4. Związek twierdzenia Talesa z podobieństwem trójkątów

R1WrMRnrKeyD6

Często mówi się, że dwie figury są podobne, jeśli mają ten sam kształt, ale mogą różnić się rozmiarem. Jeśli figury są podobne i mają równe rozmiary, to wtedy mówi się, że są przystające.

Powyższa definicja jest niejednoznaczna, bo nie wiadomo co to jest kształt i co to jest rozmiar. Spróbujmy zatem uściślić definicję podobieństwa.

Powiemy, że figury są przystające, jeśli w wyniku złożenia skończonej liczby przesunięć, obrotów i symetrii przekształcimy jedną figurę na drugą. Figury są podobne, gdy po zmniejszeniu lub zwiększeniu w sposób proporcjonalny jednej z nich uzyskamy figury przystające (miary odpowiednich kątów nie zmieniają się przy takiej zmianie wielkości).

Podobieństwa używamy w praktyce rysując mapy czy projekty budynków. W ten sposób działają projektor oraz urządzenie zwane „camera obscura”. Urządzenia te wyświetlają na ekranie obraz obiektu rzeczywistego, więc obiekt rzeczywisty i jego obraz są figurami podobnymi.

Pokażemy jak twierdzenie Talesa powiązane jest z podobieństwem.

Twoje cele

Poznasz związek podobieństwa figur z twierdzeniem Talesa.
Stosując twierdzenie Talesa udowodnisz cechy podobieństwa trójkątów.
Poznasz jak z podobieństwa trójkątów wynika twierdzenie Talesa.
Wyznaczysz pary trójkątów podobnych w różnych wersjach twierdzenia Talesa.
Poznasz jak podobieństwo trapezów wykorzystuje się w perspektywie malarskiej.
Zidentyfikujesz figury podobne w różnych zastosowaniach z wykorzystaniem twierdzenia Talesa.

Przykład 1

Pokażemy, że jeśli punkty $D$ , $E$ leżą na bokach trójkąta $A B C$ tak, że odcinek $D E$ jest równoległy do boku $B C$ to trójkąty $A B C$ i $A D E$ są podobne.

Rozwiązanie

Popatrzmy na rysunek.

R193h2olIrIQf

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Na boku AB, zaznaczono punkt D. Na boku AC zaznaczono punkt E. Prosta DE jest równoległa do podstawy BC trójkąta. Wewnątrz trójkąta ADE, zaznaczono kąty. Przy wierzchołku A, zaznaczono kąt alfa. Przy wierzchołku D, zaznaczono kąt beta. Wewnątrz trójkąta ABC, przy wierzchołku B zaznaczono kąt gamma.

Trójkąty $A B C$ i $A D E$ mają wspólny kąt $α$ . Poza tym kąty $β$ i $γ$ są równe jako kąty odpowiadające.

Zatem spełniona jest cecha podobieństwa kkk, a stąd trójkąty $A B C$ i $A D E$ są podobne.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty $A B C$ i $A D E$ , które mają wspólny wierzchołek $A$ , wierzchołki $A$ , $B$ , $D$ i wierzchołki $A$ , $C$ , $E$ są współliniowepunkty współliniowewspółliniowe oraz boki $B C$ i $D E$ są równoległe.

R1Wvi25AwWhJ4

Na ilustracji przedstawiono dwa trójkąty ABC i ADE o wspólnym wierzchołku A. Wierzchołki E, A, C i wierzchołki A, C, E są współliniowe. Bok DE jest równoległy do boku BC. W trójkącie ABC zaznaczono kąty. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku A, oraz kąt gamma przy wierzchołku B. W trójkącie ADE zaznaczono kąty. Kąt beta przy wierzchołku A, oraz kąt delta przy wierzchołku D.

Pokażemy, że trójkąty $A B C$ i $A D E$ są podobne.

Rozwiązanie

Skorzystamy z cechy podobieństwa kkk. Po pierwsze, kąty $α$ , $β$ są równe jako kąty wierzchołkowe. Po drugie, kąty $γ$ i $δ$ są równe jako kąty naprzemianległe.

Zatem spełniona jest cecha kkk, a stąd trójkąty $A B C$ i $A D E$ są podobne.

Zauważ, że obydwa przykłady spełniają założenie twierdzenia Talesa, ponieważ w każdym z nich mamy dwie proste (lub ramiona kąta) przecięte prostymi równoległymi.

Twierdzenie Talesa wynika z podobieństwa trójkątów

Popatrzmy na dwie wersje twierdzenia Talesa.

Jeżeli proste $C A$ i $D B$ są równoległe, to prawdziwe są następujące równości:

R15kopoXKK5a9

Na ilustracji przedstawiono dwa rysunki. Na rysunku pierwszym przedstawiono dwie proste równoległe AC i BD, przecinające ramiona kąta. Ramiona kąta, wychodzą z punktu O. Obok widoczny napis. Twierdzenie Talesa. OCw stosunku doOD=OAw stosunku doOB. Na rysunku drugim przedstawiono dwie proste równoległe, które przecinają ramiona kątów wierzchołkowych. Widoczne są dwa trójkąty ACO i BDO, o wspólnym wierzchołku O. Obok widoczny napis. Uogólnione Twierdzenie Talesa. OCw stosunku doOD=OAw stosunku do OB.

Zauważmy też, że z podobieństwa trójkątów $O A C$ oraz $O B D$ wynika także jeszcze jedna proporcja:

\frac{|A C|}{|B D|} = \frac{|O C|}{|O D|} = \frac{|O A|}{|O B|}

Popatrzmy na rysunek przedstawiający schematycznie działanie projektora.

RzOahRXx8nvKH

Ilustracja przedstawia schemat projektora. Z lewej strony mamy pionową strzałkę h z grotem skierowanym w dół. Górny punkt strzałki to punkt C, a dolny to punkt A. Z punktów tych poprowadzono dwa odcinki: A B oraz C D przecinające się w punkcie S. Między punktami B oraz D również poprowadzono pionową strzałkę, jednak z grotem skierowanym w górę. Strzałkę tę opisano jako h prim. Od środka strzałki h do środka strzałki h prim poprowadzono linią przerywaną odcinek przechodzący przez punk przecięcia S. Odcinek między strzałką h a punktem S opisano jako d 1, a odcinek między punktem S a strzałką h prim opisano jako d 2

$S$ jest punktem na soczewce, $h$ i $h^{'}$ oznaczają, odpowiednio wysokość obrazu oryginalnego i obrazu na ekranie. Odległość obrazu oryginalnego od soczewki oznaczona jest symbolem $d_{1}$ , a odległość ekranu od soczewki symbolem $d_{2}$ .

Przykład 3

Przy powyższych oznaczeniach załóżmy, że znamy $d_{1}$ . Obliczymy, w jakiej odległości $d_{2}$ od ekranu ustawić projektor, by obraz na ekranie był $100$ razy większy niż obraz oryginalny.

Z uogólnionego twierdzenia Talesa, gdzie prostymi przecinającymi się są prosta przechodząca przez punkty $A$ , $B$ oraz prosta przedstawiona na rysunku linią przerywaną wynika, że $\frac{\frac{h^{'}}{2}}{\frac{h}{2}} = \frac{d_{2}}{d_{1}}$ , ale wiemy, że $h^{'} = 100 h$ , więc $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 100$ , czyli $d_{2} = 100 d_{1}$ .

Perspektywa w malarstwie

Perspektywa w malarstwie to sposób uzyskania wrażenia głębi na płaskim rysunku. Linie poziome zbiegają się na horyzoncie a linie pionowe zmniejszają się proporcjonalnie do odległości, ale pozostają równoległe. Główną zasadą perspektywy jest to, że pionowe obiekty równej wysokości i równooddalone od siebie przekształca na trapezytrapeztrapezy podobne.

RZ0lBc3F22DrJ

Przedstawiono fotografię pomostu wysuniętego w stronę morza. Zaznaczono linie wzdłuż barier pomostu. Linie przebiegają równolegle i zbiegają się na horyzoncie. — Na obrazie przedstawiona jest fotografia molo w Juracie wraz z zaznaczonymi przykładowymi liniami zbiegającymi się na horyzoncie i odcinkami równoległymi
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Rysunek został wykonany w zgodnie z regułami perspektywy. Latarnie $Q$ , $M$ , $N$ przedstawione na rysunku, mają w rzeczywistości równe wysokości.

Rt0ae6xoz3mpU

Na ilustracji przedstawiono ramiona wychodzące z punktu B. Przedstawiono 3 latarnie, od lewej kolejno, Q, M, i N, które łączą oba ramiona. Najdalej od punktu B znajduje się latarnia oznaczona literą Q. Ma wysokość dwadzieścia. Następnie znajduje się latarnia oznaczona literą M. Ma wysokość piętnaście. Najbliżej punktu B, znajduje się latarnia oznaczona literą N i ma wysokość dziesięć. Zaznaczono poziomą linie, przecinającą punkt B oraz przedstawione latarnie.

Pokażemy, że w rzeczywistości odległość między latarniami $Q$ i $M$ jest inna niż między $M$ i $N$ .

Niech $Q'$ , $M'$ , $N'$ oznaczają punkty przy podstawie latarni. Gdyby odległości między latarniami $Q$ i $M$ oraz $M$ i $N$ były równe, to trapezy $Q' Q M M'$ oraz $M' M N N'$ byłyby podobne. Wtedy stosunki odpowiednich boków, w szczególności podstaw byłyby równe.

Obliczmy $\frac{|Q' Q|}{|M' M|} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ , $\frac{|M' M|}{|N' N|} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ . Te stosunki nie są równe, więc w rzeczywistości odległość między latarniami $Q$ i $M$ jest inna niż między $M$ i $N$ .

Załóżmy, że w rzeczywistości przed latarnią $Q$ stoi latarnia $R$ tej samej wysokości, w tej samej linii co latarnie $Q$ i $M$ oraz taka, że odległości między $Q$ , $R$ i $Q$ , $M$ są równe.

Wyznaczymy wysokość obrazu latarni $R$ .

Stosując analogiczne oznaczenia wyznaczymy długość odcinka $R R'$ w oparciu o podobieństwo trapezów $Q' Q M M'$ oraz $R' R M M'$ .

$\frac{|Q' Q|}{|M' M|} = \frac{|R' R|}{|Q' Q|}$ , stąd $|R' R| = \frac{{|Q' Q|}^{2}}{|M' M|} = \frac{20 \cdot 20}{15} = \frac{80}{3} = 26 \frac{2}{3}$

Wyznaczymy długość odcinków $R Q$ , $Q M$ i $M N$ przyjmując, że na rysunku odcinek $B N$ ma długość $30$ .

Z twierdzenia Talesa $\frac{|B N|}{10} = \frac{|B M|}{15} = \frac{|B Q|}{20} = \frac{3 |B R|}{80}$ . Stąd $|B R| = \frac{80 |B N|}{30}$ , $|B Q| = \frac{20 |B N|}{10}$ .

Zatem $|Q R| = |B R| - |B Q| = (\frac{8}{3} - 2) |B N| = \frac{2 \cdot 30}{3} = 20$ .

Wtedy $|B M| = |B N| + |M N| = \frac{15 \cdot |B N|}{10}$ . Stąd $|M N| = \frac{15 \cdot |B N|}{10} - |B N| = \frac{1}{2} |B N| = 15$ .

Podobnie, $|M Q| = \frac{20 |B N|}{10} - |B N| - |M N| =$ $= 2 |B N| - |B N| - \frac{1}{2} |B N| = \frac{1}{2} |B N| = 15$ .

Przykład 5

Na szczeblach drabiny położono poziomo deski w równych odległościach jak na rysunku.

R9dczBmpEPZU5

Na ilustracji przedstawiono kąt ostry o wierzchołku A. Poprowadzono odcinki łączące ramiona kąta. Kolejno, zaczynając od odcinka znajdującego się najbliżej wierzchołka A, zaznaczono. Odcinek DE. Odcinek FG. Odcinek HI. Odcinek JK. Odcinek LM. Odcinek NO. Wszystkie odcinki są do siebie równoległe.

Pokażemy, że wszystkie trójkąty o wierzchołku $A$ są podobne do trójkąta $A D E$ .

Rozwiązanie

Rzeczywiście, wszystkie odcinki (deski drabiny) są równolegle do siebie, więc z twierdzenia Talesa każdy z trójkątów o wierzchołku $A$ jest podobny do trójkąta $A D E$ .

Dla zainteresowanych

Spośród trapezów utworzonych na drabinie wybierzemy trapez podobny do trapezu $E D H I$ .

Zakładamy, że drabina tworzy trójkąt równoramienny, więc wszystkie trapezy są równoramienne oraz odcinki $A N$ i $A O$ są równe i każdy z nich jest podzielony na $6$ równych odcinków długości $x$ . Niech $y$ oznacza długość odcinka $D E$ . Wtedy z twierdzenia Talesa $|F G| = 2 y$ , $|H I| = 3 y$ itd., więc każdy odcinek poziomy ma długość $m y$ , gdzie $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

R9dczBmpEPZU5

Z własności prostych równoległych, wszystkie trapezy na rysunku mają odpowiednie kąty równe. Wystarczy więc sprawdzić warunek, że stosunki odpowiednich boków są równe.

Jeśli trapez $X Y Z T$ jest podobny do trapezu $E D H I$ , to istnieje $k$ takie, że

$|X Y| = k |D E| = k y$ , $|Z T| = k |H I| = 3 k y$ , $|X Z| = k |D H| = 2 k x$

Z drugiej strony, krótsza podstawa $|X Y| = k y = m y$ , gdzie $m \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , więc $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Jeśli $k = 1$ , to dostajemy trapez $E D H I$ . Jeśli $k = 2$ , to $|Z T| = 6 y$ i wtedy dostajemy trapez $F G N O$ . Trzeba jeszcze sprawdzić ramiona tego trapezu: $|F N| = 4 x = 2 \cdot 2 x = 2 k x$ .

Pokazaliśmy, że trapez $F G N O$ jest podobny do trapezu $E D H I$ .

Innych trapezów podobnych nie ma, bo jeśli $k > 2$ , to $3 k > 6$ , a odcinka poziomego takiej długości nie ma na rysunku.

Aplet

Otwórz aplet.
Poruszaj punktami $C$ i $B$ .
Obserwuj wypisane długości odcinków i ich stosunki.
Poruszaj punktem $G$ , aby zmienić kierunek odcinków równoległych.
Obserwuj wypisane długości odcinków i ich stosunki.
Poruszaj punktami $C$ i $B$ tak, by punkty $B$ i $C$ były po tej samej stronie punktu $O$ .
Obserwuj wypisane długości odcinków i ich stosunki.
Obserwuj kierunki strzałek.

Zapoznaj się z poniższym opisem, a następnie wykonaj Polecenie 1.

Ilustracja przedstawia dwie proste równoległe l i k, które przecinają proste r i p. Proste r oraz p przecinają się w punkcie O i układają się w X. Prosta p przecina prostą l w punkcie A. Punkt ten znajduje się w górnym lewym rogu ilustracji. Następnie prosta p przecina prostą k w punkcie B. Punkt ten znajduje się w dolnym prawym rogu ilustracji. Prosta r przecina prostą l w punkcie C. Punkt ten znajduje się w dolnym lewym rogu ilustracji. Następnie prosta r przecina prostą k w punkcie D. Punkt ten znajduje się w górnym prawym rogu ilustracji. Stosunek boków jest stały: $\frac{|O C|}{|O D|} = \frac{|O A|}{|O B|}$ .

R1KR8OGD4LRX2

Polecenie 1

R17MB3VF8UCDJ

R192FXL2HTUA5

Uzupełnij luki podanymi pojęciami. Ilustracja przedstawia dwie proste równoległe l i k, które przecinają proste r i p. Proste r oraz p przecinają się w punkcie O i układają się w X. Prosta p przecina prostą l w punkcie A. Punkt ten znajduje się w górnym lewym rogu ilustracji. Następnie prosta p przecina prostą k w punkcie B. Punkt ten znajduje się w dolnym prawym rogu ilustracji. Prosta r przecina prostą l w punkcie C. Punkt ten znajduje się w dolnym lewym rogu ilustracji. Następnie prosta r przecina prostą k w punkcie D. Punkt ten znajduje się w górnym prawym rogu ilustracji.

Stosunek których boków jest stały?
długość odcinka, O C, koniec długości odcinka, podzielić na1. Tak.

, 2. długość odcinka, O A, koniec długości odcinka, 3. długość odcinka, O B, koniec długości odcinka, 4. Tak., 5. Nie., 6. długość odcinka, O D, koniec długości odcinka, 7. Nie. równa się1. Tak., 2. długość odcinka, O A, koniec długości odcinka, 3. długość odcinka, O B, koniec długości odcinka, 4. Tak., 5. Nie., 6. długość odcinka, O D, koniec długości odcinka, 7. Nie. podzielić na1. Tak., 2. długość odcinka, O A, koniec długości odcinka, 3. długość odcinka, O B, koniec długości odcinka, 4. Tak., 5. Nie., 6. długość odcinka, O D, koniec długości odcinka, 7. Nie.

Czy zmiana kąta nachylenia prostych k i l ma wpływ na zmianę stosunku długości odcinków?
1. Tak., 2. długość odcinka, O A, koniec długości odcinka, 3. długość odcinka, O B, koniec długości odcinka, 4. Tak., 5. Nie., 6. długość odcinka, O D, koniec długości odcinka, 7. Nie.

Czy zmiana długości boków podanych odcinków uzyskana poprzez przesunięcie jednej z prostych k lub l w prawo lub lewo wpływa na stosunek tych boków?
1. Tak., 2. długość odcinka, O A, koniec długości odcinka, 3. długość odcinka, O B, koniec długości odcinka, 4. Tak., 5. Nie., 6. długość odcinka, O D, koniec długości odcinka, 7. Nie.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R11S8XB73AU3U1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Na podstawie rysunku uzupełnij luki w poniższych zdaniach.

RJH9Ig6QUkA68

Na ilustracji przedstawiono prostą X oraz Y, przecinające się w punkcie A. Prosta X jest pozioma. Po lewej stronie punktu A, zaznaczono punkt K, znajdujący się na prostej X. Po prawej stronie punktu A, na prostej X, zaznaczono punkt E oraz J. Na prostej Y, zaznaczono punkt N oraz L, znajdujący się po lewej stronie punktu A. Po prawej stronie punktu A, zaznaczono punkt D, I oraz O. Kolorem zielonym zaznaczono odcinek KL, łączący prostą X i Y. Kąt wewnętrzny trójkąta AKL, przy wierzchołku K jest równy beta. Kolorem czerwonym zaznaczono odcinek KN. Kąt wewnętrzny trójkąta KLN, przy wierzchołku N jest równy alfa. Po prawej stronie punktu A, zaznaczono. Zielonym kolorem odcinek DE oraz IJ. Czerwonym kolorem zaznaczono odcinek EI oraz JO. Kąt wewnętrzny w trójkącie ADE, przy wierzchołku E jest równy beta. Kąt wewnętrzny w trójkącie EIJ, przy wierzchołku J, również jest równy beta. Kąt wewnętrzny w trójkącie DEI, przy wierzchołku I, jest równy alfa. Kąt wewnętrzny w trójkącie IJO, przy wierzchołku O, jest równy alfa.

RPwO0DQQ6LKpy

Ćwiczenie 3

Na rysunku dwie przecinające się proste przecięte są trzema równoległymi odcinkami. Zaznacz Prawda lub Fałsz.

R13H9E4D3B375

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste przecinające się w punkcie P, które przecięto trzema równoległymi odcinkami: r po lewej stronie od punktu P oraz odcinkami s i t po prawej stronie od punktu P. Odcinki r, s, t wycięły z prostych kilka odcinków. Między odcinkiem r a punktem P wyżej znajduje się odcinek c, a pod nim na drugiej prostej znajduje się odcinek a. Między punktem P a odcinkiem s wyżej położony jest odcinek b, a poniżej odcinek d. Między odcinkami s i t powyżej leży odcinek e, a poniżej f. Czyli reasumując, odcinki a, b, e leżą na jednej prostej, natomiast odcinki c, d, f na drugiej prostej.

RLEBJ6V6HMG79

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawione są dwa trójkąty, w których kąty $γ$ i $δ$ mają równe miary. Ponadto, $a$ jest najdłuższym bokiem w trójkącie $A B C$ , a $f$ jest najdłuższym bokiem w trójkącie $D E F$ .

R5H1i9xNZnSiK

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC oraz DEF. W trójkącie ABC, podstawę stanowi odcinek BC, oznaczony małą literą a. Bok AC oznaczono małą literą b, natomiast bok AB oznaczono małą literą c. Zaznaczono kąty wewnętrzne w trójkącie ABC. Kąt przy wierzchołku A, oznaczono alfa. Kąt przy wierzchołku B, oznaczono beta. Kąt przy wierzchołku C, zaznaczono gamma. W trójkącie DEF, podstawę trójkąta stanowi odcinek EF, oznaczony małą literą d. Bok DF oznaczono małą literą e. Bok DE oznaczono małą literą f. Zaznaczono kąty wewnętrzne w trójkącie DEF. Kąt przy wierzchołku D, oznaczono delta. Kąt przy wierzchołku F zaznaczono dzeta. Kąt przy wierzchołku E zaznaczono epsilon.

RuDuIxoUpJkaZ

RI9KuvFaapei0

Ćwiczenie 5

Pokaż, że trójkąty $1$ , $2$ , $3$ , $4$ na rysunku są podobne do trójkąta $A B C$ .

R5ES15J2oV9PB

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, którego pionowa przyprostokątna BC ma długość 3, pozioma przyprostokątna AB ma długość 4, a przeciwprostokątna AC ma długość pięć. Na przeciwprostokątnej AC zbudowano 4 trójkąty prostokątne w taki sposób, że ich przeciwprostokątne są osadzone na boku AC, czyli suma długości przeciwprostokątnych wynosi pięć. Prostokąty osadzone na boku AC są ustawione w kolejności od 1 do 4, przy czym najmniejszy jest trójkąt 2, większy jest trójkąt 3, większy od 3 jest trójkąt 1, a największy jest trójkąt cztery. Stosunki przyprostokątnych w każdym z trójkątów osadzonych na boku AC są takie same, czyli wynoszą 3 do czterech.

Z twierdzenia Talesa trójkąt $1$ jest podobny do trójkąta $A B C$ .

Podobieństwo par trójkątów:

$1$ , $2$ ; $2$ , $3$ ; $3$ , $4$ wynika z uogólnienia twierdzenia Talesa.

Ponieważ relacja podobieństwa jest przechodnia, to każdy z trójkątów $1$ , $2$ , $3$ , $4$ jest podobny do trójkąta $A B C$ .

Ćwiczenie 6

Na rysunku poniżej odcinki $A B$ , $C D$ i $E F$ są równoległe oraz podane są długości wybranych odcinków.

Rh0CcuXbKUbrW

Na ilustracji przedstawiono dwie proste przecinające się w punkcie O. Po lewej stronie punktu O, poprowadzono odcinek EF o długości 4, łączący dwie proste. Po prawej stronie punktu O, poprowadzono odcinki łączące dwie proste. Odcinek AB o długości 4, oraz CD o długości pięć. Punkty B, D, F, O oraz A, C, E, O są współliniowe, Odcinek BO jest równy cztery. Odcinek AO jest równy pięć.

RCPmFrIKkgfux

Zauważ, że z twierdzenia Talesa trójkąty $O A B$ , $O C D$ i $O E F$ są podobne.

Ćwiczenie 7

Dla każdego z trójkątów $1$ , $2$ , $3$ , $4$ z rysunku poniżej wyznacz w jakiej skali jest on podobny do trójkąta $A B C$ .

R5ES15J2oV9PB

Trójkąt $1$ ma bok długości $1$ kratki, a odpowiadający mu bok $A B$ w trójkącie $A B C$ ma długość $4$ kratek, więc jest podobny w skali $k = \frac{1}{4}$ .

Niech $x$ oznacza długość pionowego boku trójkąta $1$ . Z podobieństwa tego trójkąta do trójkąta $A B C$ wynika, że $\frac{x}{3} = \frac{1}{4}$ , więc $x = \frac{3}{4}$ kratki. Stąd pionowy bok trójkąta $2$ ma długość $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ kratki. Skala podobieństwa trójkąta $2$ do trójkąta $1$ jest równa $l = \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{1}{3}$ . Z własności podobieństwa trójkąt $2$ jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali $l \cdot k = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ .

Niech $x$ oznacza długość boku poziomego trójkąta $2$ . Z podobieństwa tego trójkąta do trójkąta 1 wynika, że $\frac{x}{1} = \frac{1}{3}$ , więc $x = \frac{1}{3}$ kratki. Stąd poziomy bok trójkąta $3$ ma długość $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ kratki. Skala podobieństwa trójkąta $3$ do trójkąta $2$ jest równa $s = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2$ . Z własności podobieństwa trójkąt $3$ jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali $s \cdot l \cdot k = \frac{1}{12} \cdot 2 = \frac{1}{6}$ .

Niech $x$ oznacza długość boku pionowego trójkąta $3$ . Z podobieństwa tego trójkąta do trójkąta $2$ wynika, że $x : \frac{1}{4} = 2$ , więc $x = \frac{1}{2}$ kratki. Stąd pionowy bok trójkąta $4$ ma długość $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ kratki. Skala podobieństwa trójkąta $4$ do trójkąta $3$ jest równa $t = \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = 3$ . Z własności podobieństwa trójkąt $4$ jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali $t \cdot s \cdot l \cdot k = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ .

R19u9TZq1s99t

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest schemat działania projektora. Uzupełnij luki i wybierz poprawne odpowiedzi.

R1ZK5CM1STJON

R1SMBQBK7SMN9

Ćwiczenie 9

Na rysunku zaznaczono długości odcinków, odcinki niebieskie oraz odcinki czerwone są równoległe.

R3SEPQ7872N5V

R1D6XFAKLOGGE

R1GP3TKM3R4RO

Ćwiczenie 10

R13OGS6MLN14C

Ilustracja przedstawia dwa równoległe odcinki: A P, gdzie punkt P leży nad A oraz B Q, gdzie punkt B leży nad punktem Q. Końce tych odcinków połączono dwoma odcinkami przecinającymi się w punkcie O. Odcinki te to P Q oraz A B.

Na rysunku odcinki $A P$ i $B Q$ są równe i równoległe. Pokaż, że:

punkt $O$ jest środkiem odcinków $A B$ i $P Q$ ,
trójkąty $A P O$ i $B Q O$ są przystające.

$\frac{|O A|}{|A P|} = \frac{|O B|}{|B Q|}$ . Ponieważ $|A P| = |B Q|$ , to $|O A| = |O B|$ .
Podobnie, $\frac{|O P|}{|A P|} = \frac{|O Q|}{|B Q|}$ . Ponieważ $|A P| = |B Q|$ , to $|O P| = |O Q|$ .
Z udowodnionych równości wynika, że rozważane trójkąty mają równe odpowiednie boki, więc spełniona jest cecha przystawania bok‑bok‑bok.
Przypomnijmy, cecha przystawania trójkątów bok - bok – bok mówi o tym, że jeżeli odpowiednie boki trójkątów są równe to trójkąty są przystające.

Ćwiczenie 11

Działka budowlana o powierzchni $1025 m^{2}$ ma kształt trapezu o podstawach $32 m$ i $50 m$ . Działkę tę podzielono prostą równoległą do podstaw trapezu na dwie działki będące trapezami podobnymi. Oblicz pole każdej z nowo powstałych działek.

Niech $x$ oznacza długość odcinka wyznaczonego przez prostą równoległą do podstaw. Ponieważ wyznaczone trapezy są podobne, to $\frac{32}{x} = \frac{x}{50}$ , więc $x^{2} = 32 \cdot 50 = 1600$ i $x = 40$ .

Niech $T_{1}$ oznacza trapez o podstawach $32$ , $40$ , $P_{1}$ oznacza jego pole, a $h_{1}$ – wysokość.

Analogicznie, $T_{2}$ oznacza trapez o podstawach $40$ , $50$ , a $P_{2}$ , $h_{2}$ jego pole i wysokość, odpowiednio.

Skala podobieństwa $T_{1}$ do $T_{2}$ wynosi $k = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$ . Wtedy stosunek pól wynosi $\frac{P_{1}}{P_{2}} = k^{2} = \frac{16}{25}$ .

Zatem $P_{1} = \frac{16}{25} P_{2}$ oraz $P_{1} + P_{2} = 1025$ . Stąd $P_{2} = 1025 \cdot \frac{25}{41} = 625$ , a $P_{1} = 400$ .

Słownik

cechy podobieństwa trójkątów

warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne

cecha podobieństwa bok – bok – bok

jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne

cecha podobieństwa kąt – kąt – kąt

jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne

cecha podobieństwa bok – kąt – bok

jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne

cechy przystawania trójkątów

to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były przystające

cecha przystawania bok‑bok‑bok

przystawanie odpowiednich boków

cecha przystawania bok‑kąt‑bok

przystawanie dwóch boków i kąta między nimi

cecha przystawania kąt‑bok‑kąt

przystawanie dwóch kątów i boku będącego ramionami kątów

cecha przystawania bok‑bok‑kąt

przystawanie dwóch boków i kąta naprzeciw dłuższego z nich

cecha przystawania bok‑kąt‑kąt

przystawanie dwóch kątów i boku leżącego naprzeciw wskazanego spośród nich

trapez

czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

punkty współliniowe

co najmniej $3$ punkty, które leżą na jednej prostej

3. Twierdzenie Talesa

5. Zastosowanie twierdzenia Talesa i podobieństwa