3. Najmniejsza i największa wartość funkcji

R188VP4GU8TFR

Chyba każdy, kto choć raz wybierał się na wakacje za granicę, sprawdzał czy warto już wymienić walutę. Informacja o wahaniach kursów walut, ich najniższych i najwyższych cen pozwala uniknąć przykrych niespodzianek finansowych.

R18XRefYq82QI

Ilustracja przedstawia wykres kursów średnich euro w ostatnich 31 dniach. Na ilustracji jest układ współrzędnych z poziomą osią od dnia pierwszego lutego do dnia 2 marca z podziałką co cztery dni, na pionowej osi znajdują się średnie kursy euro w złotówkach od 4,4700 do 4,5500 z podziałką co jedną setną i dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Wykres rozpoczyna się na pionowej osi przy wartości 4,5400, dalej wykres biegnie ukośnie do punktu leżącego pomiędzy pionową osią a pionową linią przerywaną z datą drugiego lutego, wartość, odcięta tego punktu ma wartość pomiędzy 4,5100 a 4,2500, wykres biegnie dalej ukośnie i w dniu drugiego lutego osiągnięta zostaje wartość niewiele większa od 4,5000, dalej wykres również biegnie ukośnie do punktu, leżącego pomiędzy datą drugiego lutego i szóstego lutego, wartość euro w tym dniu wyniosła 4,4900, dalej wykres biegnie z znów ukośnie by przed dniem szóstego lutego osiągną wartość niewiele mniejszą od 4,5000 i a następnie również przed datą szóstego lutego podrosnąć, nie przekraczając wartości cztery i pięć dziesięciotysięcznych. Dalej wykres biegnie poziomo i po dacie szóstego lutego zaczyna bieg ukośnie do punktu znajdującego się pomiędzy datą szóstego lutego i dziesiątego lutego i pomiędzy wartością euro 4,4800 i 4,4900, jeszcze przed dziesiątym lutym kurs euro spada poniżej 4,4800 by dziesiątego lutego osiągnąć wartość cztery i czterdzieści osiem dziesięciotysięcznych. Zaraz po dziesiątym lutym wartość średnia euro wzrosła do wartości powyżej 4,5000 następnie wzrosła jeszcze trochę i ustabilizowała się aż do dnia czternastego lutego, dalej wartość spadła do niewiele większej od 4,4800, by w okolicach szesnastego lutego osiągnąć wartość 4,4900, jeszcze przed osiemnastym lutym średnik kurs euro wyniósł 4,5000, a w dniu osiemnastego lutego wynosił mniej niż cztery i czterdzieści dziewięć dziesięciotysięcznych. Następnie wartość podniosła się do 4,4900 i wykres niemal do dnia dwudziestego drugiego lutego przebiegał poziomo, następnie zaczął rosnąć i w dniu dwudziestego drugiego lutego wartość euro wyniosła niewiele mniej niż 4,5000, dalej wartość również rosła, w okolicach dwudziestego trzeciego lutego wyniosła wartość 4,5100 w okolicach dnia dwudziestego czwartego lutego osiągnęła wartość równą niemal 4,5200, następnie jeszcze przed 26 lutego wartość zmalała do wartości około 4,5150, by w dniu dwudziestego szóstego lutego osiągnąć wartość bliską cztery i pięćdziesiąt dwie setne. Dalej wykres biegł poziomo, do dnia dwudziestego ósmego lutego, następnie wartość euro zaczęła rosnąć, przed drugim marca miała wartość większą od 4,5200, a drugiego marca wartość ta wynosiła więcej niż cztery i pięćdziesiąt trzy dziesięciotysięczne. Linia trendu jest ukośna, przechodzi przez punkty nawias drugi luty średnik cztery i pięć dziesięciotysięcznych zamknięcie nawiasu i nawias dwudziesty szósty luty, średnik cztery i pięćdziesiąt jeden dziesięciotysięcznych zamknięcie nawiasu.

Czy każda funkcja przyjmuje zawsze wartość największą?
Czy każda funkcja zawsze przyjmuje wartość najmniejszą?
Odpowiedzi na te pytania uzyskamy analizując poniższy materiał.

Twoje cele

Wyznaczysz najmniejszą/największą wartość funkcji, o ile taka istnieje.
Sprawdzisz, czy funkcja posiada wartość najmniejszą/największą.
Udowodnisz, że dana liczba jest najmniejszą/największą wartością funkcji.
Wyznaczysz najmniejszą/największą wartość funkcji w przedziale domkniętym, o ile taka istnieje.
Sprawdzisz, czy funkcja posiada wartość najmniejszą/największą w przedziale domkniętym.
Udowodnisz, że dana liczba jest najmniejszą/największą wartością funkcji w przedziale domkniętym,.

Najmniejsza wartość funkcji liczbowej

Definicja: Najmniejsza wartość funkcji liczbowej

Najmniejszą wartością funkcji liczbowej nazywamy najmniejszą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Największa wartość funkcji liczbowej

Definicja: Największa wartość funkcji liczbowej

Największą wartością funkcji liczbowej nazywamy największą z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje.

Funkcja może być opisana różnymi sposobami. Pokażemy, w jaki sposób możemy wyznaczyć najmniejszą/największą wartość funkcji w zależności od sposobu opisu funkcji.

Pomogą nam w tym poniższe przykłady.

Przykład 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą grafu.

R18TTOZZLUKEN

Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych elips reprezentujących odpowiednio: lewa zbiór X, prawa zbiór Y. Z liczb będących elementami zbioru X poprowadzone są strzałki z grotami skierowanymi do elementów ze zbioru Y. Nad strzałkami widnieje litera „f” oznaczająca funkcję odwzorowującą zbiór X w zbiór Y. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają parę. Pary są następujące: minus 3, 13; minus 2, 10; minus 1, 7; minus 1 7; 0, 4; 1 1; 2 minus 2; 3 minus 5; 4 minus 8.

Wskażemy największą oraz najmniejszą wartość funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Na podstawie grafu określimy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = \{- 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13\}$

Analizując zbiór wartości funkcji $f$ , zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą $- 8$ , dla argumentu $x = 4$ oraz wartość największą, równą $13$ , dla argumentu $x = - 3$ .

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 4, 6$	$- 3, 7$	$- 2, 8$	$0$	$1, 9$	$4, 2$	$5, 4$
$f (x)$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$0$	$1$	$1$	$1$

Wyznaczymy największą oraz najmniejszą wartość funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Na podstawie tabelki wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = \{- 1, 0, 1\}$

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji jest zbiorem zawierającym trzy elementy.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $- 1$ , dla trzech argumentów: $- 4, 6$ ; $- 3, 7$ ; $- 2, 8$ .

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą $1$ , dla trzech argumentów: $1, 9$ ; $4, 2$ ; $5, 4$ .

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 3 \frac{5}{8}, - 5), (- 2 \frac{1}{4}, - 3), (- \frac{5}{7}, - 2), (0, 2), (4, 3), (5 \frac{1}{6}, 6)\}$

Wyznaczymy najmniejszą oraz największą wartość funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Zapisujemy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = \{- 5, - 3, - 2, 2, 3, 6\}$

Analizując zbiór wartości funkcji $f$ zauważamy, że funkcja osiąga wartość najmniejszą, równą $- 5$ , dla argumentu $x = - 3 \frac{5}{8}$ , a wartość największą, równą $6$ , dla argumentu $x = 5 \frac{1}{6}$ .

Powyższe przykłady pokazały nam, że funkcja może osiągać wartość najmniejszą oraz wartość największą.

Czy każda funkcja zawsze osiąga wartość najmniejszą oraz wartość największą?

W każdym z powyższych przykładów dziedziną funkcji był zbiór skończony składający się z niewielu elementów.
Zbiór wartości funkcji również był zbiorem skończonym.
W celu wyznaczenia najmniejszej lub największej wartości funkcji należało zapisać elementy tworzące zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji w porządku rosnącym.
Najmniejsza liczba należąca do zbioru wartości była najmniejszą wartością funkcji, a liczba największa była największą wartością funkcji. Kolejne przykłady pokażą nam w jaki sposób wyznaczyć wartość najmniejszą/największą funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą wzoru, wykresu lub opisu słownego.

Przykład 4

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby $x$ i liczby $3$ . Sprawdzimy, czy funkcja $f$ posiada wartość najmniejszą oraz wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ , zapiszemy wzór tej funkcji oraz naszkicujemy jej wykres.

Wzór funkcji: $f (x) = |x| - 3$ , gdy $x \in ℝ$ .

R12JPBJB5GGGS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji przypominający kształtem literę V. Wykres składa się z dwóch półprostych i jest symetryczny względem osi X. Lewa półprosta przecina oś X w punkcie minus 3, a jej koniec znajduje się w punkcie 0 minus 3. Prawa półprosta ma koniec w tym samym punkcie i przecina oś X w punkcie 3.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = ⟨- 3, \infty)$ .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział lewostronnie domknięty.

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $- 3$ , dla argumentu $x = 0$ .

Funkcja $f$ nie przyjmuje wartości największej.

Przykład 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = - x^{2} + 3$ , gdy $x \in ℝ$ . Sprawdzimy, czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz czy przyjmuje wartość największą.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy jej wykres.

R1GAFXMCBPMBL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola z ramionami skierowanymi w dół, będąca wykresem funkcji f. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie 0 3.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji $f$ .

$Z W_{f} = (- \infty, 3⟩$ .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział prawostronnie domknięty.

Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą równą $3$ , dla argumentu $x = 0$ .

Funkcja $f$ nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Ważne!

Podsumujmy poznane informacje.

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór skończony składający się z niewielkiej liczby elementów, to do wyznaczenia wartości największej oraz wartości najmniejszej funkcji należy uporządkować liczby należące do zbioru wartości od najmniejszej do największej liczby i wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji.

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to funkcja może nie przyjmować wartości największej/najmniejszej.

Skupimy się teraz na wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości funkcji na przedziale domknietym. Najmniejszą/największą wartość funkcji liczbowej zwykle określa się posługując się wzorem funkcji. Nasze rozważania będziemy prowadzić korzystając z wykresu funkcji.

Przykład 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1JM77N6JFXND

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Wykres funkcji jest w kształcie nieregularnej fali o początku w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, a koniec w punkcie nawias, cztery, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu. Wykres ten przechodzi przez następujące punkty charakterystyczne: nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, zero, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Najwyżej położonym punktem wykresu jest punkt o współrzędnych nawias, minus, dwa, średnik, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, a najniżej położonym punktem wykresu jest jego koniec, czyli przytoczony wcześniej punkt nawias, cztery, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu.

Odczytamy z wykresu zbiór wartości funkcji. Podamy najmniejszą wartość funkcjinajmniejsza wartość funkcjinajmniejszą wartość funkcji oraz największą wartość funkcjinajwiększa wartość funkcjinajwiększą wartość funkcji, o ile istnieje, oraz argument (argumenty), dla którego (dla których) ta wartość jest przyjmowana.

Rozwiązanie

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji.

$Z W_{f} \in ⟨ - 4; 3, 5 ⟩$

Wartość największą, równą $3, 5$ , przyjmuje funkcja dla argumentu $x = - 2$ .

Wartość najmniejszą, równą $(- 4)$ , przyjmuje funkcja dla argumentu $x = 4$ .

R4SPEJPRVLGZ6

Przykład 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \frac{5}{x}$ , gdy $x \in ⟨1; 5⟩$ .

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ przyjmuje wartość największą. Skorzystamy z wykresu funkcji.

Rozwiązanie

Obliczymy wartości funkcji dla argumentów: $1$ i $5$ .

$f (1) = \frac{5}{1} = 5$

$f (5) = \frac{5}{5} = 1$

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą $5$ , dla argumentu $x = 1$ .

R1RS3CPDZUB65

Przykład 8

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \sqrt{x - 1}$ , gdy $x \in ⟨1; 10⟩$ .

Wykażemy, że najmniejszą wartością funkcji $f$ jest liczba $0$ .

Rozwiązanie

Korzystając z własności pierwiastków arytmetycznych stopnia drugiego, obliczymy wartości funkcji dla argumentów: $1$ i $10$ .

$f (1) = \sqrt{1 - 1} = 0$

$f (10) = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $0$ , dla argumentu $x = 1$ .

Możemy sprawdzić nasze przypuszczenia szkicując wykres funkcji.

R1633PZBP9LDV

Materiały interaktywne

Aplet przedstawia wykresy dwóch funkcji. Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w aplecie. Zmieniając położenia suwaków oraz zmieniając dziedzinę funkcji zauważ, jak zmieniają się wartości najmniejsze oraz największe funkcji. Odpowiedz na pytanie: czy zawsze funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz wartość największą?

Zapoznaj się z opisem apletu, który przedstawia wykresy dwóch funkcji. Zwróć uwagę, że zmieniając dziedzinę funkcji, zmieniają się wartości najmniejsze oraz największe funkcji. Odpowiedz na pytanie: czy zawsze funkcja przyjmuje wartość najmniejszą oraz wartość największą?

R1EPO58BX1PPD

Polecenie 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1HRVOEDV8RFQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji f składający się z trzech odcinków i jednego punktu. Od lewej mamy: Odcinek prawostronnie otwarty, którego lewy koniec jest w punkcie minus 3 0, a prawy koniec nienależący do odcinka jest w punkcie 1 2. Punkt ten jest także lewym końcem drugiego odcinka, również nienależącym do tego odcinka. Prawy koniec drugiego odcinka jest w punkcie 3 1. Trzeci odcinek jest odcinkiem otwartym o lewym końcu w punkcie 3 minus 1 i prawym końcu w punkcie 5 1. Punkt należący do wykresu funkcji ma współrzędne 5 minus dwa.

Odczytaj z wykresu najmniejszą oraz największą wartość funkcji.

R1EO524Z315E7

Wartość największa – nie istnieje.

Wartość najmniejsza – $(- 2)$ .

Polecenie 2

Wyznacz (o ile istnieje) największą oraz najmniejszą wartość funkcji $f (x) = \frac{10}{x}$ , gdy $x \in ⟨2, \infty)$ .

Wartość największa – $5$ .

Wartość najmniejsza – nie istnieje.

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Najpierw samodzielnie rozwiąż zadania, następnie sprawdź swoje rozwiązania z tymi, które są przedstawione w animacji. W przykładzie drugim pamiętaj o własnościach pierwiastków arytmetycznych stopnia drugiego.

R7PAUHA35S5B8

Po przeanalizowaniu materiału przedstawionego w animacji, wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = 5 - |x - 3|$ , gdy $x \in ⟨- 4; 4⟩$ .

Naszkicuj wykres tej funkcji, wyznacz jej zbiór wartości, wyznacz jej wartość największą oraz najmniejszą (o ile istnieją).

R1GA5RPTVBLVK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce i jest łamaną otwartą o dwóch bokach, czyli odcinkach. Początek lewego boku łamanej znajduje się w punkcie nawias, minus, cztery, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, a koniec tego boku znajduje się w punkcie nawias, trzy, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Jest to również początek drugiego boku o końcu w punkcie o współrzędnych nawias, cztery, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Pierwszy bok przecina oś Y w punkcie dwa.

${Z W}_{f} = ⟨- 2; 5⟩$

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą $5$ , dla argumentu $x = 3$ .

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $(- 2)$ , dla argumentu $x = - 4$ .

Polecenie 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RMC821TBLLRRB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Wykres funkcji leży w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce i jest łamaną otwartą o pięciu bokach, czyli odcinkach. Początek pierwszego ukośnego boku łamanej znajduje się w punkcie nawias, minus, siedem, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, a koniec tego boku znajduje się w punkcie nawias, minus, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Drugi bok łamanej zaczyna się w końcu poprzedniego i jest poziomy. Jego koniec jest w punkcie nawias, minus, dwa, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Trzeci bok zaczyna się w końcu poprzedniego i jest ukośny. Jego koniec znajduje się w punkcie nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Jest to również początek czwartego, poziomego boku łamanej o końcu w punkcie o nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. W tym punkcie zaczyna się piąty, ukośny bok łamanej, którego koniec jest w punkcie nawias, siedem, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu.

RF4DBGC7A292H

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RNV7FPQ9G72H3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji f składający się z dwóch odcinków i jednego punktu. Od lewej mamy: otwarty odcinek, którego lewy koniec jest w punkcie minus 4 2, a prawy koniec w punkcie minus 1 minus 1. Drugi odcinek ma lewy koniec w punkcie 1 minus 2 i prawy koniec w punkcie 3 minus 1. Oba końce należą do tego odcinka. Punkt należący do wykresu funkcji ma współrzędne 4 1.

R1VN6ALTORRDH

Ćwiczenie 2

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R1CRAUB5GO2ZM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji f składający się z czterech odcinków. Od lewej mamy: lewostronnie otwarty odcinek, którego lewy koniec jest w punkcie minus 3 2, a prawy koniec w punkcie minus 1 2. Drugi odcinek zaczyna się w tym samym punkcie, a jego prawy koniec ma współrzędne 0 1 i jest to lewy koniec trzeciego odcinka. Prawy koniec trzeciego odcinka ma współrzędne 1 3 i jest to jednocześnie lewy koniec czwartego odcinka. Prawy koniec ostatniego odcinka znajduje się w punkcie 3 minus 1.

RRA59GD298MKC

RJAGQ2QLFLPNU2

Ćwiczenie 3

R13H9CMDA64M42

Ćwiczenie 4

RUTQC7LFRKT2O2

Ćwiczenie 5

R13J7DC9J8T9R2

Ćwiczenie 6

R3MULUMZ3T2GD3

Ćwiczenie 7

R1HAGQ7ANKPRE3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R1PBAF16NRLK8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Wykres funkcji leży w pierwszej i drugiej ćwiartce i jest poziomym odcinkiem o początku w punkcie nawias, minus, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu i końcu w punkcie nawias, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

RFBX1AGSFGUD4

Ćwiczenie 10

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RJTZ1CKU8VQT1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Wykres funkcji leży w pierwszej, drugiej i czwartej ćwiartce i jest łamaną otwartą o czterech ukośnych bokach, czyli odcinkach. Początek pierwszego ukośnego boku łamanej znajduje się w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, a koniec tego boku znajduje się w punkcie nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Punkt ten jest początkiem drugiego boku łamanej o końcu w punkcie nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Punkt ten jest początkiem trzeciego boku, którego koniec znajduje się w punkcie nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Czwarty bok zaczyna się w końcu poprzedniego, a jego koniec znajduje się w punkcie nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

RXFKEHXA66EQ6

Ćwiczenie 11

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego wykresu.

RV61BQ982N6UH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do sześciu. Wykres funkcji leży we wszystkich ćwiartkach i jest łamaną otwartą o trzech ukośnych bokach i jednym poziomym. Początek pierwszego ukośnego boku łamanej znajduje się w punkcie -7;4, a koniec tego boku znajduje się w punkcie -4;-2. Punkt ten jest początkiem drugiego, ukośnego boku, którego koniec znajduje się w punkcie -1;5. Jest to początek trzeciego, poziomego boku o końcu w punkcie 112;5. Ten punkt jest też początkiem czwartego, ukośnego boku o końcu w punkcie 4;-3.

R3XQGCNVHMNH3

Ćwiczenie 12

R1A2DKKDXF5FR

Ćwiczenie 13

R9798PP87JKRV

Ćwiczenie 14

RGX53BDHVDNO3

Ćwiczenie 15

R1SOMH9MKO793

Słownik

zbiór wartości funkcji

zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów

najmniejsza wartość funkcji

najmniejsza z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje

największa wartość funkcji

największa z liczb należących do zbioru wartości funkcji, o ile w zbiorze wartości taka liczba istnieje

2. Zbiór wartości funkcji

4. Miejsce zerowe funkcji