4. Współczynniki funkcji liniowej - Funkcja liniowa i jej wykres

RWtiSkfV4UWnV

4. Współczynniki funkcji linowej

W fizyce często zachodzi potrzeba aproksymacji, czyli dopasowania danych pomiarowych. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów jest najprostszym przykładem takiej aproksymacji.

Na początek wyjaśnijmy na czym polega „aproksymacja danych pomiarowych zależnością liniową” lub „dopasowanie prostej” do danych doświadczalnych. Wyjaśnimy to na przykładzie pomiarów temperatury. Danymi, które będziemy analizować, czyli dopasowywać do nich prostą, są wartości średnich temperatur stycznia w latach: 1951 do 2019. Rozrzut między danymi jest bardzo duży od -12Indeks górny oC do prawie +4Indeks górny oC. Jak więc poprowadzić prostą przez takie dane?

RHOtEJ1LrmnaC

Rys. a. Na ilustracji widoczny jest wykres przedstawiający średnią temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza w styczniu w latach od tysiąc dziewięćset pięćdziesiątego roku do dwa tysiące dwudziestego roku. Na pionowej skali temperatury zaznaczono wartości od minus czternastu do sześciu stopni Celsjusza co dwa stopnie Celsjusza. Na poziomej osi lat znajdującej się u góry wykresu zaznaczono lata z krokiem co dziesięć lat. Na wykresie widoczne są niebieskie punkty pomiarowe połączone niebieskimi odcinkami. — Rys. a. Średnie temperatury stycznia w Polsce w latach 1951-2019.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Należy przeprowadzić taką prostą, która będzie przechodzić jak najbliżej wszystkich punktów na wykresie.

W ten sposób każdy punkt pomiarowy będzie miał wpływ na przebieg prostej, a wartość współczynnika kierunkowego $a$ powie nam, jaka była uśredniona tendencja. Jeśli wartość ta będzie dodatnia, będzie to oznaczało, że w analizowanym przedziale czasu średnie temperatury wzrosły, a jeśli ujemna, że zmalały.

Twoje cele

Przeanalizujesz położenie wykresu funkcji liniowej w układzie współrzędnych, w zależności od współczynników $a$ i $b$ .
Na podstawie wykresu funkcji liniowej ustalisz wartości współczynników funkcji.
Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Znaczenie współczynnika kierunkowego prostej we wzorze funkcji liniowej

Już wiesz

Funkcję określoną wzorem

$f (x) = a x + b$

gdzie:
$a, b \in ℝ$ , nazywamy funkcją liniową.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Współczynnik kierunkowy prostej i wyraz wolny

Definicja: Współczynnik kierunkowy prostej i wyraz wolny

Liczbę $a$ występującą we wzorze funkcji liniowej nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, liczbę $b$ wyrazem wolnym.

Przykład 1

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

$f (x) = 2 x - 1$

Ponieważ $f (0) = - 1$ oraz $f (1) = 1$ , zatem wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 1)$ i przechodzi przez punkt $(1, 1)$ .

RlFuG3vp0x0Zc1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do pięciu. W układzie narysowany jest wykres funkcji liniowej f(x) =2x -1. Zaznaczono punkty (0, -1) i (1, 1), przez które przechodzi wykres funkcji. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o $1$ odpowiadająca mu wartość funkcji $f$ zwiększa się o $2$ .

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $x_{1}$ . Wtedy

$f (x_{1}) = 2 x_{1} - 1$

a także

$f (x_{1} + 1) = 2 (x_{1} + 1) - 1 = 2 x_{1} + 2 - 1 = 2 x_{1} + 1$

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

$f (x_{1} + 1) - f (x_{1}) = 2 x_{1} + 1 - (2 x_{1} - 1) = 2 x_{1} + 1 - 2 x_{1} + 1 = 2$

Punkt $A$ jest dowolnym punktem należącym do wykresu funkcji $f$ . Aby znaleźć punkt $B$ , którego pierwsza współrzędna jest o $1$ większa od pierwszej współrzędnej punktu $A$ , przesuwamy się o $1$ jednostkę wzdłuż osi $X$ i o $2$ jednostki wzdłuż
osi $Y$ .

RBTDXwPyCxSF91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

$f (x) = - x + 1$

Ponieważ $f (0) = 1$ oraz $f (1) = 0$ , to wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ i przechodzi przez punkt $(1, 0)$ .

R12WbPZbUgJJy1

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o $1$ odpowiadająca mu wartość funkcji $f$ zmniejsza się o $1$ .

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $x_{1}$ . Wtedy

$f (x_{1}) = - x_{1} + 1$

a także

$f (x_{1} + 1) = - (x_{1} + 1) + 1 = - x_{1} - 1 + 1 = - x_{1}$

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

$f (x_{1} + 1) - f (x_{1}) = - x_{1} - (- x_{1} + 1) = - x_{1} + x_{1} - 1 = - 1$

RYbicJSbrZDh51

Przykład 3

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

$f (x) = - \frac{1}{2} x + 2$

Ponieważ $f (0) = 2$ oraz $f (2) = 1$ , to wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ i przechodzi przez punkt $(2, 1)$ .

R13TtUZE05Ts21

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o $1$ odpowiadająca mu wartość funkcji $f$ zmniejsza się o $\frac{1}{2}$ .

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $x_{1}$ . Wtedy

$f (x_{1}) = - \frac{1}{2} x_{1} + 2$

a także

$f (x_{1} + 1) = - \frac{1}{2} (x_{1} + 1) + 2 = - \frac{1}{2} x_{1} + 1 \frac{1}{2}$

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

$f (x_{1} + 1) - f (x_{1}) = - \frac{1}{2} x_{1} + 1 \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2} x_{1} + 2) =$

$= - \frac{1}{2} x_{1} + 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x_{1} - 2 = - \frac{1}{2}$

Wobec tego, wybierając dowolny punkt $A$ na wykresie funkcji $f$ , znajdziemy na wykresie inny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu $A$ o $1$ jednostkę wzdłuż osi $X$ i o $(- \frac{1}{2})$ jednostki wzdłuż osi $Y$ . Można też znaleźć kolejny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu $A$ o $2$ jednostki wzdłuż osi $X$ i o $(- 1)$ jednostkę wzdłuż osi $Y$ .

Rcbfu36wRtW4Y1

Twierdzenie o współczynniku kierunkowym prostej

Twierdzenie: Twierdzenie o współczynniku kierunkowym prostej

Współczynnik kierunkowy prostej będącej wykresem funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ przechodzącej przez różne punkty $A$ i $B$ , o współrzędnych $(x_{A}, y_{A})$ i $(x_{B}, y_{B})$ .

wyraża się wzorem:

$a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$

Dowód

Zauważmy, że $y_{A} - a x_{A} = b$ , a także $y_{B} - a x_{B} = b$ , więc $y_{B} - a x_{B} = y_{A} - a x_{A}$ , skąd $y_{B} - y_{A} = a x_{B} - a x_{A}$ .

Zatem $a (x_{B} - x_{A}) = y_{B} - y_{A}$ .

Ponieważ punkty $A$ i $B$ są różne i leżą na wykresie funkcji, więc $x_{A} \neq x_{B}$ , stąd $x_{B} - x_{A} \neq 0$ .

Wobec tego

$a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$

jest ilorazem różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów, co należało wykazać.

Patrząc na dwa różne punkty $A$ i $B$ , leżące na wykresie funkcji

$f (x) = a x + b$

interpretujemy współczynnik kierunkowy $a$ jako iloraz wartości przesunięcia $y_{B} - y_{A}$ wzdłuż osi $Y$ do odpowiadającej mu wartości przesunięcia $x_{B} - x_{A}$ wzdłuż osi $X$ .

Rj4zDTvVdkssC1

Przykład 4

Na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą punkty $A = (3, 11)$ i $B = (- 2, - 4)$ . Ponieważ

$x_{B} - x_{A} = - 2 - 3 = - 5$

$y_{B} - y_{A} = - 4 - 11 = - 15$

więc współczynnik kierunkowy $a$ tej funkcji jest równy

$a = \frac{- 15}{- 5} = 3$

Liczba $a = 3$ oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji $f$ o jedną jednostkę odpowiada wzrost wartości o $3$ jednostki.

Przykład 5

Na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą punkty $A = (- 2, 1)$ i $B = (- 3, 5)$ . Ponieważ

$x_{B} - x_{A} = - 3 - (- 2) = - 1$

$y_{B} - y_{A} = 5 - 1 = 4$

zatem współczynnik kierunkowy $a$ tej funkcji jest równy

$a = \frac{4}{- 1} = - 4$

Liczba $a = - 4$ oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji $f$ o jedną jednostkę odpowiada zmniejszenie wartości funkcji o $4$ jednostki.

Znaczenie współczynnika b we wzorze funkcji liniowej

Wartość współczynnika $b$ decyduje o:

1. współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a x + b$ z osią $Y$ układu współrzędnych.

Do wyznaczenia współrzędnych przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią rzędnych układu współrzędnych należy do wzoru funkcji podstawić w miejsce $x$ liczbę $0$ .

Zatem $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ .

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ z osią $Y$ układu współrzędnych ma współrzędne $(0, b)$ .

RUZ9xPw87o8Ou

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X i pionową Y. Zaznaczono prostą malejącą f przecinającą oś Y w wartości dodatniej.

2. przesunięciu wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x$ w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , to:

dla $b > 0$ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x$ należy przesunąć o $b$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$ ,
dla $b < 0$ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x$ należy przesunąć o $b$ jednostek w dół wzdłuż osi $Y$ .

Na rysunkach przedstawiono wykresy różnych funkcji liniowych po przesunięciu o $b$ jednostek w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

R1O26lzU2H2OF1

Ilustracja przedstawia cztery układy współrzędnych z osiami X i Y. W pierwszym zaznaczono prosta malejącą znajdującą się w pierwszej drugiej oraz czwartej ćwiartce. W drugim zaznaczono prostą rosnącą w pierwszej drugiej i trzeciej ćwiartce. W trzecim układzie przechodzi prosta rosnąca przez pierwszą trzecią i czwartą ćwiartkę. W czwartym układzie prosta malejąca przechodzi przez drugą trzecią i czwartą ćwiartkę.

3. wartości miejsca zerowego funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ .

Miejsce zerowemiejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ :

jeżeli $a = 0$ i $b = 0$ , to funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych,
jeżeli $a = 0$ i $b \neq 0$ , to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych,
jeżeli $a \neq 0$ , to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru: $x_{0} = - \frac{b}{a}$ .

Ważne!

Jeżeli $b = 0$ , to do wykresu każdej funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ należy punkt o współrzędnych $(0, 0)$ .

Przykład 6

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_{1} (x) = - 3 x + 3$ , $f_{2} (x) = 2 x - 3$ , $f_{3} (x) = - x - 3$ , $f_{4} (x) = - \frac{1}{2} x - 3$ , $f_{5} (x) = \sqrt{2} x + 3$ , $f_{6} (x) = - \sqrt{5} x + 3$ .

Podamy wzory funkcji, których wykresy przecinają oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ .

Rozwiązanie:

Wzory funkcji, których wykresy przecinają oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ to: $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ .

Przykład 7

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x + b$ należy punkt o współrzędnych $(9, - 2)$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią rzędnych układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt o współrzędnych $(9, - 2)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x + b$ , to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$- 2 = - \frac{1}{3} \cdot 9 + b$ .

Wobec tego $b = 1$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 1)$ .

Przykład 8

Wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x$ przesunięto o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych. Wyznaczymy pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji $f$ po przesunięciu o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych zapisujemy w postaci $g (x) = - \frac{1}{3} x + 3$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RhcHGYQ0gnlY6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus jeden do dziesięciu oraz osią pionową od minus trzech do pięciu. Zaznaczono prostą malejącą mającą wyraz wolny równy trzy oraz miejsce zerowe równe dziewięć.

Otrzymaną figurą jest trójkąt prostokątny. Pole tego trójkąta obliczymy ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .

Z rysunku odczytujemy, że $a = 9$ i $h = 3$ , zatem:

$P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = \frac{27}{2}$ .

Przykład 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x + b$ . Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ .

RUySStzMJGXM2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus pięciu do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono prostą malejącą przechodzącą przez dwa punkty. -5;3 oraz 4;-3

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $(- 5, 3)$ oraz $(4, - 3)$ .

Niech $f (x) = a x + b$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 3 = a \cdot (- 5) + b \\ - 3 = a \cdot 4 + b \end{cases}$ .

Zatem $a = - \frac{2}{3}$ oraz $b = - \frac{1}{3}$ .

Wobec tego punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - \frac{1}{3})$ .

Przykład 10

Wykres funkcji liniowej przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej równej $3$ , a do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 2, 1)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Niech $f (x) = a x + b$ .

Ponieważ wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej równej $3$ , to $b = 3$ .

Zatem funkcja wyraża się wzorem $f (x) = a x + 3$ .

Jeżeli do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 2, 1)$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1 = a \cdot (- 2) + 3$ , zatem $a = 1$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = x + 3$ .

Przykład 11

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ wykres funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{2}{3} x + (3 m - 1)$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 2)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 2)$ oraz $b = 3 m - 1$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$3 m - 1 = - 2$ , wobec tego $m = - \frac{1}{3}$ .

Przykład 12

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = \frac{3}{8} m - \frac{1}{2}$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie:

Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $a = 0$ oraz $b = \frac{3}{8} m - \frac{1}{2}$ .

Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych, gdy $b \neq 0$ .

Zatem $\frac{3}{8} m - \frac{1}{2} \neq 0$ , czyli $m \neq \frac{4}{3}$ .

Wpływ obu współczynników na położenie wykresu funkcji liniowej

Omówimy położenie w układzie współrzędnych prostej, która jest wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $y = a x + b$ , w zależności od wartości obu współczynników $a$ i $b$ .

RUeAbR5w52gns

Symulacje interaktywne

Zapoznaj się z informacjami przedstawionymi w poniższym aplecie.

RvBq3CUz4rEft1

Zapoznaj się z wiadomościami zawartymi poniżej.

Każda prosta ma wzór ogólny $y = a x + b$ . Parametr $a$ w tym wzorze to jej współczynnik kierunkowy i odpowiada on za nachylenie prostej do osi $X$ . Współczynnik $b$ odpowiada za przesunięcie prostej wzdłuż osi $Y$ . Wybierając różne parametry funkcji możemy wpływać na jej wygląd. Rozważmy dwa przykłady:

Dla parametrów $a = 2$ i $b = - 1$ wzór prostej to $y = 2 x - 1$ . Jest to prosta, która przechodzi przez pierwszą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych, przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 1)$ , a oś $X$ w punkcie $(\frac{1}{2}, 0)$ .
Dla parametrów $a = - 1$ i $b = 2$ wzór prostej to $y = - x + 2$ . Jest to prosta, która przechodzi przez pierwszą, drugą i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych, przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ , a oś $X$ w punkcie $(2, 0)$ .

Z poniższego wzoru możemy obliczyć współczynnik kierunkowy prostej, jeżeli znamy dwa punkty, przez jakie ona przechodzi.

$a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$

Rozważmy prostą, która przechodzi przez punkty $(0, 2)$ i $(2, 0)$ . Zgodnie ze wzorem, jej współczynnik kierunkowy wynosi $a = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{- 2}{2} = - 1$ , co pokrywa się z danymi z drugiego przykładu.

Uruchom aplet przedstawiający wykres funkcji liniowej. Określ położenie prostej, będącej wykresem funkcji, w zależności od wybranych wartości współczynników $a$ i $b$ .

RSLPZ83P974DO

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji o wzorze w postaci ogólnej $f (x) = a x + b$ . Za pomocą suwaków można ustawić wartość parametru $a$ oraz parametru $b$ , w każdym przypadku od minus pięciu do pięciu co jedną dziesiątą. Podamy cztery przykłady wykresów funkcji o różnych wartościach obu parametrów.

Dla $a = - 4$ oraz $b = - 5$ funkcja przyjmuje postać $y = - 4 x - 5$ .
Wykresem tej funkcji jest prosta przebiegająca między innymi przez punkty $(- 2; 3)$ oraz $(0; - 5)$ . Wykres znajduje się w drugiej, trzeciej i w czwartej ćwiartce.
Dla $a = 0$ oraz $b = 0, 3$ funkcja przyjmuje postać $y = 0, 3$ .
Wykresem tej funkcji jest pozioma prosta przebiegająca między innymi przez punkt $(0; 0, 3)$ . Wykres znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce.
Dla $a = 2$ oraz $b = 1$ funkcja przyjmuje postać $y = 2 x + 1$ .
Wykresem tej funkcji jest ukośna prosta przebiegająca między innymi przez punkty $(- \frac{1}{2}; 0)$ oraz $(0; 1)$ . Wykres znajduje się w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce.
Dla $a = - \frac{1}{2}$ oraz $b = 0$ funkcja przyjmuje postać $y = - \frac{1}{2} x$ .
Wykresem tej funkcji jest prosta przebiegająca między innymi przez punkty $(- 1; \frac{1}{2})$ oraz $(2; - 1)$ . Wykres znajduje się w drugiej i w czwartej ćwiartce.

Polecenie 1

Określ, w których ćwiartkach prostokątnego układu współrzędnych znajdują się wykresy danych funkcji.

$y = 3 x - 2$ ,
$y = - x - 4$ ,
$y = - 6$ ,
$y = 2 x + 1$ ,
$y = 3$ ,
$y = - x + 2$ .

Wykresy tych funkcji znajdują się w następujących ćwiartkach prostokątnego układu współrzędnych:

w $I$ , $III$ i $IV$ ,
w $II$ , $III$ i $IV$ ,
w $III$ i $IV$ ,
w $I$ , $II$ i $III$ ,
w $I$ i $II$ ,
w $I$ , $II$ i $IV$ .

Polecenie 2

Podaj wzór funkcji linowej $f (x) = a x + b$ , jeżeli $a = - \frac{1}{2}$ oraz wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych:

a) $(0, - 1)$

b) $(0, 3)$

Wykorzystaj aplet z polecenia 2. Ustaw odpowiednią wartość współczynnika kierunkowego i tak zmieniaj parametr b, aż wykres przetnie oś $Y$ w odpowiednim punkcie. Odczytaj wzór.

a) $f (x) = - \frac{1}{2} x - 1$

b) $f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a x + b$ .

R18DtH2HMGwBy11

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych z pionową osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Zaznaczono na nim wykres funkcji liniowej, który przechodzi przez punkty -3,2 oraz -1,-1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14OiEHxGUPBW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Wartość tej funkcji dla argumentu $x = 0$ jest wyrazem wolnym tej funkcji (można go odczytać bezpośrednio z wykresu, jest to punkt przecięcia wykresu z osią $Y$ ).

Ćwiczenie 2

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $y = a x + b$ .

RAs2fqZsMzG881

R1BQWMsMmJ4r8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Ćwiczenie 3

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ .

RADVgcYY1BNRC1

RYcabApnGHazz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to wykres funkcji przetnie oś $Y$ nad osią $X$ , a jeżeli jest ujemny, to przetnie oś $Y$ pod osią $X$ .

Ćwiczenie 4

R1LEMjj0gKQcb1

Rx4EnYenMwp1Q

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest ujemny, to funkcja jest malejąca.
Wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to wykres funkcji przetnie oś $Y$ nad osią $X$ , a jeżeli jest ujemny, to przetnie oś $Y$ pod osią $X$ .
Wartość tej funkcji dla argumentu $x = 0$ jest wyrazem wolnym tej funkcji (można go odczytać bezpośrednio z wykresu, jest to punkt przecięcia wykresu z osią $Y$ ).

Ćwiczenie 5

R1TlDmllTB7Io2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Reg5kFK1GL0zG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to wykres funkcji przetnie oś $Y$ nad osią $X$ , a jeżeli jest ujemny, to przetnie oś $Y$ pod osią $X$ .

Ćwiczenie 6

Rh69sbUrnxhHO2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Ćwiczenie 7

RC6spIOStK1jL2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R1E3XbYkOmTTT

Zauważ, że ze wzoru funkcji wynika , że $b = 3 m - 1$ . Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie.

Ćwiczenie 9

R9SCVqdWwyhYs2

Połącz w pary wzór funkcji liniowej ze współrzędnymi punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią Y: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 10

RotNNRYW4JPhE3

Ćwiczenie 11

R6wEozyqTBZLG

Ćwiczenie 12

Rk7C1CUTFQ81D

Ćwiczenie 13

Wyznacz, dla jakiej wartości parametru $m$ wykres funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - 2 x + (\frac{3}{5} m - 1)$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, \frac{3}{4})$ .

Odczytaj ze wzoru wyrażenie będące współczynnikiem $b$ .

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $b = \frac{3}{5} m - 1$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{3}{5} m - 1 = \frac{3}{4}$ .

Wobec tego $m = \frac{35}{12}$ .

Słownik

funkcja liniowa

funkcja określona wzorem $f (x) = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ , pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

współczynnik kierunkowy prostej

liczba rzeczywista $a$ występująca we wzorze funkcji liniowej $f (x) = a x + b$

Funkcja liniowa

Definicja: Funkcja liniowa

Funkcję $f$ zmiennej $x$ określoną wzorem

$f (x) = a x + b$

gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją liniową.

Wykresem funkcji liniowej

$f (x) = a x + b$

jest prosta o równaniu $y = a x + b$ . Prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu $y = a x$ oraz przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, b)$ .

3. Definicja i wykres funkcji liniowej

5. Równoległość i prostopadłość wykresów funkcji liniowych

4. Współczynniki funkcji linowej

Znaczenie współczynnika kierunkowego prostej we wzorze funkcji liniowej

Znaczenie współczynnika b we wzorze funkcji liniowej

Wpływ obu współczynników na położenie wykresu funkcji liniowej

Symulacje interaktywne

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik