tego opisu można było przeprowadzić obliczenia.

Twoje cele

Poznasz sposoby opisywania funkcji.
Opiszesz funkcję różnymi sposobami.
Wybierzesz sposób opisu funkcji w zależności od sytuacji.

Funkcja

Do opisu funkcji najczęściej wykorzystujemy:

graf,
opis słowny,
tabelkę,
zbiór par uporządkowanych,
wykres,
wzór.

Prześledźmy powyższe sposoby, analizując przykłady.

Graf

R37K2UHF5CP731

Z grafu można odczytać, że dziedziną funkcji jest zbiór $X = \{A, B, G, H, I, J, K, C\}$ , zaś przeciwdziedziną zbiór $Y = \{D, E, L, M, N, O, Q, P, R\}$ . Strzałki pokazują sposób przyporządkowania elementom dziedziny elementów przeciwdziedziny. Zapis $A \to D$ czytamy: dla argumentu $A$ wartość funkcji jest równa $D$ , czyli $f (A) = D$ .

Opis słowny

Funkcję $f$ opisujemy pełnym zdaniem, podajemy jej dziedzinę i dokładny opis przyporządkowania. Np.: „Funkcja $f$ każdemu uczniowi klasy $\text{I a}$ przyporządkowuje jego numer w dzienniku.”

Znając opis funkcji można podać wartości funkcji przyporządkowane poszczególnym argumentom.

Tabelka

Tabelka zbudowana jest z dwóch wierszy. W górnym wierszu znajdują się argumenty funkcji, czyli elementy dziedziny funkcji. W dolnym wierszu umieszczone są wartości, jakie funkcja przyjmuje dla danych argumentów.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$- 3$	$- 5$	$2$	$7$	$8$	$0$	$10$

Z tabelki możemy na przykład odczytać, że dla argumentu $1$ funkcja $f$ przyjmuje wartość $7$ , natomiast wartość $0$ odpowiada argumentowi $3$ .

Zbiór par uporządkowanych

Funkcję można opisać za pomocą zbioru par uporządkowanych postaci $(x, f (x))$ , gdzie pierwszy element pary oznacza argument, zaś drugi to wartość funkcji dla danego elementu.

Np.: $\{(3, 8), (4, 9), (7, 24), (8, 32)\}$ .

Zapis $(4, 9)$ oznacza, że $f (4) = 9$ .

Wykres

Wykres funkcji

Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcjiwykres funkcjiWykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ .

R2DRMA23MEJT61

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery punkty o współrzędnych kolejno: nawias, minus, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

Rysunek przedstawia wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji $f$ . Wykres składa się z czterech punktów. Współrzędne tych punktów to: $(- 2, - 1)$ , $(- 1, 2)$ , $(2, 3)$ , $(4; 4, 5)$ .

Z wykresu możemy odczytać na przykład, że $f (- 1) = 2$ oraz że $f (x) = 4, 5$ tylko wtedy, gdy $x = 4$ . Wykres funkcji składa się tylko z tylu punktów, ile elementów znajduje się w dziedzinie funkcji.

Wzór funkcji

Są trzy główne sposoby zapisywania wzoru funkcji. Na przykład:

$f : x \to 0,5 x^{2}$ , jeżeli $x \in ℝ_{+}$ ,
$f (x) = 0,5 x^{2}$ , jeżeli $x \in ℝ_{+}$ ,
$y = 0,5 x^{2}$ , jeżeli $x \in ℝ_{+}$ .

Znając wzór funkcji możemy stwierdzić, czy dany punkt należy do wykresu funkcjiwykres funkcjiwykresu funkcji. Możemy również obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu.

Np.: $f (4) = 0, 5 \cdot 4^{2} = 8$ , $f (6) = 0, 5 \cdot 6^{2} = 18$ .

Przykład 1

Dane są dwa zbiory $X = \{2, 5, 7, 20, 32\}$ oraz $Y = \{- 2, - 4, - 6, 0, 6\}$ . Rozważmy funkcję, które odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ i opiszmy ją różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Opis słowny – każdej liczbie parzystej ze zbioru $X$ przyporządkowujemy liczbę $0$ , a każdej liczbie nieparzystej liczbę $6$ .

Dziedzina funkcji – $D_{f} = \{2, 5, 7, 20, 32\}$

Zbiór wartości – $Z W_{f} = \{0, 6\}$

Graf

R1FQE7SEUO2HQ

Tabelka

$x$	$2$	$5$	$7$	$20$	$32$
$f (x)$	$0$	$6$	$6$	$0$	$0$

Zbiór par uporządkowanych

$\{(2, 0), (5, 6), (7, 6), (20, 0), (32, 0)\}$ .

Wykres

RFPL8O6QQLHDQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do trzydziestu dwóch, przy czym po cyfrze osiem oś X narysowana jest linią przerywaną, następna liczba zaznaczona na osi to dwadzieścia, dalej oś jest narysowana ponownie linią przerywaną i kolejna liczba na osi to trzydzieści dwa. Linia przerywana informuje, że na potrzeby rysunku pominięta została część osi. Układ współrzędnych składa się także z pionowej osi Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są punkty, które prezentuje poprzedni graf. Punkty te mają współrzędne: nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć przecinek sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, siedem przecinek sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwadzieścia przecinek zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzydzieści dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu.

Wzór

Funkcja $f$ zapisana jest za pomocą wzoru:

f (x) = \{\begin{cases} 0, jeżeli x = 2 lub x = 20 lub x = 32 \\ 6, jeżeli x = 5 lub x = 7 \end{cases}

Przykład 2

Funkcja $f$ każdej liczbie dodatniej $x$ przyporządkowuje objętość sześcianu o krawędzi długości $x$ . Opiszemy tę funkcję różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji

$f (x) = x^{3}$

Dziedzina funkcji – $D_{f} = ℝ_{+}$

Zbiór wartości – $Z W_{f} = ℝ_{+}$

Tabelka

Dziedzina funkcji jest zbiorem nieskończonym. Sporządzamy tabelkę częściową dla pięciu liczb rzeczywistych dodatnich.

$x$	$1$	$1, 5$	$2$	$2, 5$	$3$
$f (x)$	$1$	$3, 375$	$8$	$15, 625$	$27$

Zbiór par uporządkowanych (częściowy)

$\{(1; 1), (1, 5; 3, 375), (2; 8), (2, 5; 15, 625), (3; 27)\}$

Wykres (częściowy)

RLC65S7A2JO81

Stosując opis słowny funkcji musimy pamiętać o tym, że funkcję opisujemy podając jej dziedzinę i precyzyjny opis odwzorowania.

Poniższe przykłady przybliżą słowny sposób opisu funkcji.

Przykład 3

Dana jest funkcja $f$ : $X \to Y$ opisana wzorem: $f (x) = x^{3} + 3 x$ , gdzie $X \in ℝ$ i $Y \in ℝ$ . Podaj słowny opis funkcji.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje sumę jej sześcianu i jej potrojoną wartość.

Przykład 4

Dana jest funkcja $f$ : $X \to Y$ , gdzie $X = \{- \frac{18}{5}, - \frac{15}{4}, - \frac{1}{25}, \frac{4}{10}, \frac{26}{3}, 9\}$ . Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in X$ przyporządkowuje liczbę przeciwną do odwrotności liczby $x$ . Sporządź tabelkę tej funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej.

Rozwiązanie:

$x$	$- \frac{18}{5}$	$- \frac{15}{4}$	$- \frac{1}{25}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{26}{3}$	$9$
$f (x)$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{15}$	$25$	$- \frac{10}{4}$	$- \frac{3}{26}$	$- \frac{1}{9}$

Przykład 5

Obwód prostokąta jest równy $15$ . Wyznacz wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od długości krótszego boku.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – długość krótszego boku,

$p (x)$ – funkcja opisująca pole prostokąta w zależności od długości boku $x$ .

p (x) = 15 x - x^{2}

$D_{p} = (0; 7,5)$ – dziedzina funkcji.

Przykład 6

Podaj słowny opis funkcji opisanej za pomocą grafu.

RL85GSQ9C3ZNB

Ilustracja przedstawia dwa zbiory opisane jako X i Y. Cyfry z obu zbiorów są ze sobą połączone. Zero ze zbioru x z zerem ze zbioru y, jeden z jeden, dwa z cztery, trzy z dziewięć, cztery z szesnaście, pięć z dwadzieścia pięć, sześć z trzydzieści sześć, siedem z czterdzieści dziewięć, osiem z sześćdziesiąt cztery, dziewięć z osiemdziesiąt jeden, oraz dziesięć z sto.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ przyporządkowuje jej kwadrat.

Przykład 7

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą zbioru par uporządkowanych
$\{(- 8, - 11), (- 4, - 7), (0, - 3), (0, 5; - 2, 5), (4, 1), (8, 5)\}$ .
Przedstaw jej opis słowny.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in \{- 8; - 4; 0; 0,5; 4; 8\}$ przyporządkowuje liczbę o trzy mniejszą od $x$ .

Przykład 8

Pudełko ma kształt graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy na długość $x$ . Wysokość tego graniastosłupa ma długość $15$ . Podaj wzór funkcji $v$ , która liczbie $x$ przyporządkowuje objętość tego pudełka.

Rozwiązanie:

Funkcja ta jest opisana wzorem:

v (x) = 15 x^{2}

Dziedzina funkcji: $D_{v} = (0; \infty)$ .

Poniższe przykłady pomogą nam zrozumieć w jaki sposób wykonujemy tabelkę, gdy funkcja liczbowafunkcja liczbowafunkcja liczbowa $f$ przedstawiona jest za pomocą wzoru, grafu, wykresu, zbioru uporządkowanych par lub za pomocą opisu słownego.

Przykład 9

Dana jest funkcja $f : X \to Y$ zapisana wzorem: $f (x) = 2 x - 5$ , gdzie $X \in ℝ$ i $Y \in ℝ$ . Sporządź tabelkę częściową funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór nieskończony. Wykonamy tabelkę częściową. Ze zbioru liczb rzeczywistych wybieramy dziewięć liczb i obliczamy wartości funkcji $f$ dla wybranych argumentów.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 4 \frac{2}{3}$	$- 3 \frac{2}{7}$	$- \sqrt{5}$	$- 1$	$0$	$2$	$3 \sqrt{3}$	$4 \frac{2}{3}$	$5 \frac{7}{8}$
$f (x)$	$- 14 \frac{1}{3}$	$- 11 \frac{4}{7}$	$- 2 \sqrt{5} - 5$	$- 7$	$- 5$	$- 1$	$6 \sqrt{3} - 5$	$4 \frac{1}{3}$	$6 \frac{3}{4}$

Przykład 10

Dana jest funkcja $f : X \to Y$ , gdzie $X = \{- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{4}, - \sqrt{3}, - 1, 2, 3 \frac{2}{5}, 4 \sqrt{2}, 9 \frac{2}{3}\}$ . Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in X$ przyporządkowuje odwrotność liczby $x$ . Sporządź tabelkę tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zbiór $X$ jest zbiorem skończonym. Tabelka, przedstawiająca funkcję, będzie zawierała wszystkie liczby należące do zbioru $X$ .

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3 \frac{2}{5}$	$- 2 \frac{1}{4}$	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$2$	$3 \frac{2}{5}$	$4 \sqrt{2}$	$9 \frac{2}{3}$
$f (x)$	$- \frac{5}{17}$	$- \frac{4}{9}$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$- 1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{17}$	$\frac{\sqrt{2}}{8}$	$\frac{3}{29}$

Przykład 11

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych. Przedstaw ją w postaci tabelki.

$\{(- 2 \frac{3}{7}, - 1), (- 1 \frac{1}{2}, 0), (0, - 3 \frac{4}{7}), (\sqrt{3}, - 2 \sqrt{5}),$

$(2 \frac{2}{3}, 0), (3 \sqrt{3}, 2 \sqrt{6}), (5 \frac{3}{4}, 8 \frac{3}{7}), (7 \frac{3}{8}, 10)\}$

Rozwiązanie:

Zbiór par uporządkowanych jest zbiorem skończonym. Tabelka, przedstawiająca funkcję, będzie zawierała wszystkie liczby należące do dziedziny funkcji.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2 \frac{3}{7}$	$- 1 \frac{1}{2}$	$0$	$\sqrt{3}$	$2 \frac{2}{3}$	$3 \sqrt{3}$	$5 \frac{3}{4}$	$7 \frac{3}{8}$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$- 3 \frac{3}{7}$	$- 2 \sqrt{5}$	$0$	$2 \sqrt{6}$	$8 \frac{3}{7}$	$10$

Przykład 12

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą grafu. Opisz ją w postaci tabelki.

RV4VEUBZ11HML

Ilustracja przedstawia dwa zbiory opisane jako X i Y. Zbiór X ma następujące elementy: minus trzy pierwiastek z dwóch, minus cztery, minus jeden i jedna trzecia, zero, trzy i trzy pierwiastek z dwóch. Wszystkie te elementy mają odpowiedniki w zbiorze Y, które są liczbami do nich przeciwnymi. To odpowiednio: trzy i pierwiastek z dwóch, cztery, jeden i jedna trzecia, zero, minus trzy, minus trzy pierwiastek z dwóch.

Rozwiązanie:

Dziedzina funkcji $f$ jest zbiorem sześcioelementowym. Tabelka, przedstawiająca funkcję $f$ będzie zbudowana z siedmiu kolumn.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3 \sqrt{2}$	$- 4$	$- 1 \frac{1}{3}$	$0$	$3$	$3 \sqrt{2}$
$f (x)$	$3 \sqrt{2}$	$4$	$1 \frac{1}{3}$	$0$	$- 3$	$- 3 \sqrt{2}$

Przykład 13

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą wykresu. Opisz ją za pomocą tabelki.

R1567OGXU7GPE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych iks igrek. Na układzie zaznaczono punkty o współrzędnych: pięć i minus jedna druga, trzy i pół i jeden, półtora i dwa i pół, minus pół i trzy, minus półtora i pół, minus dwa i pół i minus dwa, minus cztery i pół i minus cztery i pół.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $f$ jest zbiorem punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , gdzie $x \in D_{f}$ , natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ . Odczytujemy z wykresu współrzędne punktów i wyniki zapisujemy w tabelce.

Wykres rozważanej funkcji składa się z siedmiu punktów.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3 \frac{1}{2}$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 1 \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$1 \frac{1}{2}$	$3 \frac{1}{2}$	$5$
$f (x)$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 2$	$\frac{1}{2}$	$3$	$2 \frac{1}{2}$	$1$	$- \frac{1}{2}$

Przykład 14

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Wykonaj jej tabelkę, następnie narysuj wykres tej funkcji.

Funkcja $f$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ przyporządkowuje wartość bezwzględną różnicy trzeciej części sześcianu liczby $x$ i liczby $3$ .

Rozwiązanie:

Dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym. Tabelka, opisująca funkcję, będzie się składała z siedmiu kolumn.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$5 \frac{2}{3}$	$3 \frac{1}{3}$	$3$	$2 \frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$6$

R1FAJVNNB6767

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych iks igrek. Na układzie zaznaczono punkty o współrzędnych: dwa i pół, jeden i dwa i pół, zero i trzy, minus jeden i trzy i pół, minus dwa i pięć i pół, trzy i sześć.

Po uważnym przeanalizowaniu przykładów wykonaj samodzielnie poniższe polecenia.

W jaki sposób można przedstawiać funkcję za pomocą grafu, gdy znamy jej inny opis?

Pomogą nam poniższe przykłady.

Przykład 15

Funkcja $f$ : $\{- 2, - 1 \frac{1}{3}, - \frac{1}{2}, 0, 1, 2 \frac{1}{2}, 3\} \to \{- 1, - \frac{7}{8}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{9}, 1, 2 \frac{1}{8}, 3 \frac{1}{2}\}$
opisana jest za pomocą wzoru
$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 1$ .
Narysujemy graf funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

RF24EK7HDT7MT

Ilustracja przedstawia graf opisujący funkcję f. Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych równych elips, przy czym każda z nich reprezentuje jeden ze zbiorów - lewa zbiór X, a prawa zbiór Y. W każdym zbiorze umieszczone są elementy. Elementy ze zbioru X mają przyporządkowane elementy ze zbioru Y za pomocą strzałek przebiegających od danego elementu z X do przyporządkowanemu mu elementu z Y. Pary utworzone przez funkcję są uporządkowane i są następujące: nawias, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają dokładnie jedno przyporządkowanie i wszystkie są wykorzystane.

Przykład 16

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Narysujmy graf tej funkcji.

Wartości
$x$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 1 \frac{1}{4}$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{6}$	$1 \frac{4}{5}$	$2$	$3 \frac{1}{3}$	$4$
$f (x)$	$- 2$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 6 \frac{3}{4}$	$- 7$	$- 6 \frac{2}{3}$	$- 3 \frac{2}{5}$	$- 3$	$- \frac{1}{3}$	$1$

Rozwiązanie:

RJJS3S4ST7TQL

Przykład 17

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Narysujmy graf tej funkcji.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej nieujemnej $x$ przyporządkowuje różnicę pierwiastka kwadratowego z liczby $x$ i liczby pięć.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór nieskończony. Możemy narysować tylko graf częściowy. W tym celu wykonajmy najpierw tabelkę częściową funkcji.

Wartości
$x$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$	$2$	$4$	$4 \frac{1}{4}$	$5$	$8$	$9$
$f (x)$	$- 5$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 4$	$\sqrt{2} - 5$	$- 3$	$\frac{\sqrt{17} - 10}{2}$	$\sqrt{5} - 5$	$2 \sqrt{2} - 5$	$- 2$

RXPE3VO6PEU5S

Ilustracja przedstawia graf reprezentujący działanie funkcji f odwzorowującej zbiór X, równa się, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, jeden, przecinek, dwa, przecinek, cztery, przecinek, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, pięć, przecinek, osiem, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego w zbiór Y, równa się, nawias klamrowy, minus, pięć, przecinek, minus, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, przecinek, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedemnaście koniec pierwiastka, minus, dziesięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, dwa, przecinek, minus, cztery, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, pięć, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego. Wszystkie elementy obu zbiorów są wykorzystane, każdy element ze zbioru X przyporządkowany jest do jednego elementu z X i odwrotnie. Przyporządkowanie jest następujące: nawias, zero, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, minus, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, osiem, przecinek, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedemnaście koniec pierwiastka, minus, dziesięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, dziewięć, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Kolejnym sposobem opisywania funkcji jest przedstawienie funkcji za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Zbiór par uporządkowanych jest to zbiór wszystkich par postaci $(x, f (x))$ , pierwszy element pary oznacza argument, drugi – wartość funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej, która jest przyporządkowana danemu argumentowi. Np. para $(- 3, 8)$ oznacza, że $f (- 3) = 8$ .

Kolejne przykłady pomogą nam zastosować ten sposób opisu funkcji, gdy funkcja będzie zapisana za pomocą wzoru, tabelki, grafu lub przedstawiona w postaci wykresu czy też opisu słownego.

Przykład 18

Funkcja $f$ każdej liczbie $x$ ze zbioru
$\{\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8\}$
przyporządkowuje logarytm przy podstawie dwa liczby $x$ . Podamy wzór funkcji, narysujemy jej wykres oraz przedstawimy ją za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji: $f (x) = \log_{2} x$ , gdy
$x \in \{\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8\}$ .

R215HK39J8VJG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z sześciu punktów o następujących współrzędnych: nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, osiem, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu.

Zbiór par uporządkowanych:

$\{(\frac{1}{8}, - 3), (\frac{1}{4}, - 2), (\frac{1}{2}, - 1), (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3)\}$

Przykład 19

Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $x$ ze zbioru $⟨30, 45⟩$ przyporządkowuje sumę jej dzielników naturalnych mniejszych od liczby $x$ . Opiszemy tę funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wykonamy najpierw tabelkę pomocniczą.

$x$	Dzielniki liczby $x$	Suma dzielników liczby $x$
$30$	$1, 2, 3, 5, 6, 10, 15$	$42$
$31$	$1$	$1$
$32$	$1, 2, 4, 8, 16$	$31$
$33$	$1, 3, 11$	$15$
$34$	$1, 2, 17$	$20$
$35$	$1, 5, 7$	$13$
$36$	$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18$	$55$
$37$	$1$	$1$
$38$	$1, 2, 19$	$22$
$39$	$1, 3, 13$	$17$
$40$	$1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$	$50$
$41$	$1$	$1$
$42$	$1, 2, 3, 6, 7, 14, 21$	$54$
$43$	$1$	$1$
$44$	$1, 2, 4, 11, 22$	$40$
$45$	$1, 3, 5, 9, 15$	$33$

Po wykonaniu tabelki pomocniczej opiszemy funkcję $f$ za pomocą zbioru par uporządkowanych.

${$ $(30, 42)$ , $(31, 1)$ , $(32, 31)$ , $(33, 15)$ , $(34, 20)$ , $(35, 13)$ , $(36, 55)$ , $(37, 1)$ , $(38, 22)$ , $(39, 17)$ , $(40, 50)$ , $(41, 1)$ , $(42, 54)$ , $(43, 1)$ , $(44, 40)$ , $(45, 33)$ $}$

Przykład 20

Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wzoru
$f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 5}$ ,
gdzie $x \in \{- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{3}{7}, - 1, 0, 1 \frac{3}{4}, 4 \frac{1}{8}\}$ .

Wyznaczymy zbiór wartości tej funkcji i zapiszemy ją za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy zbiór wartości.

$f (- 3 \frac{2}{5}) = \frac{2 \cdot (- 3 \frac{2}{5}) + 3}{- 3 \frac{2}{5} - 5} = \frac{- \frac{19}{5}}{- \frac{42}{5}} = \frac{19}{42}$

$f (- 2 \frac{3}{7}) = \frac{2 \cdot (- 2 \frac{3}{7}) + 3}{- 2 \frac{3}{7} - 5} = \frac{- \frac{13}{7}}{- \frac{52}{7}} = \frac{1}{4}$

$f (- 1) = \frac{2 \cdot (- 1) + 3}{- 1 - 5} = - \frac{1}{6}$

$f (0) = - \frac{3}{5}$

$f (1 \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 1 \frac{3}{4} + 3}{1 \frac{3}{4} - 5} = \frac{\frac{26}{4}}{- \frac{13}{4}} = - 2$

$f (4 \frac{1}{8}) = \frac{2 \cdot 4 \frac{1}{8} + 3}{4 \frac{1}{8} - 5} = \frac{\frac{90}{8}}{- \frac{7}{8}} = - \frac{90}{7} = - 12 \frac{6}{7}$

$Z W_{f} = \{- 12 \frac{6}{7}, - 2, - \frac{3}{5}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{19}{42}\}$

Zapisujemy tę funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 3 \frac{2}{5}, \frac{19}{42}), (- 2 \frac{3}{7}, \frac{1}{4}), (- 1, - \frac{1}{6}), (0, - \frac{3}{5}), (1 \frac{3}{4}, - 2), (4 \frac{1}{8}, - 12 \frac{6}{7})\}$

Animacje mulitmedialne

Przeanalizuj uważnie materiał przedstawiony w prezentacji multimedialnej, wykonaj wskazane ćwiczenia oraz odpowiedz na poniższe pytania.

R1MKPSTL7VQNH

Polecenie 1

Czy każdy graf przedstawia funkcję?

Czy każdy zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji?

Polecenie 2

Kilogram jabłek kosztuje $4 zł$ . Ułóż częściową tabelkę funkcji, która masie jabłek $x$ (w zakresie od $0,5 kg$ do $4,9 kg$ ) przyporządkowuje kwotę $f (x)$ jaką trzeba zapłacić za jabłka. W tabeli umieść osiem różnych wartości mas.

Wykonajmy tabelkę funkcji.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$0, 5$	$0, 75$	$2, 5$	$3, 75$	$4$	$4, 2$	$4, 5$	$4, 9$
$f (x)$	$2$	$3$	$10$	$15$	$16$	$16, 8$	$18$	$19, 6$

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru: $f (x) = 2 |x| - 5$ , gdy $x < 0$ . Podaj opis słowny funkcji, wykonaj tabelkę częściową, graf częściowy, częściowy zbiór par uporządkowanych i wykres.

Opis słowny

Funkcja $f$ każdej ujemnej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje różnicę podwojonej wartości bezwzględnej liczby $x$ i liczby pięć.

Tabelka częściowa

$x$	$- 8$	$- 7,5$	$- 6$	$- 5,5$	$- 4$	$- 3,5$	$- 3$	$- 2,5$	$- 1$
$f (x)$	$11$	$10$	$7$	$6$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 3$

Graf częściowy

R3NU5N5OQOOJS

Ilustracja przedstawia graf. Mamy tu dwa zbiory liczbowe w postaci pionowo ustawionych elips: zbiór X po lewej stronie i zbiór Y po prawej. Elementy zbioru X to kolejno: minus, osiem; minus, siedem przecinek pięć; minus, sześć; minus, pięć przecinek pięć; minus, cztery; minus, trzy przecinek pięć, minus, trzy; minus, dwa przecinek pięć; minus, jeden. Elementy zbioru Y to: jedenaście, dziesięć, siedem, sześć, trzy, dwa, jeden, zero, minus, trzy. Przyporządkowanie elementów reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do odpowiadających im elementom ze zbioru Y. Każdy element ze zbioru X ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y i odwrotnie, każdy element ze zbioru Y ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru X. Przyporządkowanie jest następujące: nawias, minus, osiem, średnik, jedenaście, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, siedem przecinek pięć, średnik, dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, sześć, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, pięć przecinek pięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, trzy przecinek pięć, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, trzy, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa przecinek pięć, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Częściowy zbiór par uporządkowanych

$\{(- 8; 11), (- 7, 5; 10), (- 6; 7), (- 5, 5; 6), (- 4; 3), (- 3, 5; 2), (- 3; 1), (- 2, 5; 0), (- 1; - 3)\}$

Wykres

R1VUOPK9XSPKM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do jeden oraz z pionową osią Y od minus pięciu do jedenastu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, który przedstawia fragment ukośnej półprostej ograniczonej z prawej strony niezamalowanym punktem nawias, zero, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinającej oś X mniej więcej w punkcie minus, dwa przecinek zero. Półprosta przechodzi przez trzecią i drugą ćwiartkę układu.

Polecenie 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych $\{(0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4), (25; 5)\}$ . Podaj wzór tej funkcji, opis słowny, wykres.

Wzór funkcji

$f (x) = \sqrt{x}$ , gdy $x \in \{0; 1; 4; 9; 16; 25\}$

Opis słowny

Funkcja $f$ każdej liczbie $x$ , takiej, że $z \in \{0; 1; 4; 9; 16; 25\}$ przyporządkowuje pierwiastek kwadratowy z liczby $x$ .

Wykres

R12FK2CM6KFEZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwudziestu pięciu oraz z pionową osią Y od zera do sześciu. Na płaszczyźnie narysowanych jest pięć zamalowanych punktów o współrzędnych kolejno: nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dziewięć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, szesnaście, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwadzieścia pięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu.

Przeanalizuj poniższe przykłady. Wykonaj wskazane polecenia. Odpowiedz na pytanie:
Czy każdą funkcję podaną opisem słownym możemy zapisać za pomocą wzoru?

R1HTESR5BG6G5

RNLDRU7SCV6SL

R1N7A9QB78HFR

RBVM3DUQ74PM2

R1KHK8PNF5G6L

Polecenie 5

Podaj słowny opis funkcji $f$ zapisanej za pomocą wzoru.

f (x) = 2 \cdot |x| - 5

gdzie: $x \in ℝ$ .

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje różnicę jej podwojonej wartości bezwzględnej i liczby pięć.

Polecenie 6

Podaj słowny opis funkcji $f$ zapisanej za pomocą tabelki.

$x$	$- \frac{5}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{3}$	$\frac{12}{5}$	$3$	$5$	$8$	$10 \frac{3}{4}$
$f (x)$	$- 1$	$- 1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in \{- \frac{5}{3}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, \frac{12}{5}, 3, 5, 8, 10 \frac{3}{4}\}$ przyporządkowuje liczbę ze zbioru $\{- 1, 0, 1\}$ w ten sposób, że każdej liczbie ujemnej przyporządkowuje liczbę $(- 1)$ , liczbie $0$ liczbę $0$ , liczbie dodatniej liczbę $1$ .

Przeanalizuj poniższe przykłady. Odpowiedz na pytanie: w jakich sytuacjach opis funkcji za pomocą tabelki jest najczęściej wykorzystywany?

RFM26MJAVGT5K

Polecenie 7

Funkcja $f$ jest zapisana za pomocą wzoru $f (x) = 2^{x + 1}$ , gdzie $x \in \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ . Przedstaw tę funkcję za pomocą tabelki.

Obliczmy wartości funkcji dla podanych argumentów.

$f (- 3) = 2^{- 3 + 1} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$

$f (- 2) = 2^{- 2 + 1} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$

$f (- 1) = 2^{- 1 + 1} = 2^{0} = 1$

$f (0) = 2^{0 + 1} = 2^{1} = 2$

$f (1) = 2^{1 + 1} = 2^{2} = 4$

$f (2) = 2^{2 + 1} = 2^{3} = 8$

$f (3) = 2^{3 + 1} = 2^{4} = 16$

Wykonajmy tabelkę.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Polecenie 8

Funkcja $f$ opisana jest wzorem
$f (x) = \frac{1}{3} \log_{3} x - 3$ ,
gdzie $x \in \{\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, 1, 3, 9, 10\}$ .

Opisz funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Obliczamy wartości funkcji dla liczb należących do dziedziny.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \log_{3} \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{3} \cdot (- 1) - 3 = - 3 \frac{1}{3}$

$f (\frac{1}{9}) = \frac{1}{3} \log_{3} \frac{1}{9} - 3 = \frac{1}{3} \cdot (- 2) - 3 = - 3 \frac{2}{3}$

$f (1) = \frac{1}{3} \log_{3} 1 - 3 = \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 = - 3$

$f (3) = \frac{1}{3} \log_{3} 3 - 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 - 3 = - 2 \frac{2}{3}$

$f (9) = \frac{1}{3} \log_{3} 9 - 3 = \frac{1}{3} \cdot 2 - 3 = - 2 \frac{1}{3}$

$f (10) = \frac{1}{3} \log_{3} 10 - 3 = \frac{1}{3} \log_{3} 10 - 3 \log_{3} 3 = \log_{3} \sqrt[3]{10} - \log_{3} 27 = \log_{3} \frac{\sqrt[3]{10}}{27}$

Przedstawiamy funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(\frac{1}{3}, - 3 \frac{1}{3}), (\frac{1}{9}, - 3 \frac{2}{3}), (1, - 3), (3, - 2 \frac{2}{3}), (9, - 2 \frac{1}{3}), (10, \log_{3} \frac{\sqrt[3]{10}}{27})\}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RN4P5ZG4JX5241

R7OAQGMZOPUZE

R1OO9LSBEXGN52

Ćwiczenie 2

Uzupełnij zdania, aby otrzymać słowny opis funkcji. Przeciągnij poprawne słowa w odpowiednie miejsca. Funkcja f każdej 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x znajdującej się w bibliotece przyporządkowuje jej 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Funkcja p każdemu 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x x przyporządkowuje jego 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Funkcja v każdemu 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x przyporządkowuje jego 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Funkcja d każdemu 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x przyporządkowuje długość jego 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Ćwiczenie 3

R7MD8SSSO6Q9H2

R964NEHLAAVJN

R1T342HVA9HSQ2

Ćwiczenie 4

ROVVH1ONGMFEB2

Ćwiczenie 5

RBKL44TLDOXK82

Ćwiczenie 6

R2H7STMFVPBEO3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R1FHQK5V8BZSJ

R19DQO49V3X3C

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

R1EMA13QMV8NT

R6N5BZM8Q279V

Ćwiczenie 10

RXT87Q9SSFOS1

RE4M35FKNFKGH

RN7PQ97BV4MRE21

Ćwiczenie 11

Wskaż zbiór par uporządkowanych przedstawiający funkcję podaną opisem słownym.
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej x należącej do zbioru nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, przecinek, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, dwa, przecinek, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego sumę połowy sześcianu liczby x i liczby cztery. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, trzydzieści dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści sześć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dziewięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, dwieście pięćdziesiąt sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego

Ćwiczenie 12

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą grafu.

R16AQ7LBLLGAM

Zadanie alternatywne znajduje się w trybie dostępności.

R1TMU6GJGG4H4

Dana jest funkcja $y = \frac{x + 1}{3}$ , gdzie $x \in ℤ$ .

R1HU3GMXTXRRZ

Ćwiczenie 13

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą tabelki.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 6 \frac{1}{2}$	$- 5 \frac{1}{3}$	$- 5$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$
$f (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$4$	$7$	$7 \frac{3}{4}$	$10$

RP6X6T3XU4RSN

R1BJH9ZF467M6

R1EQRR9V7GDG4

R7ET5XQGRLA42

Uzupełnij poniższe tabelki częściowe.

R1ZXNKLH3E6CB

RFD8AC7K13OT7

Ćwiczenie 14

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą tabelki.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 6 \frac{1}{2}$	$- 5 \frac{1}{3}$	$- 5$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$
$f (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$4$	$7$	$7 \frac{3}{4}$	$10$

R14QPXHELUCBN

R1BJH9ZF467M6

R1EQRR9V7GDG4

R7ET5XQGRLA42

RQXFKQ62AJPBK

Ćwiczenie 15

Funkcja $f$ zapisana jest za pomocą wzoru $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3$ , gdzie $x \in ℝ$ .

Tabelka częściowa funkcji $f$ przedstawiona jest następująco:

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3$	$- 2 \frac{1}{4}$	$- 1 \frac{5}{8}$	$- 1$	$0$	$1 \frac{1}{2}$	$2$	$2 \frac{2}{3}$	$4$
$f (x)$	$- 13 \frac{1}{2}$	$- 10 \frac{1}{32}$	$- 7 \frac{73}{128}$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 3$	$- 1 \frac{1}{8}$	$- 1$	$- 5 \frac{2}{9}$	$- 5$

R3QZ374M1TTA2

Ćwiczenie 16

RH57BDZJZLHPR

R1ZM4BPQ358NM

Ćwiczenie 17

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą zbioru uporządkowanych par.

$(- 2 \frac{2}{7}, - 1)$ , $(- 1 \frac{3}{8}, - 1)$ , $(- 1, - 1)$ , $(0, 0)$ , $(1 \frac{2}{5}, 1)$ , $(2 \frac{4}{9}, 1)$ , $(3 \frac{3}{5}, 1)$ , $(4, 1)$ , $(3 \sqrt{5}, 1)$ .

R1MA42K5R2PQ5

R7EBPGDDMPRBJ

Ćwiczenie 18

Funkcja $f : \{- 2, - 1 \frac{1}{5}, - 1, 0, 2, 5, 7\} \to \{0, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 1, \sqrt{2}, 2, \sqrt{7}, 3\}$ opisana jest za pomocą tabelki.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2$	$- 1 \frac{1}{5}$	$- 1$	$0$	$2$	$5$	$7$
$f (x)$	$0$	$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$	$1$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{7}$	$3$

R1PFK1MCCJAEE

Ćwiczenie 19

R1KJC39BPDPUC

R16TA61FBNDAR

Ćwiczenie 20

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego grafu.

RA2PCPJ485DSM

Ilustracja przedstawia funkcję f opisaną za pomocą grafu. Zbiór x zawiera liczby: minus 4, minus 2, 0, 1, 2, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Zbiór y zawiera liczby: minus 1, 0, 1; Liczbom ze zbioru X przyporządkowano liczby ze zbioru Y rysując strzałki przebiegające od danego elementu z X do przyporządkowanemu mu elementu z Y. Przyporządkowanie jest następujące liczbie minus 4 liczbę minus 1, liczbie minus 2 liczbę minus 1, zeru zero, liczbie 1 liczbę 1, liczbie 2 liczbę 1 i liczbie trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka także liczbę jeden

R9756PXAMHFH1

Funkcja $f$ opisana jest wzorem $f (x) = \frac{1}{x + 1} (x - 2)$ ,
gdzie $x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}$ .

Podaj pary uporządkowane opisujące tę funkcję.

RJT6ALG1DJGJ4

Ćwiczenie 21

R1QUK6VLVNRUH

Funkcja $f$ opisana jest wzorem $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ , gdzie $x \in \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Zaproponuj graf opisujący tę funkcję.

RXSJFBBMZP9F6

R1K5L1FETOAE12

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

R11GF6XCKBP72

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = (n + 3) x - 6$ , gdzie $x \in ℝ$ . Wiadomo, że $f (2) = - 8$ . Oceń prawdziwość poniższych równości.

RBRAALDO9HTTB

R3LGS5DO95H8G

R1L2Z4DFNF4X8

R1PMREDXLE6UK

R1SA1HFQ5XCTX2

Ćwiczenie 24

RVMCM146DOQZJ3

Ćwiczenie 25

R1HQM7O9NTLC53

Ćwiczenie 26

Słownik

funkcja

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ (zbiory $X$ i $Y$ są niepuste) nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru $X$ został przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru $Y$ . Funkcję tę oznaczamy $f : X \to Y$ . Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji $f$ i oznaczamy $D_{f}$ .

Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji $f$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ nazywamy zbiór tych elementów ze zbioru $Y$ , które zostały przypisane elementom ze zbioru $X$ i oznaczamy symbolem $Z W_{f}$ .

wykres funkcji

wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$

funkcja liczbowa

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości to zbiory liczbowe

1. Pojęcie funkcji

3. Funkcja liczbowa