5. Równoległość i prostopadłość wykresów funkcji liniowych

RoLjjS6rnA1aM

RvCfW6E5haSCX11

Obraz przedstawia symetryczne, prostokątne plamy koloru, ułożone równolegle oraz prostopadle do siebie. Większą jego część zajmują trzy pionowe pasy – szeroki zgniłozielony, wąski – ciemnopomarańczowy oraz szeroki – niebiesko‑zielony. Następnie pod spodem umieszczono poziome pasy – wąski kremowy, nieco szerszy – pomarańczowy, wąski – różowy oraz najszerszy z nich – turkusowy. — Źródło: Jack Bush, *Big A*, Olej na płótnie, Narodowa Galeria Kanady, Ottawa, dostępny w internecie: https://totallyhistory.com/jack-bush-paintings/big-a-1968-by-jack-bush/ [dostęp 7.06.2022], Materiał wykorzystany na podstawie art. 29 ustawy o prawie autorskim i prawach pokrewnych (prawo cytatu).

Z pojęciami równoległości i prostopadłości spotykamy się nie tylko w naukach przyrodniczych. Omawiając lektury możemy spotkać się z równoległymi światami lub równolegle toczącymi się wątkami. Możemy zdobywać umiejętności parkowania równoległego i prostopadłego lub używać tych pojęć do opisu dzieła sztuki.

W materiale omówimy warunki równoległości i prostopadłości prostych, które są wykresami funkcji liniowych. Opierając się na wiedzy teoretycznej oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Określisz warunek, jaki muszą spełniać wzory funkcji liniowych, aby proste, będące wykresami tych funkcji były równoległe.
Określisz warunek, jaki muszą spełniać wzory funkcji liniowych, aby proste, będące wykresami tych funkcji były prostopadłe.
Wskażesz na podstawie wzorów funkcji liniowych te, których wykresy są prostymi prostopadłymi/równoległymi.
Wyznaczysz wartości parametrów we wzorach funkcji liniowych, dla których proste, będące wykresami tych funkcji są równoległe/prostopadłe.
Zastosujesz warunki równoległości lub prostopadłości prostych, będących wykresami funkcji liniowych do rozwiązywania problemów matematycznych.

Równoległość prostych, będących wykresami funkcji liniowych

równoległość prostych, będących wykresami funkcji liniowych

Twierdzenie: równoległość prostych, będących wykresami funkcji liniowych

Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f (x) = a_{1} x + b_{1}$ oraz $f (x) = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe, gdy zachodzi warunek:

a_{1} = a_{2}

Powyższe twierdzenie jest równoważne temu, że proste opisane równaniami $y_{1} = a_{1} \cdot x + b_{1}$ oraz $y_{2} = a_{2} \cdot x + b_{2}$ , będące wykresami funkcji liniowych, są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy $a$ .

R1BDnZqt0UAtU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X i pionową osią Y. Zaznaczono na nim dwie proste równoległe y indeks dolny 1 koniec indeksu i y indeks dolny 2 koniec indeksu.

Zauważ, że przesuwając równolegle wzdłuż osi $Y$ prostą będącą wykresem funkcji $f (x) = a x$ otrzymamy równoległe do niej wykresy funkcji liniowych o tych samych współczynnikach kierunkowych $a$ , a różniących się wyrazem wolnym $b$ .

Ważne!

Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f_{1} (x) = b_{1}$ oraz $f_{2} (x) = b_{2}$ , gdzie $b_{1}, b_{2} \in ℝ$ są zawsze prostymi równoległymiproste równoległeprostymi równoległymi.

R19rg1STit13f

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X i pionową osią Y. Zaznaczono dwie proste równoległe do siebie oraz do osi X b indeks dolny 1 koniec indeksu oraz b indeks dolny dwa koniec indeksu.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono proste równoległe, będące wykresami funkcji liniowych. Wyznaczymy wzory tych funkcji.

RpdVotlLc0MH6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 3 do siedmiu i pionową osią Y od minus 4 do trzech. Zaznaczono dwie proste równoległe do siebie. Prosta f przecina oś X w punkcie 5 oraz ma wyraz wolny równy jeden. Prosta g ma wyraz wolny równy minus dwa.

Rozwiązanie

Niech $f (x) = a x + b$ .

Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $(5, 0)$ i $(0, 1)$ , zatem do wyznaczenia wartości współczynników $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 0 = a \cdot 5 + b \\ 1 = a \cdot 0 + b \end{cases}$ .

Wobec tego $a = - \frac{1}{5}$ oraz $b = 1$ . Funkcja

$g$ jest określona wzorem $f (x) = - \frac{1}{5} x + 1$ .

Niech $g (x) = a x + b_{1}$ .

Proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są równoległe, zatem $a = - \frac{1}{5}$ .

Wykres funkcji $g$ przecina oś rzędnych w punkcie $(0, - 2)$ , zatem $b_{1} = - 2$ .

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g (x) = - \frac{1}{5} x - 2$ .

Przykład 2

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_{1} (x) = 0, 4 x - 2$ , $f_{2} (x) = - \sqrt{2} x - 2$ , $f_{3} (x) = - \frac{2}{\sqrt{2}} x + 3$ , $f_{4} (x) = - x$ , $f_{5} (x) = - x + 8$ , $f_{6} (x) = \frac{2}{5} x - 3$ .

Wypiszemy pary wzorów funkcji liniowych, których wykresy są prostymi równoległymi.

Rozwiązanie

Pary wzorów funkcji liniowych, których wykresy są prostymi równoległymi: $f_{1}$ i $f_{6}$ , $f_{2}$ i $f_{3}$ , $f_{4}$ i $f_{5}$ .

Przykład 3

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji liniowych zadanych wzorami $f (x) = (3 m - 2) x + 5$ oraz $g (x) = (- m + 3) x + 1$ są równoległe.

Rozwiązanie

Proste, będące wykresami funkcji liniowych są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe $a$ we wzorach tych funkcji są takie same.

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$3 m - 2 = - m + 3$ , wobec tego $m = \frac{5}{4}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $g$ , jeżeli prosta, będąca wykresem tej funkcji jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{4} x - 1$ oraz do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $(1, \frac{2}{3})$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy funkcję $g$ wzorem $g (x) = a x + b$ .

Ponieważ proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są równoległe, zatem $a = \frac{1}{4}$ .

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g (x) = \frac{1}{4} x + b$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(1, \frac{2}{3})$ należy do wykresu funkcji $g$ , zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{2}{3} = \frac{1}{4} \cdot 1 + b$ , wobec tego $b = \frac{5}{12}$ .

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g (x) = \frac{1}{4} x + \frac{5}{12}$ .

Prostopadłość prostych będących wykresami funkcji liniowych

Przykład 5

Znajdziemy prostą prostopadłą do prostej o równaniu $y = \frac{1}{3} x$ .

Rozwiązanie

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o wierzchołkach:
$O = (0, 0)$ , $B = (3, 0)$ oraz $C = (3, 1)$ .
Jego przeciwprostokątna $O C$ leży na prostej o równaniu $y = \frac{1}{3} x$ .

RLAXxcaHmA6aR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=13x. Prosta przechodzi przez punkt O o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i punkt C o współrzędnych nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Z punktu C poprowadzono odcinek do punktu B o współrzędnych nawias trzy średnik zero zamkniecie nawiasu. Punkty O C oraz B wyznaczają trójkąt.

Obróćmy ten trójkąt o $90 °$ wokół punktu $O$ , w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Otrzymamy trójkąt $O B' C'$ jak na rysunku poniżej.

R1DE9IvuI8IeX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste, pierwsza z nich o równaniu y=13x. Prosta przechodzi przez punkt O o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i punkt C o współrzędnych nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Z punktu C poprowadzono odcinek do punktu B o współrzędnych nawias trzy średnik zero zamkniecie nawiasu. Punkty O C oraz B wyznaczają trójkąt. Druga ma równanie y=-3x i również przechodzi przez punkt O, przechodzi ona również przez punkt C' o współrzędnych nawias minus jeden średnik trzy zamkniecie nawiasu. Z punktu C' poprowadzono odcinek do punktu B' , którego współrzędne to nawias zero średnik trzy zamkniecie nawiasu. Punkty O C' oraz B' również tworzą trójkąt. Od trójkąta O C B do trójkąta O C' B' poprowadzono strzałkę.

Zauważmy, że ponieważ prosta $O C'$ przechodzi przez punkt $O = (0, 0)$ , więc jej równanie można zapisać w postaci $y = a x$ .
Ponadto rozważana prosta przechodzi przez punkt $C' = (- 1, 3)$ , a to oznacza, że $a \cdot (- 1) = 3$ , skąd $a = - 3$ .

Ponieważ proste $O C$ i $O C'$ są prostopadłe, więc prosta prostopadła do prostej $y = \frac{1}{3} x$ i przechodząca przez punkt $(0, 0)$ ma równanie $y = - 3 x$ .

prostopadłość wykresów funkcji liniowych

Twierdzenie: prostopadłość wykresów funkcji liniowych

Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f (x) = a_{1} x + b_{1}$ oraz $g (x) = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe, gdy zachodzi warunek:

$a_{1} \cdot a_{2} = - 1$

R1IFIfPEfY0HX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X i pionową Y. Zaznaczono dwie proste przecinające się w pierwszej ćwiartce pod kątem prostym.

Ważne!

Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f_{1} (x) = b_{1}$ oraz $f_{2} (x) = b_{2}$ , gdzie $b_{1}, b_{2} \in ℝ$ , są zawsze prostopadłe do osi $Y$ układu współrzędnych.

R8Z3mOEnIHF1U

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X od minus pięciu do pięciu i pionową Y od minus dwóch do sześciu . Zaznaczono dwie proste równoległe znajdujące się w pierwszej i drugiej ćwiartce.

Nie istnieje funkcja liniowa, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej, będącej wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = b$ , gdzie $b \in ℝ$ .

Przykład 6

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_{1} (x) = \frac{3}{5} x - 2$ , $f_{2} (x) = \frac{1}{3} x + 1$ , $f_{3} (x) = \frac{2}{9} x - 3$ , $f_{4} (x) = - 4, 5 x + 1$ , $f_{5} (x) = - 3 x + 1$ , $f_{6} (x) = - \frac{5}{3} x + 2$ .

Wypiszemy pary funkcji liniowych, których wykresy są prostymi prostopadłymi.

Rozwiązanie:

Funkcje liniowe, których wykresy są prostymi prostopadłymi: $f_{1}$ i $f_{6}$ , $f_{2}$ i $f_{5}$ , $f_{3}$ i $f_{4}$ .

Przykład 7

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $g$ , której wykres jest prostą prostopadłą do prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = - 3 x - 1$ , a do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $(1, - 3)$ .

Rozwiązanie:

Określimy funkcję $g$ wzorem $g (x) = a x + b$ .

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $g$ jest prostopadła do prostej, będącej wykresem funkcji $f$ , to $a = \frac{1}{3}$ .

Wzór funkcji $g$ zapisujemy w postaci $g (x) = \frac{1}{3} x + b$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(1, - 3)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$- 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 + b$ , wobec tego $b = - \frac{10}{3}$ .

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g (x) = \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ .

Przykład 8

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji określonych wzorami $f (x) = - 2 x + 4$ oraz $g (x) = (\frac{1}{2} m + 3) x - 1$ są prostopadłe.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste, będące wykresami funkcji liniowych to proste prostopadłe, gdy współczynniki $a$ w ich wzorach są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi:

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2} m + 3 = \frac{1}{2}$ , wobec tego $m = - 5$ .

Przykład 9

Wykażemy, że jeśli proste, będące wykresami funkcji liniowych $f$ i $g$ określonych wzorami $f (x) = a x$ oraz $g (x) = - a x$ są prostymi prostopadłymi, to $a = 1$ lub $a = - 1$ .

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste, które są wykresami funkcji liniowych, są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są liczbami, których iloczyn jest równy -1.

Zauważmy, że współczynniki liniowe prostych będących wykresami funkcji liniowych $f$ i $g$ wynoszą odpowiednio: $a$ oraz $- a$ .

Z warunku prostopadłości tych prostych układamy i rozwiązujemy równanie:

$a \cdot (- a) = - 1$

$a^{2} = 1$

Zatem $a = 1$ lub $a = - 1$ .

Symulacje interaktywne

Uruchom aplet, a następnie zmieniaj wartości współczynników we wzorze funkcji liniowej i obserwuj położenie prostych, które są wykresami tych funkcji.

R1FtoKI5OtTlE

Polecenie 1

Dane są wzory funkcji liniowych $f$ i $g$ . Wstaw takie liczby, aby proste, będące wykresami tych funkcji były równoległe.

Rs2fRFoMnaGBQ

Zapoznaj się z apletem przedstawiającym prostopadłe wykresy funkcji liniowych. Czy dla każdego z wykresów funkcji można znaleźć wykres, który będzie do niego prostopadły?

RQo7woTgGKuZg

Polecenie 2

Dane są wzory funkcji liniowych $f$ i $g$ . Wstaw takie liczby, aby proste, które są wykresami tych funkcji były prostopadłe.

RaZ186sdmT0y1

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

ROEi34HRpuwz1

Ćwiczenie 2

RaAkdJa94uUEo1

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Pary wzorów funkcji, których wykresy są równoległe: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, dwa i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero przecinek sześć x, plus, jeden i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, minus, dwa, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec ułamka, x, plus, trzy, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, x, plus, trzy i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, trzy, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x Pary wzorów funkcji, których wykresy nie są równoległe: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, plus, dwa i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero przecinek sześć x, plus, jeden i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, minus, dwa, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jeden, koniec ułamka, x, plus, trzy, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, x, plus, trzy i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, trzy, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy i g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x

Ćwiczenie 3

R1TtgzsWytBbN

Połącz w pary wzory funkcji linowych, których wykresy są prostopadłe. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, minus, trzy f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, minus, trzy f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, minus, trzy f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero przecinek osiem x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, minus, trzy

Ćwiczenie 4

RTePY8NX00ehY1

Zauważ, że wykres funkcji $g (x)$ jest równoległy do osi odciętych. Zastanów się, czy istnieje funkcja liniowa, której wykres jest do tej osi prostopadły.

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawną odpowiedź.

R1OOF9H9SMRZ1

Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

Zapoznaj się z poniższym opisem rysunku. Na podstawie informacji w nim zawartych wybierz zdania opisujące obie funkcje i proste je reprezentujące.

R1CyZRgkH4ZmH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne proste. Prosta ilustrująca funkcję f przebiega między innymi przez punkty o współrzędnych -2, 1 oraz 0, -3. Prosta ilustrująca funkcję g przebiega między innymi przez punkty o współrzędnych 0, 1 oraz 2, -3.

RwmHOF6nJRXDc

Ćwiczenie 7

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

RwhuICa6pwxDM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 4 do sześciu. Na ilustracji zaznaczono prostą f przechodzącą przez punkty: 2;5 oraz 0;-3. Zaznaczono również prostą g przechodzącą przez punkty: -4;0 oraz 4;-2. Proste przecinają się w czwartej ćwiartce.

R7QVLDM6UEPU9

Ćwiczenie 8

Rr7VAFdO4mqni

Połącz w pary wzory funkcji liniowych, których wykresy są równoległe. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy przecinek pięć x, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, koniec ułamka, x, minus, trzy, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, minus, pięć f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero przecinek jeden dwa pięć x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, koniec ułamka, x, minus, trzy, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, minus, pięć f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, koniec ułamka, x, minus, trzy, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, minus, pięć f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, koniec ułamka, x, minus, trzy, 4. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, minus, pięć

Ćwiczenie 9

RALsFQQEdCkbf2

Ćwiczenie 10

R3jbvnbM1SLZC2

Ćwiczenie 11

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R1HTrNNVObXYh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 5 do pięciu oraz z pionową osią Y od minus 4 do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne proste. Prosta reprezentująca funkcję f przebiega między innymi przez punkty o współrzędnych -1, -2 oraz 0, 2. Prosta reprezentująca funkcję g przebiega między innymi przez punkty o współrzędnych 0, -1 oraz 1, 3.

RVkXEkpktexPy

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono proste prostopadłe, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f (x) = a_{1} x + b_{1}$ oraz $g (x) = a_{2} x + b_{2}$ . Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

RAE6Y6tGWgkCP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową od minus 5 do sześciu. Zaznaczono proste przecinające się w trzeciej ćwiartce pod kątem prostym.

RJOrwOD2AVVjk

Ćwiczenie 13

Wyznacz wzór funkcji liniowej $g$ , jeżeli wiadomo, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(2, - 1)$ oraz prosta, będąca wykresem tej funkcji jest prostopadła do prostej będącej wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - 5 x + 4$ .

Pamiętaj, że funkcja liniowa wyraża się wzorem $g (x) = a x + b$ . Zacznij od wyznaczenia współczynnika kierunkowego szukanej prostej. Następnie wykorzystaj fakt, że wykres poszukiwanej funkcji przechodzi przez podany punkt.

Funkcja liniowa wyraża się wzorem $g (x) = a x + b$ .

Ponieważ prosta, będąca wykresem tej funkcji jest prostopadła do prostej będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = - 5 x + 4$ , to $a = \frac{1}{5}$ ,

zatem wzór tej funkcji zapisujemy w postaci $g (x) = \frac{1}{5} x + b$ .

Ponieważ do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $(2, - 1)$ , to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$- 1 = \frac{1}{5} \cdot 2 + b$ , zatem $b = - \frac{7}{5}$ .

Wobec tego funkcja $g$ wyraża się wzorem $g (x) = \frac{1}{5} x - \frac{7}{5}$ .

Ćwiczenie 14

Wyznacz wzór funkcji liniowej $g$ , jeżeli wiadomo, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ oraz prosta, będąca wykresem tej funkcji jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - 3 x + 2$ .

Funkcja liniowa wyraża się wzorem $g (x) = a x + b$ .

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $g$ jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = - 3 x + 2$ , to $a = - 3$ .

Zatem wzór tej funkcji zapisujemy w postaci $g (x) = - 3 x + b$ .

Ponieważ do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ , to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$- 4 = - 3 \cdot 3 + b$ , zatem $b = 5$ .

Wobec tego funkcja $g$ wyraża się wzorem $g (x) = - 3 x + 5$ .

Ćwiczenie 15

Określ, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji liniowych zadanych wzorami $f (x) = (- \frac{1}{5} m + 2) x + 1$ oraz $g (x) = - 5 x + 1$ są prostopadłe.

Proste, będące wykresami funkcji liniowych są prostopadłe, gdy iloczyn wartości współczynników kierunkowych we wzorach tych funkcji wynosi -1.

Wobec tego, do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$- \frac{1}{5} m + 2 = \frac{1}{5}$ .

Po przekształceniu równanie sprowadza się do równania $- m + 10 = 1$ , zatem $m = 9$ .

Ćwiczenie 16

Określ, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji liniowych zadanych wzorami $f (x) = (\frac{1}{3} m - \frac{1}{9}) x + 3$ oraz $g (x) = (- m - \frac{1}{3}) x + 2$ są równoległe.

Proste, będące wykresami funkcji liniowych są równoległe, gdy wartości współczynników kierunkowych we wzorach tych funkcji są takie same.

Wobec tego do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{3} m - \frac{1}{9} = - m - \frac{1}{3}$ .

Po przekształceniu równanie sprowadza się do równania $3 m - 1 = - 9 m - 3$ , zatem $m = - \frac{1}{6}$ .

Słownik

proste prostopadłe

wykresy funkcji liniowych, określonych wzorami, w których współczynniki kierunkowe są liczbami, których iloczyn jest równy -1

proste równoległe

wykresy funkcji liniowych o takim samym współczynniku kierunkowym

4. Współczynniki funkcji liniowej

Funkcja liniowa i jej wykres