• Zdefiniujesz funkcję, nazywaną proporcjonalnością prostą.

• Naszkicujesz wykres funkcji, będącej proporcjonalnością prostą.

• Obliczysz wartości funkcji, będącej proporcjonalnością prostą dla różnych argumentów.

• Wykorzystasz funkcję, będącą proporcjonalnością prostą do rozwiązywania problemów matematycznych.

Dwie zmienne wielkości  nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

Funkcję $f$ określoną wzorem $f\left(x\right)=a·x$, gdzie $a>0$ na  zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}$ nazywamy proporcjonalnością prostą.

Wyznaczymy wartość parametru $m$, jeżeli punkty o współrzędnych $A=\left(\frac{2}{3},4\right)$ i $B=\left(3,m\right)$ należą do wykresu  tej samej proporcjonalności prostej.

Rozwiązanie

Wzór funkcji, będącej proporcjonalnością prostą zapisujemy w postaci $y=a·x$.

Do wyznaczenia wartości $a$ podstawiamy współrzędne punktu $A$ i rozwiązujemy równanie:

$4=a·\frac{2}{3}$, zatem $a=6$.

Funkcja, będąca proporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y=6·x$.

Do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie

$m=6·3$, zatem $m=18$.

W tabeli przedstawiono argumenty oraz odpowiadające im wartości funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $y=a·x$. Wyznaczymy wartości $m, n, p$.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie

$4,5=a·3$, zatem $a=\frac{3}{2}$.

Zatem funkcja wyraża się wzorem $y=\frac{3}{2}·x$.

Wyznaczamy wartości $m, n, p$.

$m=\frac{3}{2}·5$, zatem $m=\frac{15}{2}$

$12=\frac{3}{2}·n$, zatem $n=8$

$p=\frac{3}{2}·9$, zatem $p=\frac{27}{2}$.

Sprawdzimy, czy do wykresu tej samej  funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, mogą należeć punkty $P$ i $Q$ o współrzędnych $P=\left(\frac{1}{3},\frac{5}{6}\right)$ oraz $Q=\left(4,10\right)$.

Rozwiązanie

Funkcja, będąca proporcjonalnością prostąproporcjonalność prostaproporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y=a·x$.

Do wyznaczenia wartości $a$ do wzoru funkcji $y=a·x$ podstawiamy współrzędne punktu $P$ i rozwiązujemy równanie:

$\frac{5}{6}=a·\frac{1}{3}$, zatem $a=\frac{5}{2}$.

Zatem funkcja, będąca proporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y=\frac{5}{2}·x$.

Sprawdzimy, czy punkt $Q$ należy do wykresu tej funkcji. W tym celu rozwiążemy równanie:

$10=\frac{5}{2}·4$, zatem $10=10$.

Wobec tego podane punkty należą do wykresu funkcji tej samej proporcjonalności prostej.

Wiadomo, że do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $f\left(x\right)=a·x$ należy punkt o współrzędnych $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$.

Wyznaczymy:

a) wartość współczynnika proporcjonalności $a$,

b) wartość tej funkcji dla $x=4$.

Rozwiązanie

a) Jeżeli punkt o współrzędnych $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$ należy do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2}=a·\frac{1}{3}$, zatem $a=\frac{3}{2}$

b) Zapiszemy wzór proporcjonalności prostej $f\left(x\right)=\frac{3}{2}·x$.

Wobec tego $f\left(4\right)=\frac{3}{2}·4=6$.

Na rysunku przedstawiono wykres proporcjonalności prostej określonej wzorem $y=a·x$. Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R1UKMt0xGei11

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwóch do siedmiu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej wzorem $y=ax$, który stanowi półprosta ukośna. Półprosta biegnie od niezamalowanego punktu $\left(0;0\right)$, przez punkt

Rozwiązanie

Z rysunku możemy odczytać, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(5,3\right)$.

Jeżeli podstawimy współrzędne tego punktu do wzoru $y=a·x$, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie

$3=a·5$, zatem $a=\frac{3}{5}$.

Funkcję można opisać wzorem $y=\frac{3}{5}·x$.

Wykażemy, że funkcja, będąca proporcjonalnością prostą, zadana wzorem $f\left(x\right)=a·x$, określona na zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}$ jest zawsze rosnąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_1,x_2\in D_f$ oraz $x_1<x_2$.

Wtedy $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=a·x_2-a·x_1=a·\left(x_2-x_1\right)$.

Z definicji wiemy, że $a>0$ oraz z założenia wiemy, że $x_1<x_2$,

zatem $a·\left(x_2-x_1\right)>0$, czyli

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd, wobec dowolności $x_1,x_2$ wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca.

dwie zmienne wielkości dodatnie, przy założeniu, że iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały

funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=ax$, gdzie $a>0$ na zbiorze ${\mathrm{ℝ}}_{+}$