3. Zastosowanie wiadomości o funkcjach

R1RZFRO52OM8X

Ucząc się matematyki zapewne często zadajecie sobie pytania: po co mi to?, do czego mi się to przyda?, gdzie to wykorzystam? Dzięki temu materiałowi przekonacie się, że funkcje często „spotykamy” w życiu codziennym oraz korzystamy z ich wykresów. Na przykład w interpretacji zjawisk i procesów w różnych dziedzinach nauki, takich jak chemia, fizyka, medycyna, geografia, ekonomia i bankowość.

Twoje cele

Określisz własność funkcji, dzięki której odczytasz wymagane dane z wykresu w celu ich interpretacji.
Uzyskasz potrzebne informacje na podstawie wykresu funkcji.
Dokonasz interpretacji danych z wykresu do analizy wybranych zastosowań funkcji.

Przyjrzyjmy się sytuacjom z życia codziennego, które można opisać za pomocą funkcji:

każdemu obywatelowi Polski przyporządkowany jest numer PESEL,
każdemu uczniowi w klasie przyporządkowany jest numer w dzienniku lekcyjnym,
każdej książce w bibliotece przyporządkowany jest numer ewidencyjny,
każdemu towarowi na półce przyporządkowana jest jego cena sprzedaży,
godzinie $6 : 00$ każdego dnia danego miesiąca przyporządkowana jest temperatura powietrza w danej chwili w danym miejscu.

Funkcją jest też zależność długości pokonanej drogi od czasu trwania ruchu.

Podobnych sytuacji można odnaleźć bardzo dużo, w tym materiale będziemy je wspólnie analizowali i interpretowaliinterpretować daneinterpretowali. Ważne jest, aby mieć na uwadze fakt, że nie wszystkie sytuacje z życia codziennego można interpretować jako funkcje w rozumieniu matematycznym. Oto kilka przykładów.

Pralka i jej programy do prania.
Każdej pralce przyporządkowanych jest kilka programów, np.: do prania firanek, do prania tkanin delikatnych, do bawełny itp.

Użytkownik komputera i adres jego poczty e–mailowej.
Nie każdy użytkownik komputera ma adres e–mailowy, a niektórzy użytkownicy posiadają więcej niż jeden taki adres.

Nauczyciel w szkole i funkcje, które pełni.
Okazuje się, że zazwyczaj każdy nauczyciel w szkole pełni więcej niż jedną funkcję, ponieważ oprócz tego, że jest nauczycielem konkretnego przedmiotu, np.: pełni funkcję wychowawcy klasy, opiekuna samorządu szkolnego, przewodniczącego zespołu przedmiotowego nauczycieli, opiekuna koła wolontariatu itp.

Jednym ze sposobów określania funkcji jest wykres. To przejrzysty i klarowny sposób przedstawienia i uporządkowania pewnych zależności. Przenalizujemy je na przykładach.

Przykład 1

Pani Natalia dojeżdża do pracy autobusem i tramwajem. Wykres przedstawia, jak zmieniała się długość drogi przebyta przez nią (wyrażona w kilometrach) w zależności od czasu wyrażonego w minutach.

R25X6RFV9VSJC

Pani Natalia wyszła z domu o godzinie $6 : 45$ , pracę rozpoczynała o $7 : 30$ , ale potrzebowała $10 \min$ , aby przygotować się do pracy. Najpierw pieszo dotarła do przystanku, jechała autobusem $6$ minut, później wysiadła i z tego samego przystanku pojechała tramwajem. Ostatni odcinek drogi do pracy pokonała pieszo.

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Ile czasu Pani Natalia czekała na autobus, a ile na tramwaj?

Jaką odległość Pani Natalia pokonała autobusem, a jaką tramwajem?

Miejsce pracy Pani Natalii znajduje się w odległości $9, 25 km$ od domu. Jaką część drogi do pracy Pani Natalia pokonała pieszo?

Z jaką średnią prędkością jechał autobus, a z jaką tramwaj?

Czy Pani Natalia zdążyła przygotować się do pracy i rozpocząć ją punktualnie?

Rozwiązanie

Ad 1)
Pani Natalia czekała na autobus $2$ minuty oraz $4$ minuty na tramwaj.
Uzasadnienie: odnajdujemy na wykresie fragmenty funkcji stałej: w czasie od $10$ do $12$ minuty Pani Natalia oczekiwała na autobus oraz w czasie od $18$ do $22$ minuty, Pani Natalia oczekiwała na tramwaj.

Ad 2)
Pani Natalia pokonała autobusem $3, 5 km$ , a tramwajem $5 km$ .

Ad 3)
Pani Natalia pokonała pieszo $750 m$ .

Ad 4)
Średnia prędkość autobusu wynosiła $V_{A} = 35 \frac{km}{h}$ , a średnia prędkość, z jaką poruszał się tramwaj: $V_{T} = 60 \frac{km}{h}$ .
Uzasadnienie $V_{ś r} = \frac{s}{t}$ , zatem: $V_{A} = \frac{3, 5 km}{\frac{1}{10} h} = 35 \frac{km}{h}$ .
$6 \min = \frac{6}{60} h = \frac{1}{10} h$ ,
$V_{T} = \frac{5 km}{\frac{1}{12} h} = 60 \frac{km}{h}$ ,
$5 \min = \frac{5}{60} h = \frac{1}{12} h$ .

Ad 5)
Tak, pani Natalia zdążyła przygotować się do pracy i rozpocząć ją punktualnie.
Uzasadnienie: podróż zajęła $30 \min$ , $10 \min$ przygotowanie, więc Pani Natalii zostało $5 \min$ wolnego czasu.

Przykład 2

Wykresy funkcji bardzo często stosowane są w meteorologii. Przeanalizuj wykres zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu i odpowiedz na pytania zamieszczone pod wykresem.

RLDOXQVTB54X7

Ilustracja interaktywna przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią podpisaną: dni, na której wartości sięgają od jeden do trzydzieści jeden z podziałką co trzy i pionową osią podpisaną: temperatura, gdzie jednostką są stopnie Celsjusza, a wartości sięgają od minus 5 do 10 z podziałką co pięć. W układzie zaznaczono wykres, który ma swój początek w punkcie nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias pięć średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu nawias siedem średnik minus i dalej ukośnie do punktu nawias dziewięć średnik minus cztery. Dalej biegnie do punktu nawias jedenaście średnik cztery zamknięcie nawiasu i dalej do punktu nawias dwanaście średnik pięć zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres biegnie ukośnie do punktu nawias trzynaście średnik dziewięć. Dale wykres biegnie do punktu nawias czternaście średnik pięć zamknięcie nawiasu i dalej biegnie do punktu nawias szesnaście średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias siedemnaście średnik jeden zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do punktu nawias dwadzieścia średnik jeden zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias dwadzieścia dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, tu znów biegnie poziomo do punktu nawias dwadzieścia cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia sześć średnik pięć zamknięcie nawiasu, stąd dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia siedem średnik dwa przecinek dwadzieścia pięć setnych zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia osiem średnik jeden. Z tego punktu wykres biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia dziewięć średnik trzy przeciek siedemdziesiąt pięć setnych zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu nawias trzydzieści jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kursor wskazuje na wykresie dzień oraz wartość temperatury w zależności od jego położenia.

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Jaka była najwyższa a jaka najniższa temperatura powietrza?

W jakim przedziale czasu temperatura wzrastała?

Jaka temperatura była ostatniego marca?

W jakim okresie temperatura była niedodatnia?

W jakim okresie temperatura wynosiła co najmniej $5 ° C$ ?

Rozwiązanie

Ad 1)
Najniższa temperatura wyniosła: $- 4 ° C$ , zaś najwyższa: $9 ° C$ .
Uzasadnienie: to pytanie dotyczy wartości najmniejszej i największej funkcji.

Ad 2)
Temperatura wzrastała: od $1$ do $2$ marca, od $9$ do $13$ marca, od $16$ do $26$ marca, od $28$ do $29$ marca.
Uzasadnienie: to pytanie o zbiór argumentów, dla których funkcja jest rosnąca.
Symboliczny zapis $f ↗ ⟨1, 2⟩$ ; $⟨9, 13⟩$ ; $⟨16, 26⟩$ ; $⟨28, 29⟩$ .

Ad 3)
Ostatniego dnia marca temperatura wynosiła $3 ° C$ .
Uzasadnienie: to pytanie o wartość funkcji dla argumentu $31$ .

Ad 4)
Temperatura była niedodatnia od $6$ do $10$ marca.
Uzasadnienie: to pytanie o zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.

Ad 5)
Temperatura wynosiła co najmniej $5 ° C$ : $2$ marca, od $12$ do $14$ marca, $26$ marca.
Uzasadnienie: to pytanie o zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość $5$ lub więcej.
Symboliczny zapis: $f (x) \geq 5$ dla $x \in ⟨12, 14⟩ \cup \{2, 26\}$ .

Przykład 3

Funkcje mają zastosowanie w chemii przy badaniu własności substancji. Poniższy wykres przedstawia zależność masy (w g) rozpuszczonego w wodzie pierwiastka od temperatury w $[° C]$ .

R1P5B5ZNTCPV7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od zera do stu stopni Celsjusza z podziałką co dziesięć i pionową osią g od zera do 500 z podziałką co pięćdziesiąt. W układzie zaznaczono wykres, który rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik pięćdziesiąt i biegnie po łuku przez punkty: nawias siedemdziesiąt średnik dwieście zamknięcie nawiasu, nawias osiemdziesiąt średnik dwieście pięćdziesiąt, nawias dziewięćdziesiąt średnik trzysta zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu.

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Czy $150 g$ pierwiastka można rozpuścić w $100 g$ wody po ogrzaniu jej do $60 ° C$ ?

Do jakiej temperatury trzeba ogrzać $100 g$ wody, aby rozpuścić w niej $300 g$ pierwiastka?

Ile gram pierwiastka rozpuszcza się w $65 g$ wody po podgrzaniu jej do $70 ° C$ ?

Rozwiązanie

Ad 1)
$150 g$ pierwiastka można rozpuścić w $100 g$ wody po ogrzaniu jej do $60 ° C$ .

Ad 2)
Wodę należy ogrzać do temperaury $90 ° C$ .

Ad 3)
W $65 g$ wody, po podgrzaniu jej do $70 ° C$ , można rozpuścić $130 g$ pierwiastka.
Uzasadnienie:
Nich $x$ będzie szukaną wielkością. Tworzymy proporcję $200 g$ pierwiastka – $100 g$ wody (podgrzanej do $70 ° C$ )
$x - 65$
Zatem $x = \frac{200 \cdot 65}{100} = 130 (g)$ .

Przykład 4

Na poniższych wykresach przedstawiono notowania średnich kursów euro i dolara amerykańskiego. Dane odczytano $02.03.2021$ r.

RD4D58OJLAJNH

Ilustracja przedstawia wykres kursów średnich euro w ostatnich 31 dniach. Na ilustracji jest układ współrzędnych z poziomą osią od dnia pierwszego lutego do dnia 2 marca z podziałką co cztery dni, na pionowej osi znajdują się średnie kursy euro w złotówkach od 4,4700 do 4,5500 z podziałką co jedną setną i dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Wykres rozpoczyna się na pionowej osi przy wartości 4,5400, dalej wykres biegnie ukośnie do punktu leżącego pomiędzy pionową osią a pionową linią przerywaną z datą drugiego lutego, wartość, odcięta tego punktu ma wartość pomiędzy 4,5100 a 4,2500, wykres biegnie dalej ukośnie i w dniu drugiego lutego osiągnięta zostaje wartość niewiele większa od 4,5000, dalej wykres również biegnie ukośnie do punktu, leżącego pomiędzy datą drugiego lutego i szóstego lutego, wartość euro w tym dniu wyniosła 4,4900, dalej wykres biegnie z znów ukośnie by przed dniem szóstego lutego osiągną wartość niewiele mniejszą od 4,5000 i a następnie również przed datą szóstego lutego podrosnąć, nie przekraczając wartości cztery i pięć dziesięciotysięcznych. Dalej wykres biegnie poziomo i po dacie szóstego lutego zaczyna bieg ukośnie do punktu znajdującego się pomiędzy datą szóstego lutego i dziesiątego lutego i pomiędzy wartością euro 4,4800 i 4,4900, jeszcze przed dziesiątym lutym kurs euro spada poniżej 4,4800 by dziesiątego lutego osiągnąć wartość cztery i czterdzieści osiem dziesięciotysięcznych. Zaraz po dziesiątym lutym wartość średnia euro wzrosła do wartości powyżej 4,5000 następnie wzrosła jeszcze trochę i ustabilizowała się aż do dnia czternastego lutego, dalej wartość spadła do niewiele większej od 4,4800, by w okolicach szesnastego lutego osiągnąć wartość 4,4900, jeszcze przed osiemnastym lutym średnik kurs euro wyniósł 4,5000, a w dniu osiemnastego lutego wynosił mniej niż cztery i czterdzieści dziewięć dziesięciotysięcznych. Następnie wartość podniosła się do 4,4900 i wykres niemal do dnia dwudziestego drugiego lutego przebiegał poziomo, następnie zaczął rosnąć i w dniu dwudziestego drugiego lutego wartość euro wyniosła niewiele mniej niż 4,5000, dalej wartość również rosła, w okolicach dwudziestego trzeciego lutego wyniosła wartość 4,5100 w okolicach dnia dwudziestego czwartego lutego osiągnęła wartość równą niemal 4,5200, następnie jeszcze przed 26 lutego wartość zmalała do wartości około 4,5150, by w dniu dwudziestego szóstego lutego osiągnąć wartość bliską cztery i pięćdziesiąt dwie setne. Dalej wykres biegł poziomo, do dnia dwudziestego ósmego lutego, następnie wartość euro zaczęła rosnąć, przed drugim marca miała wartość większą od 4,5200, a drugiego marca wartość ta wynosiła więcej niż cztery i pięćdziesiąt trzy dziesięciotysięczne. Linia trendu jest ukośna, przechodzi przez punkty nawias drugi luty średnik cztery i pięć dziesięciotysięcznych zamknięcie nawiasu i nawias dwudziesty szósty luty, średnik cztery i pięćdziesiąt jeden dziesięciotysięcznych zamknięcie nawiasu.

RAS8LVSTV5U1A

Ilustracja przedstawia wykres kursów średnich dolara w ostatnich 31 dniach. Na ilustracji jest układ współrzędnych z poziomą osią od dnia pierwszego lutego do dnia 2 marca z podziałką co cztery dni, na pionowej osi znajdują się średnie kursy dolara w złotówkach od 3,6900 do 3,7900 z podziałką co jedną setną i dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Wykres rozpoczyna się od pionowej osi pomiędzy wartością dolara w złotówkach równą 3,4700 a 3,7525, następnie jeszcze przed drugim lutym wartość ta spada do niewiele większej od 3, 7275, w dniu drugiego lutego wartość dolara jest niewiele większa od 3,7275, dalej wartość dolara rośnie, około czwartego lutego osiąga wartość 3, 7525, a jeszcze przed szóstym lutym przekracza tą wartość, następnie biegnie poziomo i w okolicach siódmego lutego zaczyna spadać , około ósmego lutego ma już wartość niewiele większą od 3,7275 i dalej spada, jeszcze przed dziesiątym lutym osiąga wartość mniejszą niż 3,7025 a dziesiątego lutego ma wartość niewiele większą. Dalej wartość dolara zaczyna rosnąć, około jedenastego lutego ma wartość niewiele mniejszą od 3,7150 a dwunastego lutego ma już wartość większą od 3,7150 i do dania czternastego lutego wartość ta się nie zmienia, następnie wartość dolara spada i w dniach piętnastego i szesnastego lutego ma wartość niewiele większą od 3,6900, następnie wartość dolara rośnie i przed osiemnastym lutym osiąga wartość 3,7275, by w dniu osiemnastego lutego mieć wartość trzy i siedemset pięćdziesiąt jeden dziesięciotysięcznych. Po osiemnastym lutym wartość dolara dalej spadała aż do wartości mniejszej od 3,7025, następni wykres biegł poziomo, by przed dwudziestym drugim lutym zacząć rosnąć. W dniu dwudziestego drugiego lutego wartość dolara wynosiła 3,7150, następnie dwudziestego trzeciego lutego niewiele się zmniejszyła, dzień później znów wróciła do wartości 3,7150 by jeszcze przed dwudziestym szóstym lutym osiągnąć wartość niewiele większą od 3,6900, dalej wartość dolara rosła i już dwudziestego szóstego lutego osiągnęła wartość niewiele mniejszą od 3,7275, do dnia dwudziestego ósmego lutego wartość dolara nie zmieniała się i dalej zaczęła rosnąć, około pierwszego marca wartość dolara przekroczyła 3,7525 a drugiego marca miała już wartość bliską 3,7775, linia trendu tego wykresu jest pozioma i znajduje się pomiędzy wartością 3,7510 i trzy i siedemdziesiąt dwa tysiące siedemdziesiąt pięć dziesięciotysięcznych.

Na postawie wykresów odpowiedz na pytania:

Którego dnia odnotowano najwyższy spadek cen każdej z walut?
W jakich dniach kurs euro nie malał w okresie dłuższym niż tydzień?

Na podstawie wykresów rozwiąż problem:
Maciej i jego kolega Karol zainwestowali oszczędności w walutę. Obaj $3$ lutego mieli taką ilość dolarów amerykańskich, która równała się $10000 zł$ . Maciej potrzebował pilnie większej kwoty pieniędzy. Podjął ryzykowną decyzję. Zdecydował się tego dnia sprzedać dolary i tego samego dnia za całą kwotę kupić euro. Obaj koledzy $2$ marca wymienili swoje oszczędności na złotówki. Który z nich zarobił więcej i o ile procent?

Wykonując obliczenia liczbę $EUR$ oraz $USD$ , zaokrąglij do części całkowitych, a kursy walut z dokładnością do części setnych.

Rozwiązanie

Ad 1)

Najwyższy spadek ceny dolara odnotowano $9$ lutego, zaś euro – $1$ lutego.
Kurs euro nie malał w okresie dłuższym niż tydzień od $18$ do $24$ lutego.

Ad 2)

Maciej:
$3$ lutego – $1 EUR$ – $4, 49 zł$
$10000 : 4, 49 = 2227 (EUR)$
$2$ marca – $1 EUR$ – $4, 53 zł$
$2227 \cdot 4, 53 zł = 10088, 31 zł$
Zatem Maciej zarobił $88, 31 zł$ .
Karol:
$3$ lutego – $1 USD$ – $3, 74 zł$
$10000 : 3, 74 = 2674 (USD)$
$2$ marca – $1 USD$ – $3, 78 zł$
$2674 \cdot 3, 78 zł = 10107, 72 zł$
Zatem Karol zarobił $107, 72 zł$ .

$107, 72 zł - 88, 31 zł = 19, 41 zł$ .

Karol zarobił więcej o $19, 41 zł$ , czyli o około $22 %$ .

Animacja interaktywna

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji, a następnie wykonaj Polecenie 1.

ROBQ16QAAPM6U

Polecenie 1

Znajdź co najmniej dwa „pożyteczne” zastosowania wykresów funkcji. Przygotuj lub znajdź na dostępnych stronach internetowych wykresy tych funkcji. Upewnij się, że wykresy ilustrują przekształcenia, które są funkcjami.

a) Przygotuj do każdego wykresu pytania o interesujące Twoim zdaniem informacje, które można odczytać lub obliczyć na podstawie wykresu.

b) W parach z koleżanką lub kolegą wymieńcie się zadaniami i następnie sprawdźcie poprawność swoich odpowiedzi.

Ad a)

Wykresy temperatur powietrza wykorzystywane np. przy planowaniu urlopów.
Przykładowe pytania do wykresów:
- Jaka była najwyższa temperatura powietrza w podanym okresie?
- Przez ile kolejnych dni temperatura powietrza utrzymywała się powyżej $24 ° C$ ?

Wykresy zmian cen podanych towarów – przy planowaniu dużych zakupów.
Przykładowe pytania do wykresów:
- W jakim miesiącu najkorzystniej jest kupować sprzęt AGD?
- Ile można zaoszczędzić kupując wyposażenie kuchni (np. lodówkę, piekarnik i kuchenkę mikrofalową) kupując w okresie kiedy są najniższe ceny w stosunku do okresu, kiedy są najwyższe ceny?

Wykresy zanieczyszczenia powietrza w Polsce – planowanie miejsca urlopu lub przeprowadzki.
Przykładowe pytania do wykresów:
- Wybierz dwa miasta w Polsce, w których chcesz mieszkać w przyszłości.
- Porównaj w ilu miesiącach stężenie zanieczyszczeń powietrza w jednym z nich jest niższe niż w drugim.

Wykres stężenia w powietrzu kwiatowych pyłków w maju – jak mają przetrwać alergicy?
Przykładowe pytania do wykresu:
- W jakie dni w miesiącu maju alergicy nie powinni wychodzić na spacery?
- Jak długo będzie się utrzymywało wysokie stężenie pyłków ?

W jakim banku najlepiej ulokować oszczędności na wybrany okres lub wziąć kredyt?
Przykładowe pytania do wykresu:
- W jakim banku ulokować oszczędności na okres $1$ roku?
- Czy lepiej wziąć kredyt w banku $X$ na okres $5$ lat, czy w banku $Y$ na okres $10$ lat? Kiedy zapłacimy mniejsze odsetki?

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R13EADGVSAPXC1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Monika przygotowuje się do konkursu z matematyki. Do dnia konkursu zostało jej jeszcze $10$ dni. Monika postanowiła zaplanować swoją pracę. Liczbę godzin, które przeznaczyła na przygotowania w ciągu kolejnych dni, przedstawiła na wykresie.

R1OKSZLF5SGQ1

R1GUZEXSL61V8

Ćwiczenie 3

Poniższe wykresy przedstawiają dobowe zmiany temperatury powietrza w miejscowościach $A$ i $B$ .

Uwaga: w odpowiedziach zostały uwzględnione zapisy przedziałów godzinowych jako przedziały liczbowe. Wykres zmian temperatury w miejscowści A to ten zaczynający się „niżej”. Możesz „kliknąć” na oznaczenia poniżej wykresu, aby to sprawdzić.

RB66OM3F3Q7CH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią reprezentującą godziny z wartościami od zera do 24 z podziałką co dwa i pionową osią reprezentującą temperaturę w stopniach Celsjusza z wartościami od minus 10 do 10 z podziałką co pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy: jeden dla miejscowości A i drugi dla miejscowości B. Wykres dla miejscowości A rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu , dalej biegnie ukośnie do punktu nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej znów ukośnie biegnie do punktu nawias dwa średnik minus jeden i pól zamknięcie nawiasu, kolejny punkt ma współrzędne nawias trzy średnik minus trzy, z tego punktu wykres biegnie ukośnie do punktu nawias siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej znów ukośnie biegnie do punktu nawias osiem średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie do punktu nawias dziewięć średnik trzy zamknięcie nawiasu. Następnie biegnie ukośnie do punktu nawias jedenaście średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej znów ukośnie biegnie do punktu nawias dwanaście średnik sześć zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias czternaście średnik pięć zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie poziomo do punktu nawias piętnaście średnik pięć zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias siedemnaście średnik cztery zamknięcie nawiasu. Następnie wykres biegnie ukośnie do punktu osiemnaście średnik trzy zamkniecie nawiasu, dalej do punktu dwadzieścia średnik dwa zamknięcie nawiasu i dalej ukośnie do punktu dwadzieścia jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Następnie wykres biegnie ukośnie do punktu dwadzieścia dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, kolejnym punktem jest nawias dwadzieścia trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i ostatnim punktem jest punkt o współrzędnych nawias dwadzieścia cztery średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Wykres dla miejscowości B rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik zero pół zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias trzy średnik zero pół zamknięcie nawiasu. Następnie biegnie ukośnie do punktu nawias pięć średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias sześć średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias siedem średnik nawias jeden zamknięcie nawiasu, następnie wykres biegnie poziomo do punktu nawias osiem średnik jeden, z tego punktu biegnie ukośnie do punktu nawias dziewięć średnik dwa, dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias dziesięć średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie ukośnie do punktu nawias jedenaście średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kolejno wykres biegnie ukośnie do punktu nawias dwanaście średnik dwa zamknięcie nawiasu,dalej biegnie poziomo do punktu nawias trzynaście średnik dwa zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie ukośnie do punktu nawias czternaście średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu osiemnaście średnik minus jeden, skąd biegnie poziomo do punktu nawias dziewiętnaście nawias minus jeden, następnie biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie poziomo do punktu nawis dwadzieścia dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Następnie biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia cztery średnik minus trzy i pół zamknięcie nawiasu.

RDRNKLLQATTHM

Połącz w pary odpowiedzi z właściwymi pytaniami. O której godzinie temperatura w obu miejscowościach była taka sama? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero W jakich godzinach w miejscowości A temperatura była niedodatnia? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero W jakich godzinach temperatura w miejscowości B była wyższa od temperatury w miejscowości A? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero W jakich godzinach temperatura w miejscowości A malała? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero W jakich godzinach termometr w miejscowości A wskazywał co najmniej trzy stopnie C? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero Jaka była dobowa różnica temperatur w miejscowości A? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero Jaka była różnica temperatur w obu miejscowościach o godz. osiemnaście, podzielić na, zero? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero O której godzinie w obu miejscowościach była największa różnica we wskazaniach termometrów? Możliwe odpowiedzi: 1. O godzinie dwanaście, podzielić na, zero, o godzinie siedemnaście, podzielić na, zero i o godzinie osiemnaście, podzielić na, zero, 2. Między dziewięć, podzielić na, zero a osiemnaście, podzielić na, zero, 3. Między zero, podzielić na, zero a siedem, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia trzy, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 4. dziesięć stopni C, 5. O godzinie siedem, podzielić na, zero i o godzinie dwadzieścia trzy, podzielić na, zero, 6. cztery stopnie C, 7. Między jeden, podzielić na, zero a trzy, podzielić na, zero, dwanaście, podzielić na, zero a czternaście, podzielić na, zero oraz między piętnaście, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero, 8. Między zero, podzielić na, zero a sześć, podzielić na, zero oraz między dwadzieścia jeden, podzielić na, zero a dwadzieścia cztery, podzielić na, zero

Ćwiczenie 4

Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała się temperatura ciała pewnego pacjenta mierzona przez kolejne $12$ godzin.

R147X2RNJGARL

Przyjmujemy, że normalna temperatura ciała człowieka wynosi $36, 6 ° C$ .

ROZZ7ASGGCDCT

Ćwiczenie 5

Poniższy wykres przedstawia notowania (w zł) cen akcji spółki PKO BP w dniach od $1$ sierpnia $2020$ do $30$ października $2020$ . Uwaga! Dane nie są zbierane w soboty i w niedziele.

R1QCJU3FTE7RE

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Którego dnia cena akcji spadła poniżej $20 zł$ ?

Którego dnia najkorzystniej, w podanym okresie, należało kupić akcje, a którego sprzedać, aby na przeprowadzonych transakcjach zarobić jak najwięcej?

$12.08.2020$ r. notowania akcji były najwyższe i wynosiły $23, 36 zł$ , a $29$ października najniższe $18, 90 zł$ . O ile procent spadła wartość akcji w tym okresie? (Wynik podaj z dokładnością do $0, 1$ procenta).

Wykres kolumnowy. Lista elementów:

1. zestaw danych: data: 10 sierpnia, wartość akcji: 25.00
2. zestaw danych: data: 24 sierpnia, wartość akcji: 22.3
3. zestaw danych: data: 7 września, wartość akcji: 21.1
4. zestaw danych: data: 21 września, wartość akcji: 22
5. zestaw danych: data: 5 października, wartość akcji: 20
6. zestaw danych: data: 19 października, wartość akcji: 20.1
7. zestaw danych: data: 30 października, wartość akcji: 19

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Którego dnia cena akcji spadła poniżej $20 zł$ ?

Którego dnia najkorzystniej, w podanym okresie, należało kupić akcje, a którego sprzedać, aby na przeprowadzonych transakcjach zarobić jak najwięcej?

$12.08.2020$ r. notowania akcji były najwyższe i wynosiły $23, 36 zł$ , a $29$ października najniższe $18, 90 zł$ . O ile procent spadła wartość akcji w tym okresie? (Wynik podaj z dokładnością do $0, 1$ procenta).

Ad 1)
$28$ października cena akcji spadła poniżej $20 zł$ .

Ad 2)
Akcje należało kupić $25$ września, a sprzedać: $7$ października.

Ad 3)
$23, 36 zł - 18, 90 zł = 4, 46 zł$
$\frac{4, 46 zł}{23, 36 zł} \cdot 100 % \approx 19, 1 %$
Wartość akcji spadła o $4, 46 zł$ , czyli o $19, 1 %$ .

Ad 1) Trzydziestego października

Ad 2) Akcje należało kupić $7$ września, a sprzedać: $21$ września.

Ad 3) $23, 36 zł - 18, 90 zł = 4, 46 zł$
$\frac{4, 46 zł}{23, 36 zł} \cdot 100 % \approx 19, 1 %$
Wartość akcji spadła o $4, 46 zł$ , czyli o $19, 1 %$ .

Ćwiczenie 6

Poniższy wykres przedstawia zmiany w notowaniach funduszu PKO Akcji Rynku Złota w okresie miesięcznym.

R1G3C6JE7TXKP

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Którego dnia należało sprzedać tzw. jednostki funduszu, aby zyskać jak najwięcej?

O ile punktów procentowych spadła wartość jednostek funduszu akcji Rynku Złota między $13$ października $(+ 2, 4 %)$ , a $28$ października $(- 7 %)$ ?

Która doba była najmniej korzystna dla inwestorów tego funduszu?

Wykres kolumnowy. Lista elementów:

1. zestaw danych: data: 30 września, wartość akcji: -1.0%
2. zestaw danych: data: 4 października, wartość akcji: -0.5%
3. zestaw danych: data: 8 październik, wartość akcji: -2.5%
4. zestaw danych: data: 12 października, wartość akcji: 2.5%
5. zestaw danych: data: 16 października, wartość akcji: 2.3%
6. zestaw danych: data: 20 października, wartość akcji: 0
7. zestaw danych: data: 24 października, wartość akcji: 0
8. zestaw danych: data: 28 października, wartość akcji: -7.5%

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Którego dnia należało sprzedać tzw. jednostki funduszu, aby zyskać jak najwięcej?

O ile punktów procentowych spadła wartość jednostek funduszu akcji Rynku Złota między $13$ października $(+ 2, 4 %)$ , a $28$ października $(- 7 %)$ ?

Która doba była najmniej korzystna dla inwestorów tego funduszu?

Ad 1)
Akcje należało sprzedać $14$ października.

Ad 2)
Wartość jednostek funduszu akcji Rynku Złota spadła o $9, 4$ punktu procentowego.
Uzasadnienie: $2, 4 - (- 7) = 9, 4$ punktu procentowego.

Ad 3)
Najmniej korzystna dla inwestorów tego funduszu była doba między $27$ a $28$ października.
Uzasadnienie: odnotowano wtedy najwyższy spadek wartości jednostek funduszu akcji.

Ad 1) Akcje należało sprzedać $12$ października.

Ad 2) Wartość jednostek funduszu akcji Rynku Złota spadła o $9, 4$ punktu procentowego.
Uzasadnienie: $2, 4 - (- 7) = 9, 4$ punktu procentowego.

Ad 3) Najmniej korzystna dla inwestorów tego funduszu była doba między $27$ a $28$ października.
Uzasadnienie: odnotowano wtedy najwyższy spadek wartości jednostek funduszu akcji.

Ćwiczenie 7

Poniższy wykres przedstawia dzienną liczbę zachorowań na Covid‑19 w Polsce w okresie pandemii koronawirusa w okresie od $18$ września do $31$ października $2020$ r.

RFAN4QUH82836

Wykres kolumnowy. Lista elementów:

1. zestaw danych: data: 18 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 800
2. zestaw danych: data: 19 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 850
3. zestaw danych: data: 20 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 800
4. zestaw danych: data: 21 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 600
5. zestaw danych: data: 22 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 500
6. zestaw danych: data: 23 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 700
7. zestaw danych: data: 24 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 1900
8. zestaw danych: data: 25 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 1800
9. zestaw danych: data: 26 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 1900
10. zestaw danych: data: 27 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 1500
11. zestaw danych: data: 28 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 1300
12. zestaw danych: data: 29 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 1900
13. zestaw danych: data: 30 września, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2000
14. zestaw danych: data: 1 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2300
15. zestaw danych: data: 2 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2400
16. zestaw danych: data: 3 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2500
17. zestaw danych: data: 4 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2200
18. zestaw danych: data: 5 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2300
19. zestaw danych: data: 6 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2350
20. zestaw danych: data: 7 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 2400
21. zestaw danych: data: 8 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 4700
22. zestaw danych: data: 9 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 4800
23. zestaw danych: data: 10 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 5100
24. zestaw danych: data: 11 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 4800
25. zestaw danych: data: 12 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 4700
26. zestaw danych: data: 13 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 5000
27. zestaw danych: data: 14 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 6000
28. zestaw danych: data: 15 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 7600
29. zestaw danych: data: 16 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 7100
30. zestaw danych: data: 17 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 9800
31. zestaw danych: data: 18 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 8500
32. zestaw danych: data: 19 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 7500
33. zestaw danych: data: 20 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 9000
34. zestaw danych: data: 21 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 10020
35. zestaw danych: data: 22 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 12000
36. zestaw danych: data: 23 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 14000
37. zestaw danych: data: 24 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 14000
38. zestaw danych: data: 25 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 12000
39. zestaw danych: data: 26 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 10100
40. zestaw danych: data: 27 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 16200
41. zestaw danych: data: 28 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 18500
42. zestaw danych: data: 29 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 20100
43. zestaw danych: data: 30 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 21700
44. zestaw danych: data: 31 październik, dzienna liczba przypadków w Polsce: 22000

RVQGOUSTNCO7L

Ćwiczenie 8

Wykorzystując dane z wykresu z ćwiczenia $7$ , odczytaj najwyższą liczbę dziennych przypadków zachorowań w październiku. Wynik podaj z dokładnością do cyfry tysięcy.
Wiedząc, że $1$ października liczba nowych zachorowań wynosiła dokładnie $1967$ , oblicz, o ile procent wzrosła liczba tych zachorowań w okresie od $1$ października do dnia o najwyższej liczbie zachorowań.

Wynik podaj z dokładnością do $1$ procenta.

$31$ października – ok. $22000$ przypadków

Różnica: $22000 - 1967 = 20033$

$\frac{20033}{2000} \cdot 100 % \approx 1001 %$

Liczba zachorowań w okresie od $1$ do $31$ października wzrosła o około $1001 %$ .

Słownik

interpretować dane

wykorzystać pojęcia, zapisy i własności matematyczne do analizy zjawisk, procesów i odpowiedzi na zadane pytania lub problemy

2. Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach

Podsumowanie wiadomości o funkcjach