3. Twierdzenie Talesa

RDH71UMC5GFFL

Tales z Miletu ( $VII$ lub $VI w. p. n. e.$ ) jest powszechnie uznawany za pierwszego filozofa i matematyka cywilizacji zachodniej oraz za inicjatora badań nad przyrodą jako nauki. Postrzega się go jako pierwszego filozofa głównie dlatego, że zainicjował wyjaśnianie rzeczywistości przez odwoływanie się do natury i rozumu bardziej niż do mitologii i tradycji. Według legendy Tales wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzuconego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Tales wykorzystał zależność, którą dziś nazywamy twierdzeniem Talesa. Zależność ta opisuje proporcje długości odcinków, jakie powstały na ramionach kąta przeciętego dwiema równoległymi prostymi. Twierdzenie Talesa jest jednym z najważniejszych twierdzeń geometrii. Najstarszy zachowany dowód zamieszczony jest w $VI$ księdze Elementów Euklidesa ( $VI w. p. n. e.$ ). W tym miejscu należy zadać pytanie dlaczego ucząc się w szkole o twierdzeniu Talesa tak często pomija się ten piękny dowód Euklidesa, który przecież odwołuje się tylko do dobrze znanego pojęcia pola trójkąta. W tym materiale poznasz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

R4NAOVZ3BPX3P

Ilustracja przedstawia rycinę starej księgi. Na lewej stronie znajduję się popiersie mężczyzny z brodą i groźnym wyrazem twarzy podpisanym jako Tales. Na prawej stronie znajdują się informacje w obcym języku. — Tales z Miletu
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie Talesa.
Udowodnisz twierdzenie Talesa.
Zastosujesz twierdzenie Talesa do wyznaczania długości odcinków w wielokątach.
Wykorzystasz twierdzenie Talesa do konstrukcji odcinków.
Zastosujesz twierdzenie Talesa w sytuacjach typowych i problemowych.

Trójkąty, które mają wspólną podstawę oraz równe wysokości opuszczone na tę podstawę maja równe pola. Ten prosty fakt wynika wprost ze wzoru na pole trójkąta.

RFOUJESN8UM3T

Ilustracja przedstawia dwie równoległe proste. Na prostej leżącej wyżej zaznaczono kolejno od lewej punkty: D, E, C, F. Na prostej leżącej poniżej zaznaczono od lewej punkty: A i B. Następnie z punktów leżących na górnej prostej poprowadzono odległości do drugiej prostej, czyli odcinki prostopadłe do drugiej prostej i oznaczono przy nich kąty proste. Następnie połączono punkty odcinkami, tworząc trójkąty: A B D oraz A B E oraz A B C oraz A B F.

Na rysunku są to trójkąty $A B C$ , $A B D$ , $A B E$ i $A B F$ . Wszystkie te trójkąty mają wspólną podstawę $A B$ i równe wysokości opuszczone na tę podstawę.

Sformułujemy teraz nieco ogólniejszą własność, którą wykorzystamy w dowodzie twierdzenia Talesa.

O stosunku pól trójkątów o wspólnej wysokości

Twierdzenie: O stosunku pól trójkątów o wspólnej wysokości

Stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości lub równych wysokościach jest równy stosunkowi długości podstaw tych trójkątów. Przy oznaczeniach jak na rysunkach, biorąc pod uwagę trójkąty $A B D$ i $B C D$ lub $A B D$ i $B C E$

RPELXCQ9P8G23

Ilustracja dwie konstrukcje. Konstrukcja pierwsza to dwa trójkąty o wspólnym boku: trójkąt A B D oraz B C D. Z wierzchołka D upuszczono wysokość h na podstawę A B i oznaczono przy niej kąt prosty. Konstrukcja druga to dwa trójkąty o wspólnym jednym wierzchołku B. Trójkąty te to A B D oraz B C E. Wierzchołki D i E leżą na jednej prostej. Z tych wierzchołków poprowadzono dwie identyczne wysokości h: z wierzchołka D na podstawę A B i z wierzchołka E na podstawę B C. Przy wysokościach oznaczono kąty proste.

możemy tę własność zapisać w postaci

\frac{P_{A B D}}{P_{B C D}} = \frac{|A B|}{|B C|}

Rzeczywiście

\frac{P_{A B D}}{P_{B C D}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot |B C| \cdot h} = \frac{|A B|}{|B C|}

Przejdźmy teraz do sformułowania twierdzenia Talesa.

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie: Twierdzenie Talesa

Jeżeli proste równoległe $k$ i $l$ przecinają jedno z ramion kąta o wierzchołku $O$ w punktach odpowiednio $A$ i $B$ oraz drugie ramię tego kąta w punktach odpowiednio $C$ i $D$ , jak na rysunku

R16FLZL79U8NP

Ilustracja przedstawia kąt ostry o wierzchołku O. Oba ramiona kąta przecinają równoległe proste k i l. Prosta k przecina górne ramię w punkcie C i dolne w punkcie A. Prosta l przecina górne ramię w punkcie D i dolne w punkcie B.

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{|O C|}{|C D|}

Dowód

Poprowadźmy odcinek $B C$ oraz wysokość $h_{1}$ z wierzchołka $C$ .

RV5U1X96TKZS4

Jest to wspólna wysokość trójkątów $O A C$ i $A B C$ , więc z udowodnionego wcześniej twierdzenia o stosunku pól trójkątów o wspólnej wysokości otrzymujemy

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A B C}}

Poprowadźmy teraz odcinek $A D$ . Ponieważ proste $k$ i $l$ są równoległe, to trójkąty $A B C$ i $A D C$ mają równe wysokości opuszczone na wspólną podstawę $A C$ .

R1F6X99CJB8U1

Zatem te trójkąty mają równe pola. Wobec tego równość $\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A B C}}$ możemy zapisać w postaci

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A D C}}

Na koniec zauważmy, że trójkąty $O A C$ i $A D C$ mają wspólną wysokość $h_{3}$ opuszczoną z wierzchołka $A$ .

RLQ35SD582GUX

Wobec tego stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości podstaw tych trójkątów, czyli

\frac{P_{O A C}}{P_{A D C}} = \frac{|O C|}{|C D|}

Zatem

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A D C}} = \frac{|O C|}{|C D|}

To kończy dowód.

wniosek z twierdzenia Talesa

Twierdzenie: wniosek z twierdzenia Talesa

Przy założeniach z twierdzenia Talesa prawdziwa jest także równość:

$\frac{|O C|}{|O D|} = \frac{|O A|}{|O B|}$

Przykład 1

Prosta równoległa do boku $B C$ trójkąta $A B C$ przecina boki $A B$ i $A C$ w punktach odpowiednio $D$ i $E$ . Długości odcinków $A D$ , $A E$ i $E C$ są równe: $|A D| = 14$ , $|A E| = 9$ , $|E C| = 10$ . Obliczymy długość odcinka $B D$ .

Rozwiązanie:

RC7NVS5D2BML6

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Trójkąt przecina prosta równoległa do boku B C. Prosta przecina bok A C w punkcie E, dzieląc bok na dwa odcinki: A E o długości 9 oraz E C o długości dziesięć. Prosta ta przecina podstawę A B w punkcie D, dzieląc ją na dwa odcinki: A D o długości 14 oraz D B o długości x.

Oznaczmy $|B D| = x$ .

Z twierdzenia Talesa wynika proporcja $\frac{|A D|}{|B D|} = \frac{|A E|}{|E C|}$ , czyli $\frac{14}{x} = \frac{9}{10}$ .

Stąd $x = \frac{14 \cdot 10}{9} = \frac{140}{9} = 15 \frac{5}{9}$ .

Przykład 2

Dane są trzy odcinki o długościach $a$ , $b$ i $c$ . Skonstruujemy odcinek o długości $x = \frac{a \cdot b}{c}$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy równość $x = \frac{a \cdot b}{c}$ w postaci równoważnej, dzieląc obie jej strony przez $b$ .

Otrzymujemy w ten sposób proporcję $\frac{x}{b} = \frac{a}{c}$ , w której $x$ jest jednym z wyrazów skrajnych.

Narysujmy teraz dowolny kąt wypukły o wierzchołku $A$ , na jednym z jego ramion odłóżmy odcinek $A B$ o długości $b$ , a na drugim odcinek $A C$ o długości $c$ oraz odcinek $C D$ o długości $a$ tak, żeby punkt $C$ leżał między punktami $A$ i $D$ .

R1XLN7ZQLE2Z5

Odcinki a, b i c zostały narysowane nad całą konstrukcją. Znajdująca się pod nimi lustracja przedstawia kąt o wierzchołku A i dwie przecinające go równoległe proste. Prosta bliżej wierzchołka przecina górne ramię w punkcie C i dolne w punkcie B. Prosta leżąca dalej od wierzchołka A przecina górne ramię w punkcie D i dolne w punkcie E. Mamy więc następujące odcinki powstałe na ramionach kąta. Ramię górne: odcinek A C o długości c oraz odcinek C D o długości a. Ramię dolne: odcinek A B o długości b oraz odcinek B E o długości x.

Poprowadźmy prostą $B C$ i skonstruujmy prostą $k$ równoległą do prostej $B C$ i przechodzącą przez punkt $D$ .

Punkt jej przecięcia z prostą $A B$ oznaczmy literą $E$ . Odcinek $B E$ jest szukanym odcinkiem czwartym proporcjonalnymodcinek czwarty proporcjonalnyodcinkiem czwartym proporcjonalnym.

Rzeczywiście, z twierdzenia Talesa otrzymujemy $\frac{|A B|}{|A C|} = \frac{|B E|}{|C D|}$ , czyli $\frac{b}{c} = \frac{x}{a}$ , skąd $x = \frac{a \cdot b}{c}$ .

Przykład 3

Dany jest odcinek o długości $a$ , a także odcinek jednostkowy, czyli odcinek o długości $1$ . Skonstruujemy odcinek o długości $\frac{1}{a}$ .

Rozwiązanie:

Niech $x = \frac{1}{a}$ .

Tę równość możemy zapisać w postaci $\frac{x}{1} = \frac{1}{a}$ .

W ten sposób problem sprowadziliśmy do konstrukcji, którą wykonaliśmy w poprzednim przykładzie.

Zilustrujmy tę konstrukcję na rysunku

R1GPPCOVFKS8K

Odcinek o długości 1 oraz odcinek a zostały narysowane nad całą konstrukcją. Znajdująca się pod nimi lustracja przedstawia kąt o wierzchołku A i dwie przecinające go równoległe proste. Prosta bliżej wierzchołka przecina górne ramię w punkcie C i dolne w punkcie B. Prosta leżąca dalej od wierzchołka A przecina górne ramię w punkcie D i dolne w punkcie E. Mamy więc następujące odcinki powstałe na ramionach kąta. Ramię górne: odcinek A C o długości a oraz odcinek C D o długości jeden. Ramię dolne: odcinek A B o długości 1 oraz odcinek B E o długości x.

Można zadać pytanie czy podobne twierdzenie zachodzi, jeśli proste równolegle przecinają zarówno ramiona kąta jak i ich przedłużenia?

Takie sytuacje można zaobserwować w sytuacjach praktycznych, na przykład: na rysunku przedstawiony jest schematycznie aparat projekcyjny i ekran.

RCMD5CQZ4FXS6

Ilustracja przedstawia schemat. Z lewej strony mamy kawałek poziomego walca opisany jako aparat projekcyjny. Przy końcu walca zaczynają się dwa ukośne odcinki, których punkt przecięcia leży w środku podstawy walca. Między początkami odcinków narysowano pionową strzałkę z grotem skierowanym w dół. Końce odcinków znajdują się na ekranie po prawo. Ekran reprezentuje pionowa strzałka rozciągająca się między końcami odcinków. Grot strzałki skierowany jest do góry.

Twierdzenie Talesa można sformułować nieco ogólniej i zamiast o ramionach kąta można mówić o dwóch prostych przecinających się w punkcie $O$ , które przecinamy dwiema prostymi równoległymi $k$ i $l$ , przy czym żadna z tych prostych nie przechodzi przez punkt $O$ . Wtedy uogólnione twierdzenie Talesa możemy sformułować następująco:

Uogólnione twierdzenie Talesa

Twierdzenie: Uogólnione twierdzenie Talesa

Proste $m$ i $n$ przecinają się w punkcie $O$ . Jeżeli proste równoległe $k$ i $l$ przecinają prostą $m$ w punktach odpowiednio $A$ i $B$ oraz prostą $n$ w punktach odpowiednio $C$ i $D$ , jak na rysunku

R1CMSNO86U2ZX

Ilustracja przedstawia cztery proste. Proste k i l są równoległe. Prosta m przecina je odpowiednio: w punkcie B prostą l i w punkcie A prostą k. Prosta n przecina prostą l w punkcie D i prostą k w punkcie C oraz prostą m w punkcie O.

to:

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{|O C|}{|C D|}

Dowód tego twierdzenia można przeprowadzić w taki sam sposób, jak podany wcześniej.

Zauważ, że prawdziwa jest także równości:

\frac{|O A|}{|O B|} = \frac{|O C|}{|O D|}

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z filmem o Talesie z Miletu, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

RNPCET99FLZPT

Polecenie 1

Przeanalizuj ten fragment filmu, który dotyczy przypuszczalnego sposobu, w jaki Tales zmierzył wysokość Piramidy Cheopsa. Wskaż dwa trójkąty, które w swoim rozumowaniu wykorzystał Tales.

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są prostokątne oraz podobne, gdyż padające w tym samym czasie promienie słoneczne są do siebie równoległe, co oznacza, że kąty ostre przy wierzchołkach $A$ i $D$ tych trójkątów są równe.

R1UF3AOA3CSKQ

Ilustracja składa się z dwóch części. Część lewa przedstawia mężczyznę w todze, na którego naniesiono trójkąt prostokątny A B C w taki sposób, że pionowy bok B C to wysokość mężczyzny, natomiast podstawa C A pokrywa się z cieniem rzucanym przez postać. Prawa część ilustracji przedstawia piramidę, na którą naniesiono trójkąt prostokątny E F D tak, że punkt E pokrywa się z wierzchołkiem piramidy. Pionowy odcinek E F jest wysokością bryły, natomiast punkt D pokrywa się z końcowym punktem cienia rzucanego przez piramidę, czyli podstawa trójkąta F D biegnie od środka bryły i przez całą długość cienia.

Ponieważ Tales dokonał pomiaru w takim dniu, w którym długość jego cienia była równa jego wzrostowi, a więc gdy $|A C| = |B C|$ , to wywnioskował, że również $|D F| = |E F|$ .

Polecenie 2

Przyjmując, że zmierzona przez Talesa wysokość Piramidy Cheopsa była równa $146, 5$ metrów, długość cienia, jaki wtedy rzucała Piramida liczona do podstawy Piramidy do wierzchołka cienia była równa $31, 5$ metra, oblicz długość krawędzi podstawy Piramidy.

R1LDT2JL418DB

Ilustracja składa się z dwóch części. Część lewa piramidę o podstawie P S R Q i górnym wierzchołku E, na którą naniesiono trójkąt prostokątny E F D tak, że pionowy odcinek E F jest wysokością bryły oznaczoną jako H, natomiast punkt D pokrywa się z końcowym punktem cienia rzucanego przez piramidę, czyli podstawa trójkąta F D biegnie od środka bryły i przez całą długość cienia. Prawa część ilustracji przedstawia dwa trójkąty o wspólnym wierzchołku E. Trójkąt pierwszy to trójkąt równoramienny K L E, którego wysokość wynosi 146,5, a podstawą trójkąta jest odcinek K L, który wysokość podzieliła na dwa równe odcinki K F oraz F L, każdy o długość a drugich. Drugi trójkąt to trójkąt prostokątny F D E. Podstawa tego trójkąta to F D. Podstawa zawiera punkt L, który dzieli ją na dwa odcinki: F L o długości a drugich i L D o długości 31,5

Trójkąt $D E F$ jest prostokątny i równoramienny. Wierzchołek $F$ kąta prostego w tym trójkącie jest spodkiem wysokości trójkąta równoramiennego $K L E$ , którego podstawa $K L$ ma długość równą długości krawędzi podstawy Piramidy Cheopsa. Te informacje wystarczają, żeby obliczyć długość $a$ krawędzi podstawy Piramidy. Zatem $|D F| = |E F| = 146, 5$ , czyli $\frac{a}{2} + 31, 5 = 146, 5$ . Stąd $\frac{a}{2} = 115$ , więc $a = 230$ .

Polecenie 3

Pod jakim kątem byłyby nachylone ściany Piramidy do płaszczyzny jej podstawy, gdyby w dniu, w którym Tales mierzył jej wysokość, Piramida rzucała cień o prawie zerowej długości?

Gdyby Piramida rzucała cień o „prawie zerowej długości”, to wtedy koniec $D$ tego cienia byłby środkiem $D$ krawędzi podstawy Piramidy.

RPPK2T2JKE6XO

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny K D E, którego wysokość H to pionowy odcinek E F. Podstawą trójkąta jest odcinek K D, który wysokość podzieliła na dwa równe odcinki K F oraz F D, każdy o długość a drugich. Przy prawy wierzchołku D zaznaczono kąt ostry alfa.

To oznaczałoby, że wysokość $H$ Piramidy jest równa połowie długości krawędzi podstawy. Zatem trójkąt $D E F$ byłby prostokątny i równoramienny. Zatem kąt ostry $α$ tego trójkąta byłyby równy $45 °$ . Pod takim kątem byłyby wówczas nachylone ściany Piramidy Cheopsa do płaszczyzny jej podstawy.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Proste $A K$ i $B L$ są równoległe oraz $|P A| = 3$ , $|A B| = 6 \frac{1}{4}$ , $|K L| = 3 \frac{3}{4}$ .
Zaznacz poprawną odpowiedź. Długość odcinka $P K$ jest równa:

RKCQHPHDDNOG1

Ilustracja przedstawia kąt ostry rozpięty między dwiema półprostymi o wspólnym końcu w punkcie P. Jedno z ramion jest ukośne, drugie poziome. Ramiona przecinają dwie ukośne proste równoległe. Pierwsza prosta przecina górne ramię w punkcie K i dolne w punkcie A. Druga prosta przecina górne ramię w punkcie L, a dolne w punkcie B. Proste te wyznaczają następujące odcinki: na górnym ramieniu kąta mamy: P K o długości x oraz K L o długości 3 i trzy czwarte, na dolnym ramieniu mamy: P A o długości 3 oraz A B o długości 6 i jedna czwarta.

R1QJ1A3LRUE52

Ćwiczenie 2

Punkty $D$ i $E$ leżą na bokach trójkąta $A B C$ i odcinek $D E$ jest równoległy do boku $A B$ . Długości odcinków $B E$ , $C E$ , $A D$ i $C D$ są zaznaczone na rysunku.
Zaznacz poprawną odpowiedź. Wynika stąd, że:

R1UTBEXUORDG8

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o poziomej podstawie A B. Na lewym ramieniu trójkąta zaznaczono punkt D, który podzielił bok na odcinki: A D o długości y oraz D C o długości y dodać jeden. Na prawym ramieniu B C zaznaczono punkt E dzielący bok na dwa odcinki: B E o długości X oraz E C o długości x dodać dwa. Punkty D oraz E połączono w poziomy odcinek.

R7QMSMFRAJH5O

Ćwiczenie 3

Długość boku $B C$ trójkąta $A B C$ jest równa $56$ . Punkty $D$ , $E$ , $F$ i $G$ leżą na bokach tego trójkąta i odcinki $D E$ i $F G$ są równoległe do boku $A B$ .
Długości odcinków $C K$ , $K L$ i $L M$ mają się do siebie jak $2 : 2 : 3$ .

R1X2ZKBPPMMCM

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o poziomej podstawie A B. Na lewym ramieniu trójkąta zaznaczono punkty D oraz F. Na prawym ramieniu B C zaznaczono punkty E oraz G. Punkty D oraz E połączono w poziomy odcinek, a także punkty F oraz G połączono w poziomy odcinek leżący nad odcinkiem D E. Z górnego wierzchołka trójkąta C poprowadzono ukośny odcinek do punktu M, który leży na podstawie A B.

RPFFMF6VCN7H4

Ćwiczenie 4

R1O7ANFFNZS5E

R1J5BNHOQ52J2

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawną odpowiedź. Rysunek jest szkicem konstrukcji odcinka o długości $x$ , gdy dane są odcinki o długościach $a$ i $b$ . Proste $k$ i $l$ są równoległe. Wtedy:

R14EEKP21HLQD

Ilustracja przedstawia kąt ostry rozpięty między dwiema półprostymi o wspólnym końcu. Jedno z ramion jest ukośne, drugie poziome. Ramiona przecinają dwie ukośne proste równoległe k i l. Każda z prostych przecina górne i dolne ramie kąta w jednym miejscu. Proste te wyznaczają następujące odcinki: od wspólnego końca półprostych do przecięcia prostej k z górnym ramieniem odcinek ma długość początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, odcinek pomiędzy przecięciem prostej k i l z górnym ramieniem wynosi a, plus, początek ułamka, b, mianownik, dwa, koniec ułamka, od wspólnego końca półprostych do przecięcia prostej k z dolnym ramieniem odcinek ma długość b , a odcinek pomiędzy miejscem przecięcia prostek k i l z dolną podstawą ma długość x.

R1UXXD3N9UH4F

Ćwiczenie 6

Punkt $M$ leży na boku $A B$ trójkąta $A B C$ , a punkt $N$ na boku $A C$ . Odcinek $M N$ jest równoległy do boku $B C$ , $|A N| = 14$ , $|N C| = 10$ , a długości odcinków $A M$ i $M B$ różnią się o $1$ . Oblicz długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ .

Skoro $M N ∥ B C$ , to z twierdzenia Talesa wynika, że odcinki powstałe na bokach trójkąta są do siebie proporcjonalne. Oznacza to, że dłuższemu z ocinków leżących na boku $A C$ odpowiada dłuższy z odcinków leżących na boku $A B$ .

Ponieważ $M N ∥ B C$ , to z twierdzenia Talesa wynika, że $\frac{|A M|}{|M B|} = \frac{|A N|}{|N C|}$ , czyli $\frac{|A M|}{|M B|} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ .

Wobec tego odcinek $A M$ jest dłuższy od odcinka $M B$ .

Niech $x$ oznacza długość odcinka $M B$ .

Wtedy $|A M| = x + 1$ , a proporcję możemy zapisać w postaci $\frac{x + 1}{x} = \frac{7}{5}$ .

Stąd $5 x + 5 = 7 x$ , czyli $x = \frac{5}{2}$ .

Zatem $|A B| = |A M| + |M B| = x + 1 + x = 2 x + 1 = 6$ .

Ćwiczenie 7

Proste $a$ i $b$ przecinają się w punkcie $P$ , a proste równoległe $k$ , $l$ i $m$ przecinają je w punktach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ jak na rysunku. Oblicz długość odcinka $P E$ , gdy dane są $|A C| = 12$ , $|P B| = 2$ , $|D P| = 6$ , $|E F| = 9$ .

RE4JNBMCU4QFB

Ilustracja przedstawia dwie proste a i b przecinające się w punkcie P tworzące w ten sposób kąty wierzchołkowe. Kąty te przecięte są trzema równoległymi, ukośnymi prostymi: k, l i m. Pierwsza prosta przecina kąt wierzchołkowy na lewo od punktu P. Miejsce przecięcia prostej k i b oznaczono punktem D, a miejsce przecięcia prostych k i a punktem A. Dwie pozostałe proste przecinają kąt wierzchołkowy na prawo od punktu P. Prosta l i a przecina się w punkcie B, a prosta l i b w punkcie E. Prosta m i a przecina się w punkcie C, a prosta m i b w punkcie F.

Możesz skorzystać z proporcji $\frac{|P E|}{|P B|} = \frac{|D F|}{|A C|}$ .

Oznaczmy $|P E| = x$ , $|A P| = y$ i $|B C| = z$ .

RSQ2QAJERX94B

Ponieważ $k ∥ l$ , więc z twierdzenia Talesa wynika proporcja $\frac{|P E|}{|P B|} = \frac{|D P|}{|A P|}$ , czyli $\frac{x}{2} = \frac{6}{y}$ .

Ponieważ $l ∥ m$ , więc ponownie z twierdzenia Talesa otrzymujemy proporcję $\frac{|P E|}{|P B|} = \frac{|E F|}{|B C|}$ , czyli $\frac{x}{2} = \frac{9}{z}$ .

Z otrzymanych równości wynika, że $\frac{6}{y} = \frac{9}{z}$ , skąd $y = \frac{2}{3} z$ .

Ponieważ $|A C| = |A P| + |P B| + |B C| = 12$ , więc $y + 2 + z = 12$ .

Zatem $\frac{2}{3} z + 2 + z = 12$ .

Stąd $\frac{5}{3} z = 10$ , czyli $z = 6$ .

Wobec tego $\frac{x}{2} = \frac{9}{6}$ .

Stąd $x = 3$ .

Wynik ten możemy też otrzymać szybciej, zauważając, że prawdziwa jest proporcja $\frac{|P E|}{|P B|} = \frac{|D F|}{|A C|}$ , czyli $\frac{x}{2} = \frac{6 + x + 9}{12}$ .

Stąd otrzymujemy kolejno:

$6 x = x + 15$

$5 x = 15$

$x = 3$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest trapez $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ . Punkty $E$ i $F$ są środkami ramion odpowiednio $A D$ i $B C$ , a odcinek $E F$ jest równoległy do podstaw trapezu. Punkt $M$ leży na podstawie $A B$ , a punkt $N$ na podstawie $C D$ trapezu. Odcinki $E F$ i $M N$ przecinają się w punkcie $P$ . Udowodnij, że punkt $P$ jest środkiem odcinka $M N$ .

Rozpatrz dwa przypadki: Gdy odcinek $M N$ jest równoległy do jednego z ramion trapezu oraz gdy nie jest równoległy do żadnego z ramion.

Rozważmy dwa przypadki.

Gdy odcinek $M N$ jest równoległy do jednego z ramion trapezu. Bez straty ogólności rozumowania możemy przyjąć, że jest on równoległy do ramienia $A D$ .
Wtedy czworokąty $A M P E$ i $E P N D$ są równoległobokami, więc $|A E| = |M P|$ oraz $|E D| = |P N|$ .
Ponieważ $E$ jest środkiem $A D$ , więc $|A E| = |E D|$ .
Zatem $|M P| = |P N|$ , co oznacza, że $P$ jest środkiem odcinka $M N$ .
Gdy odcinek $M N$ nie jest równoległy do żadnego z ramion trapezu.
Wtedy proste $M N$ i $B C$ się przecinają.
Oznaczmy przez $S$ punkt tego przecięcia.
Możemy założyć, że $S$ leży po tej samej stronie prostej $A B$ , co punkt $C$ .
Oznaczmy też $|M P| = m$ , $|P N| = n$ , $|N S| = s$ , $|B F| = |F C| = c$ i $|C S| = d$ .
R1JJ5SG3ZRFP7
Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Na ramionach A D oraz B C zaznaczono odpowiednio punkty E i F będące ich środkami. Punkty te połączono tworząc poziomy odcinek E F równoległy do podstaw trapezu. Na podstawie A B leży punkt M, na podstawie C D punkt N. Poprowadzono ukośny odcinek M N, który nie jest równoległy do żadnego z ramion trapezu. Miejsce przecięcia odcinków E F i M N oznaczono punktem P. Przedłużenie odcinaka M N oraz ramienia B C przecina się w punkcie S tworząc trójkąt N C S nadbudowany na górnej podstawie trapezu. Odcinek M P ma długość m, odcinek P N ma długość n, odcinek N S ma długość S, odcinek S C ma długość d, odcinki C F i F B mają długość c.
Z twierdzenia Talesa otrzymujemy $\frac{|M N|}{|N S|} = \frac{|B C|}{|C S|}$ oraz $\frac{|P N|}{|N S|} = \frac{|F C|}{|C S|}$ , czyli $\frac{m + n}{s} = \frac{2 c}{d}$ oraz $\frac{n}{s} = \frac{c}{d}$ .
Zatem $\frac{m + n}{s} = \frac{2 c}{d} = \frac{2 n}{s}$ .
Stąd $m + n = 2 n$ , więc $m = n$ .
To oznacza, że punkt $P$ jest środkiem odcinka $M N$ . To kończy dowód.

Słownik

odcinek czwarty proporcjonalny

dane są trzy odcinki o długościach $a$ , $b$ i $c$ ; odcinek o długości $x$ takiej, że liczby $x$ , $a$ , $b$ i $c$ są wyrazami proporcji, np. $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$ nazywamy czwartym proporcjonalnym

przekątna czworokąta wypukłego

odcinek łączący przeciwległe wierzchołki czworokąta

trapez

czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

2. Cechy podobieństwa trójkątów

4. Związek twierdzenia Talesa z podobieństwem trójkątów