3. Funkcja liczbowa

R7UDK521NNU27

Wiemy, że funkcja jest przyporządkowaniem elementów jednego zbioru elementom zbioru drugiego. Dziedziną funkcji mogą być różne zbiory. Elementami dziedziny mogą być np. uczniowie jednej klasy, państwa świata, samochody zarejestrowane w danym państwie, itp. Zbiór wartości funkcji mogą tworzyć liczby, kody liczbowo‑literowe, wyniki uzyskane podczas zawodów sportowych, itd. Szczególne znaczenie dla analizy matematycznej mają funkcje, których dziedziną i zbiorem wartości są zbiory liczbowe. Tego typu funkcjami będziemy się obecnie zajmowali.

Twoje cele

Utworzysz różne przyporządkowania zbiorów liczbowych.
Opiszesz funkcję liczbową różnymi sposobami.
Przyporządkujesz argument funkcji do jej wartości na podstawie wzoru, grafu, wykresu.
Wyznaczysz wartości funkcji dla danego argumentu

Funkcja liczbowa

Definicja: Funkcja liczbowa

Funkcje, których dziedzina i zbiór wartości są liczbami rzeczywistymi, nazywa się także funkcjami liczbowymi.

Poniższe przykłady pomogą zrozumieć pojęcie funkcji liczbowej oraz utrwalą podstawowe pojęcia takie jak: argument, wartość funkcji, dziedzina, zbiór wartości.

Przykład 1

FunkcjęfunkcjaFunkcję $f$ przedstawiono za pomocą grafu.

R1CedEVj7KmNH

Ilustracja przedstawia dwa zbiory X i Y. W zbiorze x znajdują się trzy liczby: 2, 5 oraz 11. W zbiorze y znajdują się liczby: 7, 8, 2, 9 oraz 6. Elementy zbiorów są połączone ze sobą strzałkami w następujący sposób: liczba 2 ze zbioru x jest połączona strzałką podpisaną literą f z liczbą 7 ze zbioru y. Liczba pięć ze zbioru x jest połączona strzałką z liczbą 8 ze zbioru y. Liczba 11 ze zbioru x jest połączona strzałką z liczbą 6 ze zbioru y.

Dla jakiego argumentuargumentargumentu funkcja $f$ przyjmuje wartość $7$ , a dla jakiego wartość $8$ ?

Rozwiązanie

Znajdujemy liczby $7$ i $8$ w zbiorze wartości i zauważamy, że prowadzą do nich strzałki, odpowiednio, od liczb $2$ i $5$ . A zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość $7$ dla argumentu $2$ oraz wartość $8$ dla argumentu $5$ .

Przykład 2

Dana jest funkcja $f$ , która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej czwartą część powiększoną o $5$ . Określimy jej dziedzinę i zbiór wartości oraz wzór opisujący tę funkcję.

Rozwiązanie

$D_{f} = ℝ$

$Z W = ℝ$

$f (x) = 0, 25 x + 5$

Jest to przykład funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej. Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jedną wartość, którą wyznaczymy zgodnie z ustalonym wzorem. Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami liczb rzeczywistych.

Przykład 3

Dana jest funkcja $f$ , która każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez $10$ . Określimy dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.

Rozwiązanie

$D_{f} = ℕ_{+}$

$Z W = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Jest to przykład funkcji liczbowej, ponieważ dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczbowymi.

Przykład 4

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X = \{4, 6, 8, 10, 12\}$ i $Y = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Funkcja $f : X \to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje połowę liczby $x$ .

Opiszmy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

Wzór:
$f (x) = \frac{1}{2} x$ , gdy $x \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$
Graf:

RPMODD4GOQQGQ

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory: po lewej zbiór X, po prawej zbiór Y. Oba zbiory sa niepuste, a ich elementy to liczby. Zbiór X zawiera następujące elementy: cztery, średnik, sześć, średnik, osiem, średnik, dziesięć, średnik, dwanaście. Zbiór Y zawiera następujące elementy: dwa, średnik, trzy, średnik, cztery, średnik, pięć, średnik, sześć. Każdy element ze zbioru X ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y i odwrotnie: każdy element ze zbioru Y ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru X. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do elementów ze zbioru Y. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: nawias, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, osiem, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dziesięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwanaście, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Tabelka:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
$f (x)$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$\{(4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6)\}$

RPTPQVQR1UX7S

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czternastu z podziałką co dwa oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu ze standardową podziałką co jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono punkty o następujących współrzędnych: nawias, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, osiem, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dziesięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwanaście, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Przykład 5

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X = ℝ$ i $Y = ℝ_{+}$ .

Funkcja $f : X \to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje kwadrat liczby $x$ powiększony o $2$ .

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Rozwiązanie:

Wzór:
$f (x) = x^{2} + 2$ , gdy $x \in ℝ$
Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

R1SM9TQZAJKRG

Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$	$11$

Zbiór par uporządkowanych:

$\{(- 2, 6), (- 1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6), (3, 11)\}$

Wykres:

R171SH2EMB6SB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi ku górze. Parabola ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Na paraboli zamalowanymi kropkami wyróżniono kilka punktów o następujących współrzędnych: nawias, minus, dwa, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Przykład 6

Dane są dwa zbiory liczbowe: $X = ℝ$ i $Y = ℝ$ .

Funkcja $f : X \to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje trzykrotność liczby $x$ pomniejszoną o $5$ .

Przedstawimy tę funkcję wzorem, grafem, zbiorem par uporządkowanych, tabelką i wykresem.

Wzór:
$f (x) = 3 x - 5$ , gdy $x \in ℝ$
Graf:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania grafu przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

R1JRSSE4CZBOR

Tabelka:

Dziedzina i zbiór wartości tej funkcji są zbiorami nieskończonymi, do wykonania tabelki przyjmiemy sześć elementów z dziedziny.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$f (x)$	$- 11$	$- 8$	$- 5$	$- 2$	$1$	$7$

Zbiór par uporządkowanych:

$\{(- 2, - 11), (- 1, - 8), (0, - 5), (1, - 2), (2, 1), (4, 7)\}$

Wykres:

R1HPKH1TKF8A1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus ośmiu do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano prostą, na której wyróżniono zamalowanymi kropkami kilka punktów o następujących współrzędnych: nawias, minus, jeden, średnik, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu.

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono cały wykres funkcji $f$ . Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość $2$ ?

RvAqwjzNDglCL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx, który pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd dalej biegnie ukośnie do punktu nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Aby odpowiedzieć na pytanie dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość $2$ , narysujmy poziomą prostą o równaniu $y = 2$ .

RgUcceK0KtjpG

Przecina ona wykres funkcji $f$ w trzech punktach.

Przez te trzy punkty prowadzimy teraz pionowe proste, które przecinają oś $X$ w punktach: $x = - 2$ , $x = 2$ oraz $x = 4$ .

Są to szukane argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $2$ .

Prezentacje multimedialne

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w prezentacji multimedialnej, a następnie rozwiąż polecenie.

R1PPG8RLD3BNZ

Polecenie 1

R1NQRV7MN3KBJ1

R1U6V8RTCBPNL

Zapoznaj się z opisami funkcji i uzupełnij według nich brakujące wartości funkcji. Ewentualne ułamki zapisz w formie dziesiętnej.

Odwzorowanie, które każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje kwadrat tej liczby pomniejszony o trzy.
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, przecinek, y indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, y indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, y indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, y indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
Odwzorowanie, które każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje odwrotność tej liczby pomnożoną przez trzy.
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, przecinek, y indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, y indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, y indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, y indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
Odwzorowanie, które każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje jej dwukrotność pomniejszoną o cztery.
x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, przecinek, y indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, y indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, y indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij
x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, y indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa sięTu uzupełnij

Przeanalizuj przykłady przedstawione w infografice. Wykorzystując uzyskane informacje rozwiąż polecenia zamieszczone poniżej.

R1K52K3QE1OQD1

Funkcja f określona jest w następujący sposób: Każdej liczbie całkowitej większej od minus, trzy i mniejszej od cztery przypisana została liczba o trzy od niej większa. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, średnik, minus, jeden, średnik, zero, średnik, jeden, średnik, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego. Dziedziną funkcji f jest zbiór sześcioelementowy., Opisaną w powyższy sposób funkcję możemy przedstawić za pomocą grafu, tabeli, wzoru, wykresu. Opiszemy te sposoby. Graf. Ważne! Narysowanie grafu nie jest możliwe dla funkcji, której dziedzina składa się z nieskończenie wielu elementów. Ilustracja: Na ilustracji znajdują się dwa zbiory w kształcie pionowo ustawionych elips: X i Y. Zbiór X posiada następujące elementy: minus, dwa, średnik, minus, jeden, średnik, zero, średnik, jeden, średnik, dwa, średnik, trzy. Zbiór Y posiada następujące elementy: jeden, średnik, dwa, średnik, trzy, średnik, cztery, średnik, pięć, średnik, sześć. Elementy ze zbioru X połączone są strzałkami z elementami ze zbioru Y. Każdy element ze zbioru X ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y i odwrotnie: każdy element zbioru Y ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru X. Elementy zbiorów połączono w następujące pary: element minus, dwa z elementem jeden minus, jeden dwa zero trzy jeden cztery dwa pięć sześć x x minus, dwa, średnik, minus, jeden, średnik, zero, średnik, jeden, średnik, dwa, średnik, trzy jeden, średnik, dwa, średnik, trzy, średnik, cztery, średnik, pięć, średnik, sześć f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, trzy, przecinek, x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, średnik, minus, jeden, średnik, zero, średnik, jeden, średnik, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego nawias, x, średnik, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu x f X Y nawias, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu

Polecenie 2

Dana jest funkcja liczbowa przedstawiona wzorem: $f (x) = |x| - 2 x$ , gdzie $x \in ℝ$ . Podaj dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji oraz opisz ją słownie.

Dziedzina funkcji – $D_{f} = ℝ$ .

Zbiór wartości – $Z W_{f} = ℝ$ .

Opis słowny – Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje jej wartość bezwzględną pomniejszoną o podwojoną liczbę $x$ .

Polecenie 3

Funkcja $f$ każdej liczbie pierwszej z przedziału $⟨10, 30⟩$ przyporządkowuje liczbę o cztery mniejszą.

a) Narysuj tabelkę funkcji $f$ .

a) Wymień uporządkowane pary liczb opisujące funkcję $f$ .

b) Podaj zbiór wartości funkcji $f$ .

c) Oblicz wartość wyrażenia $3 \cdot f (13) - f (23)$ .

d) Czy do wykresu tej funkcji należą punkty, których obie współrzędne są liczbami pierwszymi?

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$
$f (x)$	$7$	$9$	$13$	$15$	$19$	$25$

b) Zbiorem wartości funkcji jest zbiór $Z W_{f} = \{7, 9, 13, 15, 19, 25\}$ .

c) $3 \cdot 9 - 19 = 8$

d) Do wykresu funkcji należą trzy punkty, których obie współrzędne są liczbami pierwszymi. Są to $(11, 7)$ , $(17, 13)$ , $(23, 19)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Graf na rysunku przedstawia wykres funkcji $f$ . Dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartość równą $2$ ?

R3xZqZVXrKUTg

Ilustracja przedstawia dwa zbiory X i Y. W zbiorze x znajdują się cztery liczby: 1,3, 5 oraz 7. W zbiorze y znajdują się liczby: 2 oraz 3. Elementy zbiorów połączone są ze sobą strzałkami w następujący sposób: liczba 1 ze zbioru x jest połączona strzałką podpisaną literą f z liczbą 2 ze zbioru y. Liczba 3 ze zbioru x jest połączona strzałką z liczbą 2 ze zbioru y. Liczba 5 ze zbioru x jest połączona strzałką z liczbą 2 ze zbioru y. Liczba 7 ze zbioru x jest połączona strzałką z liczbą 3 ze zbioru y.

Rauz7mgcFNNgk

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ . Dla jakiego argumentu funkcja ta przyjmuje wartość $(- 2)$ ?

RQCApqLNnLM41

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx, który pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu, przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu oraz punkt nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza układ współrzędnych.

R1Odka5SlNRcU

RMRRVZ522UVHF2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

R1XlqzFqS6BRm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx, który pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu, biegnie po łuku i przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie po łuku przez punkt nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza układ współrzędnych.

RTJUWgsKkSwvN

RM6JT2UUX4PT33

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Dane są dwa zbiory liczbowe:

$X = \{- 2; - 1, 5; 0; 2, 3; 3, 5\}$ i $Y = \{- 1; 0; 1\}$ .

Funkcja $f : X \to Y$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $X$ przyporządkowuje liczbę $y$ ze zbioru $Y$ w następujący sposób: liczbie ujemnej przyporządkowuje liczbę $(- 1)$ , zeru liczbę $0$ , liczbie dodatniej $1$ .

Wskaż wykres przedstawiający tę funkcję.

REOZX99GHLRH1

R19977T8FDAMC

R1RGZJ6N3TP751

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 7$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$

Wykres tej funkcji przedstawiony jest na rysunku:

R1BJAN9LP97G3

R1ZA2JM45H3FT

Ćwiczenie 8

R1EUZ124O9N192

Ćwiczenie 9

R1ZM52LMENXS12

Ćwiczenie 10

RSOVNRQ7JHS5Q3

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Funkcja przedstawiona jest za pomocą poniższej tabeli.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 7$	$- 4$	$- 3$	$0$	$4$	$6$	$9$
$f (x)$	$3$	$2$	$0$	$2$	$5$	$0$	$3$

Wskaż graf opisujący tę funkcję.

R89JR8C7HZH9V

RTJEOHVGG6OZF

RM2JXOO44MGJ93

Ćwiczenie 13

RQTC5M7JO63J93

Ćwiczenie 14

Słownik

argument

zmienna niezależna funkcji będąca elementem jej dziedziny

dziedzina funkcji

zbiór wszystkich argumentów funkcji

funkcja liczbowa

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczb rzeczywistych

zbiór wartości funkcji

zbiór liczb, które są wartościami dla argumentów funkcji

funkcja

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ (zbiory $X$ i $Y$ są niepuste) nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru $X$ został przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru $Y$ . Funkcję tę oznaczamy $f : X \to Y$ . Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji $f$ i oznaczamy $D_{f}$ .

Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji $f$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ nazywamy zbiór tych elementów ze zbioru $Y$ , które zostały przypisane elementom ze zbioru $X$ i oznaczamy symbolem $Z W_{f}$ .

2. Sposoby opisywania funkcji

4. Wykresy wybranych funkcji