1. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

R1A5AXECM9DZO

Termin wartość bezwzględna jest używany od co najmniej $1806$ roku.

Oznaczenie $|a|$ zostało wprowadzone przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa w $1841$ roku.

Innym oznaczeniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej $a$ , stosowanym przede wszystkim w informatyce, jest $abs (a)$ .

R1HGM9QELPOLE

Na portrecie znajduje się postać starszego siwego mężczyzny w pozycji siedzącej, który opiera się prawą ręką o drewniany zdobiony stolik. Mężczyzna jest ubrany w ciemny garnitur, patrzy w dal. Tło jest ciemne. — Karl Weierstrass
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Twoje cele

Poznasz definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej .
Obliczysz wartość liczbową wyrażenia zawierającego wartość bezwzględną liczby rzeczywistej.
Wyznaczysz liczby spełniające warunki, zapisane przy użyciu wartości bezwzględniej.
Korzystając z definicji modułu, zapiszesz wartości wyrażeń bez użycia symbolu wartości bezwzględniej.

Wiesz już, że wartość bezwzględna liczby $a$ jest odległością tej liczby od liczby zero na osi liczbowej. Jest zatem zawsze liczbą nieujemną.

Algebraicznie wartością bezwzględną liczby rzeczywistej $a$ nazywamy:

liczbę $a$ , jeśli liczba $a$ jest nieujemna;
liczbę przeciwną do $a$ , jeśli liczba $a$ jest ujemna.

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistejWartość bezwzględną liczby rzeczywistej $a$ oznaczamy $|a|$ .

Powyższą definicję możemy zapisać za pomocą wzoru:

|a| = \{\begin{matrix} a, dla a \geq 0 \\ - a, dla a < 0 \end{matrix}

Przykład 1

Oblicz $|3|$ .

W tym przypadku liczba $a = 3 > 0$ , a więc $|a| = a$ .

Zatem $|3| = 3$ .

Przykład 2

Oblicz $|- 12|$ .

W tym przypadku liczba $a = - 12 < 0$ , a więc $|a| = - a$ .

Zatem $|- 12| = - (- 12) = 12$ .

Przykład 3

Oblicz $|7 - \sqrt{7}|$ .

Podobnie jak w poprzednich przykładach, musimy zacząć od określenia znaku liczby zapisanej pod znakiem wartości bezwzględnej.

W tym przypadku liczba $a = 7 - \sqrt{7} = \sqrt{49} - \sqrt{7} > 0$ .

Zatem $|a| = a$ .

Stąd wynika, że:

|7 - \sqrt{7}| = 7 - \sqrt{7}

Przykład 4

Oblicz $|2 - \sqrt{5}|$ .

Ponownie określamy znak liczby $a$ .

W tym przykładzie liczba $a = 2 - \sqrt{5} = \sqrt{4} - \sqrt{5} < 0$ .

Zatem $|a| = - a$ .

Stąd wynika, że:

|2 - \sqrt{5}| = - (2 - \sqrt{5}) = - 2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2

Ważne!

Pamiętaj, że przy obliczaniu wartości wyrażeń zawierających wartość bezwzględną liczby $a$ , należy stosować zasady wynikające z kolejności wykonywania działań.

Przykład 5

Oblicz $|2 - (3 + \frac{2}{3})| - |\frac{1}{3} - 4|$ .

Wykonujemy wskazane działania.

|2 - (3 + \frac{2}{3})| - |\frac{1}{3} - 4| =

= |2 - 3 \frac{2}{3}| - |\frac{1}{3} - 4| =

Wykonujemy działania zapisane pod znakiem wartości bezwzględnej.

= |- 1 \frac{2}{3}| - |- 3 \frac{2}{3}| =

Obliczamy wartości bezwzględne liczb, które występują w wyrażeniu.

= 1 \frac{2}{3} - 3 \frac{2}{3} =

Wykonujemy działanie.

= 1 \frac{2}{3} - 3 \frac{2}{3} = - 2

Przykład 6

Oblicz $|2 \sqrt{3} - 4| - |4 + 2 \sqrt{3}|$ .

Określamy znaki wyrażeń, których moduły chcemy obliczyć.

2 \sqrt{3} - 4 = \sqrt{12} - \sqrt{16} < 0

więc $|2 \sqrt{3} - 4| = 4 - 2 \sqrt{3}$

4 + 2 \sqrt{3} > 0

więc $|4 + 2 \sqrt{3}| = 4 + 2 \sqrt{3}$

Aby uniknąć pomyłek przy zapisywaniu znaków, zastępujemy moduły nawiasami.

|2 \sqrt{3} - 4| - |4 + 2 \sqrt{3}| =

= (4 - 2 \sqrt{3}) - (4 + 2 \sqrt{3}) =

Opuszczamy nawiasy.

= 4 - 2 \sqrt{3} - 4 - 2 \sqrt{3} =

Wykonujemy działania.

= 4 - 2 \sqrt{3} - 4 - 2 \sqrt{3} = - 4 \sqrt{3}

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji, a następnie wykonaj polecenie poniżej.

R12D1KZEFQZQ1

Polecenie 1

Oblicz wartość każdego z wyrażeń, korzystając z definicji wartości bezwzględnej.

$|6 - 3 \frac{1}{4}|$
$|2 - 4,3|$
$|5 - \sqrt{6}|$
$|3 - \sqrt{10}|$
$|4 - \sqrt{2}| - \sqrt{2}$
$\sqrt{7} - |3 + \sqrt{7}|$
$|3,5 - 2 \sqrt{3}| - |5 \frac{1}{2} - 4 \sqrt{3}|$

$2 \frac{3}{4}$
$2,3$
$5 - \sqrt{6}$
$\sqrt{10} - 3$
$4 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$
$\sqrt{7} - 3 - \sqrt{7} = - 3$
$3,5 - 2 \sqrt{3} - (- 5,5 + 4 \sqrt{3}) = 3,5 - 2 \sqrt{3} + 5,5 - 4 \sqrt{3} = 9 - 6 \sqrt{3}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1TBVHQQQOBSA1

Ćwiczenie 1

R1BLHTNQOV97X1

Ćwiczenie 2

RNLBOEJZQ6FGB2

Ćwiczenie 3

R1X47DVSAFZQ62

Ćwiczenie 4

R1OZL8NJFRAA42

Ćwiczenie 5

R1FVRFD2ZDFGC2

Ćwiczenie 6

RXSG4ZXSV2O483

Ćwiczenie 7

R1T2VF76UQSLL3

Ćwiczenie 8

Słownik

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

a

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

a

liczba $a$ , jeśli liczba $a$ jest nieujemna;
liczba przeciwna do $a$ , jeśli liczba $a$ jest ujemna

2. Odległość między liczbami na osi liczbowej. Geometryczne interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej

Wartość bezwzględna liczby