2. Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach

R1BSKCZJX2EKF

Na podstawie wykresów funkcji możemy określić jej własności. Na przykład dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, znaki funkcji, jej różnowartościowość, itp. Można powiedzieć, że w ten sposób „czytamy” wykres funkcji. Równie ważną umiejętnością jest szkicowanie wykresu funkcji, który spełnia zadane własności.

Twoje cele

Określisz w układzie współrzędnych „obszar”, w którym położony jest wykres funkcji.
Zaznaczysz punkty charakterystyczne wykresu funkcji.
Naszkicujesz wykres funkcji spełniający podane własności.

Szkicowanie wykresu funkcji o zadanych własnościachSzkicowanie wykresu funkcji o zadanych własnościach odbywa się w trzech etapach:

I etap – wyznaczamy obszar, w którym znajduje się wykres funkcji. Aby to zrobić, potrzebna jest znajomość dziedziny i zbioru wartości funkcji;
II etap – zaznaczamy punkty charakterystyczne dla wykresu;
III etap – szkicujemy wykres funkcji, która spełnia pozostałe zadane własności.

Przykład 1

Naszkicujemy wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej następujące własności:

$D_{f} = ⟨- 1, 5)$ , $Z W_{f} = ⟨- 2, 4)$
$f (1) = - 2$ oraz $f (0) = - 1$
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨1, 3)$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨- 1, 1)$
funkcja jest stała w przedziale $⟨3, 5)$
funkcja ma jedno miejsce zerowe

Rozwiązanie

I etap

Przyjmijmy, że $D_{f} = ⟨- 1, 5)$ , $Z W_{f} = ⟨- 2, 4)$

R1Q91U5D4VV6G

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 proste. Pierwsza z nich z to pozioma prosta narysowana ciągłą linią o równaniu y, równa się, minus, dwa, druga prosta również jest pozioma, namalowana została linią przerywaną i ma równaniu y, równa się, cztery. Trzecia prosta jest pionowa,została namalowana linią ciągłą i ma równanie x, równa się, minus, jeden,ostatnia prosta jest również pozioma, została namalowana linią przerywaną i ma równanie x, równa się, pięć. Na płaszczyźnie zaznaczono obszar pomiędzy prostymi, ma on kształt kwadratu.

Możemy narysować dodatkowe linie pomocnicze.

W przypadku, gdy koniec jednego przedziału jest otwarty, odpowiednio zaznaczamy linie przerywane.

Otrzymaliśmy obszar, w którym narysujemy wykres spełniający kolejne warunki.

II etap

Przyjmiemy, że $f (1) = - 2$ oraz $f (0) = - 1$

R23LP99EAJ9LE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 odcinki i dwa punkty. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Pierwszy z punktów jest zamalowany i ma współrzędne nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, drugi punkt również jest zamalowany a jego współrzędne to nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

III etap

funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨1, 3)$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨- 1, 1)$
funkcja jest stała w przedziale $⟨3, 5)$
funkcja ma jedno miejsce zerowe

R1Z6DAN36UT93

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 odcinki i wykres fukcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Wykres składa się z dwóch części, rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie, którego wartość x jest równa minus jeden, a wartość y znajduje się pomiędzy zero a minus jeden, dalej wykres biegnie po łuku przez zamalowany punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, aż do punktu, który również jest zamalowany a jego współrzędne to nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie po łuku do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi fragment wykresu rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik jeden i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Pytanie problemowe:

Czy istnieje tylko jedna funkcja spełniająca powyższe warunki?

Rozważmy wykres funkcji $y = g (x)$ . Przeanalizujmy, czy spełnia ona wszystkie zadane warunki dla funkcji $y = f (x)$ z etapów: I, II oraz III.

R1KDP47MEX3PE

Okazuje się, że obie funkcje $f$ i $g$ spełniają zadane warunki. Można zatem uznać, że istnieje nieskończenie wiele funkcji spełniających zadane warunki.

Przykład 2

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ spełniającej jednocześnie następujące warunki:

$D_{f} = ⟨- 4, 3⟩$ - I etap
$Z W_{f} = ⟨- 3, 3⟩$ - I etap
$f (- 2) = - 2$ - II etap
$f (x) < 0$ dla $x \in (- 3, 2)$ - III etap; stąd wyznaczamy miejsca zerowe funkcji.

Rozwiązanie

I i II etap

R3RD5MA8GQMZM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki i punkt. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy i został namalowany linią ciągłą, rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Punkt jest zamalowany i ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

Przechodzimy do trzeciego etapu:

R1659JK5TN1BF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki, punkt i wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy i został namalowany linią ciągłą, rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Punkt jest zamalowany i ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Wykres zaczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Na tym etapie wykres funkcji nie spełnia jeszcze warunku zadanej dziedziny i zbioru wartości. Jednak została uwzględniona wartość najmniejsza funkcji.

R1G839KQCD2MU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Powstał przykładowy wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej jednocześnie wszystkie zadane warunki.

Przykład 3

Narysujemy wykres funkcji, w przypadku której obszar położenia wykresu funkcji jest określony tylko przez zbiór wartości funkcji.

Niech funkcja $f$ spełnia następujące własności:

$Z W_{f} = ⟨1, 4⟩ \cup (5, 7⟩$ - I etap wyznaczania obszaru
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu $x = - 4$ - II etap: zaznaczenie punktu szczególnego - np. $(- 4, 1)$
$f (x) > 0$ dla $x \in< - 4, 2 > \cup (3, 5 ⟩$ - III etap: pozostałe własności

Rozwiązanie

R1FORTT2AMTUP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 1 do siedem. W układzie zaznaczono cztery poziome proste i wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Pierwsza prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie y, równa się, siedem. Druga prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie y, równa się, pięć. Trzecia prosta jest również namalowana linią przerywaną i ma równanie y, równa się, cztery. Czwarta prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie y, równa się, jeden. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, druga część ma początek w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias pięć średnik siedem zamknięcie nawiasu.

W przypadku tej funkcji nasuwa się ciekawy wniosek dotyczący dziedziny funkcji. Nie jest ona bowiem podana w sposób oczywisty, jednak biorąc pod uwagę przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz zbiór wartości funkcji, można zauważyć, że warunek dotyczący zbioru argumentów, dla których $f (x) > 0$ , dotyczy również dziedziny funkcji.

Uwaga

Na rysunku linią przerywaną zaznaczona jest prosta y=4. Jednak liczba 4 należy do zbioru wartości funkcji. Zauważmy więc, że nie ważny jest sposób zaznaczania danego obszaru, ale ważny jest końcowy efekt, czyli sporządzony wykres.

Przykład 4

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ , która spełnia następująca warunki:

$D_{f} = (- 4, 4)$
$Z W_{f} = ⟨- 2, 5⟩$ - zaznaczamy obszar
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨2, 4)$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, 1⟩$ - na wykresie zaznaczono kolorem fioletowym
wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$

Rozwiązanie

R4F271JJKH92E

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono cztery proste i wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Pierwsza prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie y, równa się, pięć. Druga prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie y, równa się, minus, dwa. Trzecia prosta jest pionowa i namalowana linią przerywaną, ma równanie x, równa się, minus, cztery. Czwarta prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie x, równa się, cztery. Wykres składa się z trzech niebieskich fragmentów i dwóch fioletowych fragmentów. Pierwsza niebieska część zaczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik pięć zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Drugi niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawiasu minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, następnie biegnie do zamalowanego punktu nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu zamalowanego na fioletowo o współrzędnych nawis zero średnik pięć zamknięcie nawiasu. Trzeci niebieski fragment zaczyna się w punkcie zamalowanym na fioletowo o współrzędnych nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Pierwszy fioletowy fragment zaczyna się zamalowanym punkcie nawias zero średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fioletowy fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Przy samodzielnej pracy można otrzymać inny wykres, ważne aby spełniał zadane własności.

Inforgafika

Przeanalizuj infografikę, zwróć uwagę na wskazówki. Następnie wykonaj samodzielnie polecenia pod infografiką oraz przeanalizuj przykładowe rozwiązania.

R54M4J53FXR4V

Polecenie 1

Narysuj wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej następujące własności:

$D_{f} = (- 5, - 2) \cup (2, 5)$
$Z W_{f} = (- 1, 0⟩ \cup \{4\}$
$f (4) = 0$
funkcja rosnąca w $(4, 5)$
$f (x) < 0$ dla $x \in (4, 5)$
wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$

Przykładowy wykres:

RMZ5BVPPB17SQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 2 do sześć. W układzie zaznaczono siedem prostych i wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Pierwsza prosta jest pozioma, namalowana linią ciągłą i ma równanie y, równa się, cztery. Druga prosta jest również pozioma ,namalowana linią ciągłą i ma równanie y, równa się, zero. Trzecia prosta jest pozioma i namalowana linią przerywaną, ma równanie y, równa się, minus, jeden. Czwarta prosta jest pionowa, namalowana linią przerywaną i ma równanie x, równa się, minus, pięć. Piąta prosta jest pionowa i namalowana linią przerywaną jej równanie to: x, równa się, minus, dwa. Szósta prosta również jest pionowa i namalowana linią przerywaną a jej równanie to: x, równa się, dwa. Ostatmia prosta również jest pionowa i namalowana linią przerywaną a jej równanie to: x, równa się, pięć. Wykres składa się z czterech niebieskich fragmentów i dwóch fioletowych fragmentów. Pierwszy niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus piec średnik zero zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi fragment jest zamalowanym punktem o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Trzeci niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias minus dwa średnik cztery. Czwarty niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik cztery. Pierwszy fioletowy fragment to zamalowany punkt o współrzędnych nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi fioletowy fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias cztery średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

Porównaj swój wykres z powyższym. Co zauważyłeś/aś?

Polecenie 2

Narysuj wykres funkcji $y = f (x)$ spełniającej następujące własności:

$D_{f} = ⟨- 4, 4⟩$
$Z W_{f} = ⟨- 5, 5⟩$
$f (1) = - 5$
$f (3) = 2$
miejscami zerowymi funkcji są argumenty $- 2$ oraz $2$
funkcja stała w $⟨3, 4⟩$
funkcja rosnąca w $⟨1, 2⟩$
wykres funkcji symetryczny względem początku układu współrzędnych

Zestaw ćwiczeń multimedialnych1

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RNJ2ABF37GN57

RH784SAOKL127

Połącz w pary opis obszaru w prostokątnym układzie współrzędnych z dziedziną i zbiorem wartości funkcji. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią przerywaną i rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osia y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią przerywaną i rozpoczyna się w punkcie nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 2

Przyjrzyj się uważnie przedstawionym wykresom.

R18GLRQPC3SNL

Ilustracja przedstawia trzy układy współrzędnych a, b oraz c z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. W układzie b zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu składający się z dwóch części. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, który biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias dwa średnik minus trzy. W układzie c zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu składający się z dwóch części. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku przez środek układu współrzędnych do niezamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, który biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias trzy średnik minus dwa.

RU22H1775ZN9X

Do każdego wykresu dopasuj dwie z podanych niżej własności. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy. Wykres

a : Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. f nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy, 3. funkcja rosnąca w nawias ostry, minus, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias ostry, minus, cztery przecinek zero, zamknięcie nawiasu, 6. f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa Wykres

b : Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. f nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy, 3. funkcja rosnąca w nawias ostry, minus, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias ostry, minus, cztery przecinek zero, zamknięcie nawiasu, 6. f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa Wykres

c : Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. f nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy, 3. funkcja rosnąca w nawias ostry, minus, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias ostry, minus, cztery przecinek zero, zamknięcie nawiasu, 6. f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa

Ćwiczenie 3

R1JCCH5NK8PHH

R17ZZ75NX5Q6L

Który z poniższych wykresów spełnia wszystkie z podanych własności funkcji:

Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu ostrego,
f nawias, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, równa się, zero,
maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca to nawias ostry, minus, sześć, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, jeden przecinek cztery, zamknięcie nawiasu ostrego?

Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osia y od minus 1 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik zero zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osia y od minus 1 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu, którego wartość y jest równa jeden a wartość x znajduje się pomiędzy minus 4 i minus 5,dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias jeden średnik cztery zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu, którego wartość y jest równa jeden, a wartość x leży pomiędzy 4 i 5, dalej biegnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias sześć średnik dwa zamkniecie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osia y od minus 1 do cztery. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie poziomo do punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik zero zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 4

Uzupełnij poniższy wykres funkcji tak, aby spełniał wszystkie podane własności:
$D_{f} = ⟨ - 4, 7 ⟩$ , $f (4) = 3$ oraz funkcja jest stała w $⟨ 4, 7 ⟩$ .

ROKMQQCH4832L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osia y od minus 2 do pięć. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów po łuku do punktu nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik dwa zamkniecie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 5

Uzupełnij poniższy wykres funkcji tak, aby spełniał wszystkie podane własności:
$D_{f} = ⟨- 3, 7⟩$ , $Z W_{f} = ⟨- 3, 3⟩ \cup \{5\}$ , $f (2) = 0$ funkcja stała w $⟨- 3, 0)$ ; $(4, 7⟩$ .

RXLG59R9U14AF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osia y od minus 3 do pięć. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 6

Uzupełnij poniższy wykres tak, aby spełniał poniższe własności:
$D_{f} = ⟨- 8, 8⟩ ∖ \{0\}$ , $f (5) = - 4$ funkcja stała w $⟨5, 8⟩$ , wykres funkcji symetryczny względem początku układu współrzędnych.

R1HKO5AD7PM29

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 8 i pionową osia y od minus 5 do pięć. W układzie a zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Wykres będzie symetryczny względem początku układu współrzędnych gdy zachodzić będzie równość $f (- x) = - f (x)$

Ćwiczenie 7

a) Naszkicuj wykres funkcji $f$ spełniającej podane własności:

$D_{f} = ⟨- 6, 3)$
$Z W_{f} = ⟨- 1, 2⟩ \cup ⟨4, 6⟩$
$f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3; 0\}$
$f (2) = 6$
Funkcja rosnąca w $⟨- 6, - 2)$ ; $⟨1, 2⟩$
Funkcja malejąca w $⟨- 2, 1)$ , $(2, 3)$

b) Poproś kolegę lub koleżankę, aby na podstawie narysowanego przez ciebie wykresu funkcji $f$ określił/a następujące własności funkcji: $D_{f}$ , $Z W_{f}$ , miejsca zerowe, $f (2)$ , zbiór argumentów dla których funkcja $f$ jest rosnąca oraz malejąca.

c) Porównajcie wspólnie własności funkcji zapisane przez kolegę lub koleżankę z tymi, które miała spełniać funkcja $f$ (podane w pkt. a).

Jeśli własności się nie zgadzają, poszukajcie wspólnie błędu w wykresie lub opisie własności i ustalcie prawidłowe rozwiązanie.

Słownik

naszkicować wykres o zadanych własnościach

narysować wykres, który spełnia wszystkie podane własności

1. Odczytywanie własności funkcji z wykresu

3. Zastosowanie wiadomości o funkcjach