3. Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych - Własności funkcji liniowej

R3J2CGjLbf0Kk

3. Zastosowanie funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

R1Rl9DcpdDnSL1

lustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do ośmiu, co dwie sekundy. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do trzydziestu pięciu, co pięć metrów. Wykres jest liniowy rosnący, przechodzi przez punkty (2; 10) i (6; 30). — Wyznaczanie prędkości na podstawie wykresu zależności $s (t)$
Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Przedstawianie zjawisk za pomocą funkcji liniowej jest zwykle uproszczonym modelem rzeczywistości. Na przykład opisując za jej pomocą ruch, nie bierzemy pod uwagę wielu aspektów mających wpływ na ruch takich jak ilość zakrętów, to, czy kierowca zatrzymywał się, aby przepuścić kogoś przez ulicę, nie bierzemy pod uwagę możliwości pojazdu, nawierzchni, która raczej nie jest jednolita w ciągu trwania ruchu, a także warunków pogodowych. Jeśli chwilę się zastanowimy, zauważymy, że kierowca najprawdopodobniej pokona w innym czasie tę samą drogę tym samym pojazdem w czasie słonecznego dnia i w czasie gradobicia, a jednak w zadaniach nie bierzemy pod uwagę pogody, ponieważ badamy zjawisko ruchu ogólnie, uśredniając je. Oczywiście nie chodzi tu o zubożenie opisu zjawiska. Uproszczony model ma za zadanie przybliżyć je na podobnej zasadzie, jak na przykład średnia ocen ucznia.

Twoje cele

Zastosujesz własności funkcji liniowej w zadaniach z kontekstem praktycznym.
Wykorzystasz własności funkcji liniowej do matematycznego modelowania rzeczywistości.
Porównasz ze sobą parametry mierzone za pomocą dwóch różnych funkcji liniowych opisujących jeden problem.

Ważne!

W wielu przypadkach dziedziną funkcji opisującej sytuacje rzeczywiste, będą tylko liczby dodatnie.

Przykład 1

Grupa sportowców biegnie na długim dystansie ze średnią prędkością $15 \frac{km}{h}$ . Do mety pozostało im $30 km$ .

a) Wyznaczymy wzór opisujący odległość $d$ tej grupy od mety, w zależności od czasu $t$ .

b) Obliczymy, ile czasu potrzeba sportowcom, by dotrzeć do mety.

Rozwiązanie:

a) Wzór funkcji opisujący odległość $d$ $[km]$ tej grupy od mety, w zależności od czasu $t$ $[h]$ przedstawia się następująco:

$d (t) = 30 - 15 \cdot t$ , gdzie $t \in ⟨0, 2⟩$ .

b) Do wyznaczenia czasu, jaki jest potrzebny sportowcom, by dotrzeć do mety, wystarczy obliczyć miejsce zerowe funkcji, opisującej zależność odległości grupy sportowców od mety, przy określonym upływie czasu.

Zatem:

$0 = 30 - 15 \cdot t$ .

Wobec tego $t = 2$ .

Ponieważ $t = 2 \in ⟨0, 2⟩$ , to czas potrzebny do dotarcia do mety wynosi $2$ godziny.

Przykład 2

Firma organizuje imprezy weekendowe w hotelu. Każdy uczestnik płaci $500 zł$ . Kwota ta ma pokryć koszty pokoju, wyżywienia i oferowanych atrakcji. Hotel oczekuje zapłaty $6000 zł$ za korzystanie z atrakcji i $300 zł$ za każdego uczestnika.

a) Obliczymy, ilu uczestników powinno przyjechać na imprezę, aby przyniosła ona firmie zysk.

b) Naszkicujemy wykresy funkcji dochodu oraz funkcji kosztów, w zależności od liczby uczestników.

Rozwiązanie:

a) Niech $n$ oznacza liczbę uczestników ( $n \geq 0$ ). Zapiszemy wzorami dwie funkcje: dochodu $d (n)$ i kosztu $k (n)$ .

Wówczas:

$d (n) = 500 n$ ,

$k (n) = 6000 + 300 n$ .

Dodatkowo możemy zapisać funkcję zysku, która wyraża się wzorem:

$z (n) = d (n) - k (n)$ .

Wyznaczymy, przy jakiej liczbie uczestników koszty imprezy są równe dochodom.

Wobec tego $d (n) = k (n)$ , gdy

$500 n = 6000 + 300 n$ .

Zatem $n = 30$ , czyli dla liczby uczestników większej od $30$ dochody firmy będą większe od kosztów (czyli impreza przyniesie zysk).

b) Wykresy zależności funkcji dochodu oraz funkcji kosztu od liczby uczestników przedstawiają się następująco:

R1GDn22MRleuu

Ilustracja przedstawia poziomą oś Y od zera do czterdziestu, jednostką są uczestnicy, oraz pionową oś Y od zera do czternastu tysięcy, jednostka są złote. Na wykresie zaznaczono także dwie proste, prostką k przechodzącą przez punkty nawias zero średnik sześć tysięcy koniec nawiasu oraz punkt nawias dziesięć dziewięć tysięcy koniec nawiasu. Prosta d przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz punkt nawias dwadzieścia średnik osiem tysięcy koniec nawiasy. Obie proste przecinają się w punkcie nawias trzydzieści średnik piętnaście tysięcy koniec nawiasu.

Przykład 3

Szkoła ma do wyboru dwie opcje korzystania z usług kserograficznych:

Wypożyczenie sprzętu za $1400 zł$ rocznie i $0, 20 zł$ za kopię każdej strony.
Zakup sprzętu za $2200 zł$ płatne jednorazowo i $0, 18 z ł$ za kopię każdej strony.

a) Obliczymy, która z opcji jest bardziej opłacalna dla szkoły przy rocznym użytkowaniu na poziomie $10000$ stron.

b) Wyznaczymy, jaki będzie koszt przy każdej z opcji, jeżeli rocznie szkoła wykonuje $12000$ kopii.

c) Sprawdzimy, dla jakiej liczby stron koszty użytkowania w obu ofertach są równe.

Rozwiązanie:

Zapiszemy za pomocą wzorów funkcje $f_{1}$ i $f_{2}$ , które przedstawiają całkowity koszt korzystania z usług kserograficznych odpowiednio w pierwszej i drugiej opcji.

Niech $x$ oznacza liczbę kopii ( $x \geq 0$ ). Wówczas:

$f_{1} (x) = 1400 + 0, 20 x$ ,

$f_{2} (x) = 2200 + 0, 18 x$ .

a) Jeżeli $x = 10000$ , to:

$f_{1} (10000) = 1400 + 0, 20 \cdot 10000 = 3400$ ,

$f_{2} (10000) = 2200 + 0, 18 \cdot 10000 = 4000$ .

b) Jeżeli $x = 12000$ , to:

$f_{1} (12000) = 1400 + 0, 20 \cdot 12000 = 3800$ ,

$f_{2} (12000) = 2200 + 0, 18 \cdot 12000 = 4360$ .

c) Do wyznaczenia liczby kopii, przy której koszty w obu ofertach są równe, rozwiązujemy równanie:

$f_{1} (x) = f_{2} (x)$

$1400 + 0, 20 x = 2200 + 0, 18 x$ .

Ponieważ $x \geq 0$ , zatem $x = 40000$ .

Koszty przy obu ofertach są równe, gdy wykona się $40000$ kopii.

Przykład 4

Temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza $[° C]$ przelicza się na temperaturę wyrażoną w stopniach Fahrenheita $[° F]$ według wzoru $[° F] = [° C] \cdot \frac{9}{5} + 32$ , a temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza $[° C]$ przelicza się na temperaturę wyrażoną w Kelvinach $[° K]$ według wzoru $[° K] = [° C] + 273, 15$ . Wyznaczymy wzór zależności pomiędzy temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita, a temepraturą wyrażoną w Kelvinach.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

$[° C] = \frac{5}{9} \cdot ([° F] - 32)$

oraz

$[° C] = [° K] - 273, 15$

Zatem prawdziwa jest równość:

$[° K] - 273, 15 = \frac{5}{9} \cdot ([° F] - 32)$

Wobec tego:

$[^{\circ} K] = \frac{5}{9} \cdot ([^{\circ} F] - 32) + 273, 15$

Otrzymany wzór przedstawia zależność pomiędzy temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita, a temepraturą wyrażoną w Kelvinach.

Przykład 5

Funkcja $f$ określa miarę kąta (w stopniach) między wskazówką godzinową a wskazówką minutową zegara w zależności od czasu $t$ (w minutach), między północą a godziną pierwszą.

a) Wyznaczymy wzór funkcji $f$ .

b) Podamy miarę kąta między wskazówkami zegara o godzinie $0 : 20$ .

Rozwiązanie:

a) Ponieważ $1 h = 60 \min$ , zatem po upływie $1 \min$ wskazówka minutowa zegara wyznaczy kąt o mierze $6 °$ .

Wskazówka godzinowa zegara po upływie $1 \min$ wyznaczy kąt o mierze $0, 5 °$ .

Czyli po upływie $1 m i n$ kąt między wskazówką godzinową, a wskazówką minutową zegara będzie miał miarę $5, 5 °$ .

Wobec tego wzór funkcji $f$ przedstawia się następująco:

$f (t) = 5, 5 ° \cdot t$ , gdzie $t \in ⟨0, 60⟩$ .

b) Obliczamy:

$f (20) = 5, 5 ° \cdot 20 = 110 °$

Wobec tego miara kąta wyznaczonego przez wskazówki minutową i godzinową zegara o godz. $0 : 20$ wynosi $110 °$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Obejrzyj galerię zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RWe0k4X7cnM1E

RTnCDhpQGBHI5

RdYu2fPdcpWwN

R1TsTUSlkURlJ

Polecenie 1

Wiadomo, że pojemność baku samochodowego wynosi $50$ litrów. Na przejechanie $100 km$ samochód zużywa $8$ litrów paliwa.

Podaj wzór funkcji, która opisuje zależność pomiędzy ilością paliwa, które pozostało w baku samochodu, a liczbą przejechanych kilometrów, a następnie oblicz:

a) ile kilometrów pokona samochód, gdy bak jest pełny,

b) ile litrów paliwa pozostanie w baku, gdy samochód przebędzie drogę długości $20 km$ .

Ilość paliwa w baku samochodu, w zależności od liczby przejechanych kilometrów, określa wzór $f (x) = 50 - 0, 08 x$ , gdzie $x$ oznacza liczbę przejechanych kilometrów.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f$ : $50 - 0, 08 x \geq 0$

Zatem $x \in ⟨0, 625⟩$ .

a) W celu wyznaczenia liczby kilometrów, jakie może pokonać samochód przy pełnym baku, wystarczy rozwiązać równanie:

$50 - 0, 08 x = 0$ .

$x = 625$ .

Odpowiedź: Ponieważ $x = 625 \in ⟨0, 625⟩$ , zatem samochód może pokonać $625 km$ przy pełnym baku paliwa.

b) Obliczamy:

$f (20) = 50 - 0, 08 \cdot 20 = 50 - 1, 6 = 48, 4$ .

Odpowiedź: Jeżeli samochód przebędzie drogę $20 km$ , to w baku samochodu pozostanie $48, 4 l$ paliwa.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1HRvqOx6qfmz1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

RE513L4ZeA7U3

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zero do ośmiu, jednostką jest czas mierzony w sekundach, oraz pionową oś Y od zera do trzydziestu pięciu, jednostką są metry. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji przechodzący przez punkty nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias dwa średnik dziesięć koniec nawiasu, nawias cztery średnik dwadzieścia koniec nawiasu.

RYZlFx3fxQ6Ra

Ćwiczenie 3

Funkcja określona wzorem $y = 1800 + 16 x$ opisuje koszt (w złotych) produkcji zabawek w pewnej firmie. Jedna zabawka kosztuje $16 zł$ , a $x$ oznacza liczbę wyprodukowanych zabawek.

R1FzSgEdwuPVU

Ćwiczenie 4

Wynajęcie sali treningowej na godzinę od poniedziałku do piątku kosztuje $100 zł$ i $4 zł$ za każdą osobę, a w weekendy $60 zł$ i $8 zł$ za każdą osobę.

RpKwuYoKBn9ay

RvFZtHR7gH6iS2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

W zbiorniku znajdowało się $400$ litrów wody. Po odkręceniu kurka odpływowego w ciągu każdej minuty wypływa $25$ litrów wody.

R1OSj5HlrHxfW

Ćwiczenie 7

Funkcja podaży pewnego towaru (ilości towaru, jakie producenci dostarczają na rynek) jest określona wzorem $f (x) = - x + 10$ , a funkcja popytu tego towaru (ilości towaru, które nabywcy kupują po określonej cenie) wyraża się wzorem $g (x) = x + 4$ , gdzie $x \geq 0$ .

a) Wyznacz punkt równowagi rynkowej (ilość danego towaru, przy jakiej popyt jest równy podaży).

b) Określ, przy jakiej liczbie sprzedanego towaru podaż jest większa od popytu.

c) Naszkicuj wykresy funkcji popytu i podaży.

a) Do wyznaczenia punktu równowagi rynkowej rozwiązujemy równanie:

$- x + 10 = x + 4$

Zatem $x = 3$ .

Popyt jest równy podaży (tzw. punkt równowagi rynkowej), gdy ilość sprzedanego towaru wynosi $3$ .

b) Do wyznaczenia ilości danego towaru, przy jakiej podaż jest większa od popytu rozwiązujemy nierówność:

$- x + 10 > x + 4$

Wobec tego $x < 3$ .

Podaż jest większa od popytu, gdy ilość sprzedanego towru jest mniejsza od $3$ i większa lub równa $0$ .

c) Wykresy popytu i podaży przedstawiają się następująco:

RM1GHr27bI7LE

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do dziesięciu oraz pionową oś Y od zera do dziesięciu. Na rysunku zaznaczono również dwa wykres funkcji liniowej. Pierwszy wykres określa popyt i zaczyna się w punkcie nawias zero średnik cztery koniec nawiasu, oraz przechodzi przez punkty nawias dwa średnik sześć koniec nawiasu, nawias pięć średnik dziewięć koniec nawiasu. Drugi wykres określa podaż i zaczyna się w punkcie nawias zero średnik dziesięć koniec nawiasu. Przechodzi również prze punkty nawias dwa średnik osiem koniec nawiasu, nawias pięć średnik pięć koniec nawiasu, nawias siedem średnik trzy koniec nawiasu. Oba wykresy przecinają się w punkcie nawias trzy średnik siedem koniec nawiasu.

Ćwiczenie 8

Zależność między stopniami Celsjusza $(T_{C})$ a Kelwinami $(T_{K})$ w układzie $S I$ opisuje wzór $T_{K} = T_{C} + 273, 15$ .

a) Naszkicuj wykres zależności między temperaturą wyrażoną w stopniach Celsjusza i Kelwinach.

b) Wyraź temperaturę $40 ° C$ w Kelwinach.

c) Wyraź temperaturę $100 ° K$ w Celsjuszach.

a) Wykres zależności między temperaturą wyrażoną w stopniach Celsjusza i Kelwinach przedstawia się następująco:

R1Qf9nPUEZ2LW

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do dziewięćdziesięciu podpisaną jako T indeks dolny C koniec indeksu oraz pionową oś Y od zera do ośmiuset podpisaną jako T indeks dolny K koniec indeksu. Na rysunku zaznaczono również półprostą T indeks dolny K koniec indeksu równa się T indeks dolny C koniec indeksu dodać dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek piętnaście. Wykres ten zaczyna się w punkcie nawias zero średnik dwieście siedemdziesiąt trzy przecinek piętnaście koniec nawiasu i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias trzydzieści średnik trzysta koniec nawiasu, nawias siedemdziesiąt pięć średnik trzysta siedemdziesiąt trzy przecinek piętnaście koniec nawiasu.

b) Jeżeli $T_{C} = 40 ° C$ , to:

$T_{K} = 40 + 273, 15 = 311, 15 [° K]$ .

Wobec tego temperatura wynosząca $40 ° C$ odpowiada temperaturze $311, 15 ° K$ .

c) Jeżeli $T_{K} = 100 ° K$ , to:

$100 = T_{C} + 273, 15$

$T_{C} = - 173, 15 ° C$ .

Wobec tego temperatura $100 ° K$ odpowiada temperaturze $- 173, 15 ° C$ .

Słownik

funkcja liniowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem

f (x) = a x + b

gdzie:
$a, b \in ℝ$

2. Wyznaczanie wzoru i wykresu funkcji liniowej na podstawie jej własności

4. Przykłady innych funkcji, kawałkami liniowych

3. Zastosowanie funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

Galeria zdjęć interaktywnych

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik