• Podasz wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej własnościach.

• Naszkicujesz wykres funkcji liniowej na podstawie informacji o jej własnościach.

• Wykorzystasz wykresy funkcji liniowej do rozwiązywania zadań.

• Wykorzystasz własności funkcji liniowej do rozwiązywania zadań.

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $P=\left(2,10\right)$ i jest równoległy do wykresu funkcji $y=3x+1$.

Rozwiązanie:

Jeżeli proste $y=ax+b$ i $y=cx+d$ są równoległe, to $a=c$.

Prosta $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $y=3x+1$, więc $a=3$.

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $y=3x+b$.

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P=\left(2,10\right)$, to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie $y=3x+b$.

$y=3x+b$

$10=3\cdot 2+b$

$10=6+b$

$b=10-6=4$

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej: $y=3x+4$.

Znajdź wzór funkcji liniowej $y=ax+b$, której wykres przechodzi przez punkt $P=\left(a,4\right)$ i która przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(0,+\infty \right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$.

Rozwiązanie:

Funkcja $y=ax+b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(0,+\infty \right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$, oznacza to, że $x=0$ jest miejscem zerowym tej funkcji i jest to funkcja rosnąca $\left(a>0\right)$.

RQqjgy27Zf42I

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz pionową osią Y od minus 1 do czterech. Zaznaczono na nim rosnący wykres funkcji liniowej, przecinający osie w początku układu współrzędnych. A większe od zera.

$y<0$ dla $x\in \left(-\infty ,0\right)$ i $y>0$ dla $x\in \left(0,\infty \right)$.

$x_0=0$, więc $y_0=f\left(0\right)=0$, czyli $0=a\cdot 0+b$, stąd $b=0$.

Punkt $P=\left(a,4\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y=ax+b$, więc otrzymujemy $4=a\cdot a+b$.

$b=0$, stąd otrzymujemy równanie $a^2=4$. Rozwiązaniem równania $a^2=4$ są liczby: $2$ i $-2$.

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(0,+\infty \right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$, funkcja jest rosnąca czyli $a>0$, stąd $a=2$.

$a=2$,  $b=0$

Odpowiedź:

Wzór funkcji: $y=2x$.

Narysujemy wykres funkcji liniowej mając dane jej miejsce zerowe $x_0=-\frac{1}{2}$ i punkt $B=\left(0,-2\right)$, przez który przechodzi wykres tej funkcji.

Z treści zadania wynika, że mamy podane punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych: $A=\left(-\frac{1}{2},0\right)$ i $B=\left(0,-2\right)$.

R1Y22tXVwoLMw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową osią Y od minus 2 do dwóch. Zaznaczono na nim prostą rosnącą o punktach o współrzędnych A Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową Y od minus 1 do pięciu. Zaznaczono prostą rosnącą. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych w punkcie A, oraz ma zaznaczony punkt B o współrzędnych $\left(1;5\right)$. , B $\left(0;-2\right)$.

Narysujemy wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji liniowej, wiedząc, że jest on równoległy do wykresu funkcji $y=-\frac{1}{3}x-6$ i że przechodzi on przez punkt $P=\left(3,1\right)$. Podamy miejsce zerowe tej funkcji a następnie obliczymy pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji i osiami układu współrzędnych.

Jeśli proste $y=ax+b$ i $y=cx+d$ są równoległe, to $a=c$.

Prosta $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $y=-\frac{1}{3}x-6$ więc $a=-\frac{1}{3}$.

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $y=-\frac{1}{3}x+b$.

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P=\left(3,1\right)$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$y=-\frac{1}{3}x+b$

$1=\left(-\frac{1}{3}\right)·3+b$

$1=-1+b$

$b=2$

$b=2$ więc mamy punkt przecięcia z osią $Y$: $A=\left(0,2\right)$. Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty $P=\left(3,1\right)$ i $A=\left(0,2\right)$:

R1Bwy3vPFunTC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 3 do pięciu i pionową osią Y od minus 1 do trzech. Zaznaczono prostą przechodzącą przez punkty. A $\left(0;2\right)$, P $\left(3;1\right)$.

Aby obliczyć pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji i osiami układu współrzędnych potrzebujemy punktu przecięcia z osią $X$: $\left(x_0,0\right)$.

Miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji możemy obliczyć ze wzoru:

$x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{\left(-\frac{1}{3}\right)}=6$.

Pole powstałego trójkąta obliczamy ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}c\cdot d$, gdzie $c$ i $d$ to długości przyprostokątnych otrzymanego trójkąta.

$P=\frac{1}{2}·2·6=6$.

Narysujemy wykres funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $M=\left(-2,3\right)$ i która przyjmuje wartości dodatnie tylko w przedziale $\left(-\infty ,1\right)$, zaś wartości ujemne tylko w przedziale $\left(1,+\infty \right)$.

Funkcja $y=ax+b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $\left(-\infty ,1\right)$, zaś ujemne w przedziale $\left(1,+\infty \right)$, oznacza to, że $x_0=1$ jest miejscem zerowym tej funkcji.

$x_0=1$, więc mamy punkt przecięcia z osią $X$: $A=\left(1,0\right)$

Rysujemy wykres funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $M=\left(-2,3\right)$ i $A=\left(1,0\right)$:

RDRpnh9PbI0QI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz osią pionową Y od minus 1 do trzech. Zaznaczono prostą przechodzącą przez dwa punkty M o współrzędnych $\left(-2;3\right)$, oraz A o współrzędnych $\left(1;0\right)$.

argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero

funkcja postaci $y=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi, „$a$” nazywamy współczynnikiem kierunkowym, „$b$” – wyrazem wolnym