2. Odległość między liczbami na osi liczbowej. Geometryczne interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej - Wartość bezwzględna liczby

RNDOBHF2U3UBS

2. Odległość między liczbami na osi liczbowej. Geometryczne interpretacja wartości bezwzględnej.

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej $a$ nazywana jest też modułem liczby $a$ . Ma ona ścisły związek z pojęciem odległości.

Termin moduł wprowadził w $1806$ roku szwajcarski księgarz, amatorsko zajmujący się matematyką, Jean–Robert Argand. Pojęcie to oznaczało w języku francuskim jednostkę miary.

R118NKODZ8PHR

Na portrecie znajduje się posiwiały dojrzały mężczyzna, patrzący na wprost. Twarz mężczyzny jest bardzo jasna, natomiast tło oraz jego ubiór są czarne poza kołnierzykiem, który jest biały. — Jean‑Robert Argand
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

W tym materiale poznasz interpretację geometryczną modułu (wartości bezwzględnej).

Twoje cele

Utrwalisz pojęcie liczby przeciwnej do liczby rzeczywistej $a$ .
Nauczysz się zaznaczać na osi liczbowej przedziały określane za pomocą wartości bezwzględnej liczby.
Nauczysz się zapisywać za pomocą wartości bezwzględnej przedziały przedstawione na osi liczbowej.
Poznasz definicję geometryczną wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej $a$ .

Przypomnij sobie informacje dotyczące osi liczbowej.

Każdemu punktowi na osi liczbowej jest przyporządkowana liczba, którą nazywamy jego współrzędną. Po prawej stronie zera znajdują się liczby dodatnie, a po lewej liczby ujemne. Liczby, które znajdują się na osi liczbowej po przeciwnych stronach punktu o współrzędnej zero i w takiej samej odległości od niego nazywamy liczbami przeciwnymi.

Liczbę przeciwną do liczby $a$ , oznaczamy $- a$ .

R19DGBCC4AT3S

Ilustracja przedstawia oś iks z opisanymi wartościami od minus osiem do osiem. Od punktu minus pięć i pięć poprowadzono w górę dwie proste które łączą się nad wartością zero. Ten punkt opisano jako liczby przeciwne. Na osi opisano też punkt o współrzędnej zero i minus siedem.

Przykład 1

Zaznacz na osi liczbowej punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i $E$ , których współrzędne wynoszą odpowiednio $0$ , $2$ , $- 3$ , $3$ , $- 2$ .

Zaznacz, które z nich określają liczby przeciwneliczby przeciwneliczby przeciwne.

RJ4L19BZZ24K5

Ilustracja przedstawia oś iks z opisanymi wartościami od minus siedem do siedem. Od punktu minus trzy i trzy poprowadzono w górę dwie proste które łączą się nad wartością zero, te dwa punkty oznaczono odpowiednio jako ce i de. Od punktu minus dwa i dwa poprowadzono w dół dwie proste które łączą się pod wartością zero, te dwa punkty oznaczono odpowiednio jako e i be. Na osi opisano też punkt o współrzędnej zero oznaczając go a.

Przykład 2

Zaznacz na osi liczbowej punkty o współrzędnych $- 5$ , $0$ , $5$ i oznacz je odpowiednio $A$ , $B$ , $C$ .

Zaznacz na rysunku i zapisz odległość punktu $A$ od punktu $B$ oraz odległość punktu $C$ od punktu $B$ .

R1N259AF7JQ5U

Ilustracja przedstawia oś iks z opisanymi wartościami od minus sześć do sześć. Punkty minus pięć, zero i pięć oznaczono jako a, be i ce. Między nimi od a do be i od be do ce, odległości opisano jako pięć jednostek

Odległość punktów $A$ i $B$ wynosi $5$ jednostek, co zapisujemy $|A B| = 5$ .

Odległość punktów $B$ i $C$ wynosi $5$ jednostek, co zapisujemy $|B C| = 5$ .

Podsumowując:

Odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej, to wartość bezwzględnawartość bezwzględna liczby awartość bezwzględna tej liczby, co zapisujemy $|a|$ .

R1R2JVVL1PXD2

Ilustracja przedstawia oś x, na której opisano punkty minus a, zero i a. Odległości między nimi opisano odpowiednio od minus a do zero jako wartość bezwzględna z, minus, a, koniec wartości bezwzględnej, odległość od zero do a opisano jako wartość bezwzględna z, a, koniec wartości bezwzględnej.

W tym przykładzie możemy zauważyć, że $|5| = 5$ oraz $|- 5| = 5$ .

A zatem wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe:

$|- a| = |a|$

Przykład 3

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają warunki.

a) $|a| = 3$

Warunek ten określa wszystkie liczby, których odległość od zera na osi liczbowej jest równa $3$ .

R1HJ1A91LQX9A

Ilustracja przedstawia oś x z opisanymi na niej wartościami od minus sześć do sześć. Od punktów minus trzy do zero opisano odległość jako wartość bezwzględna z, minus, 3, koniec wartości bezwzględnej. Od punktu zero do punktu trzy odległość opisano jako wartość bezwzględna z, 3, koniec wartości bezwzględnej.

$a = - 3$ lub $a = 3$

b) $|b| = 5$

A zatem są to wszystkie liczby, których odległość od zera na osi liczbowej jest równa $5$ .

RBT4U3ZEFVVQD

Ilustracja przedstawia oś x z opisanymi na niej wartościami od minus sześć do sześć. Od punktów minus pięć do zero opisano odległość jako wartość bezwzględna z, minus, 5, koniec wartości bezwzględnej. Od punktu zero do punktu pięć odległość opisano jako wartość bezwzględna z, 5, koniec wartości bezwzględnej.

$b = - 5$ lub $b = 5$

c) $|c| = 0,5$

Są to wszystkie liczby, których odległość od zera na osi liczbowej jest równa $0,5$ .

RTD37U25L343A

Ilustracja przedstawia oś x, na której opisano punkty od minus dwa do dwa co pół jednostki. Od punktu minus pół do zero opisano odległość wartość bezwzględna z, minus, 0,5, koniec wartości bezwzględnej. Od punktu zero do pół opisano odległość jako wartość bezwzględna z, 0,5, koniec wartości bezwzględnej.

$c = - 0, 5$ lub $c = 0, 5$

Przykład 4

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają podane warunki.

a) $|a| \leq 4$

Warunek ten określa wszystkie liczby, których odległość od zera na osi liczbowej jest niewiększa od $4$ .

R1CTTLTLPGT79

Ilustracja przedstawia oś iks, na której opisano wartości od minus sześć do sześć. Od wartości minus cztery do cztery wydzielono innym kolorem przedział.

$a \geq - 4$ i $a \leq 4$

$a \in ⟨- 4, 4⟩$

b) $|b| \geq 3$

A zatem są to wszystkie liczby, których odległość od zera na osi liczbowej jest niemniejsza od $3$ .

R1U5KFCQZQ48B

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano wartości od minus sześć do sześć. Od punktu minus trzy w lewo i od punktu trzy w prawo oznaczono przedziały innym kolorem. Na osi zaznaczony został punkt 0. Wszystkie punkty są zamalowane.

$b \leq - 3$ i $b \geq 3$

$b \in (- \infty, - 3⟩ \cup ⟨3, \infty)$

Przykład 5

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają podany warunek.

a) $|x| < 5$

Warunek ten określa wszystkie liczby, których odległość od zera na osi liczbowej jest mniejsza od $5$ .

R1QFBK63ZL8TH

Ilustracja przedstawia oś iks, na której opisano wartości od minus siedem do siedem. Od wartości minus pięć do pięć wydzielono innym kolorem przedział. Punkty zaznaczone zostały niezamalowaną kropką.

$x > - 5$ i $x < 5$

$x \in (- 5, 5)$

b) $|z| > 6$

A zatem są to wszystkie liczby, których odległość od zera na osi liczbowej jest większa od $6$ .

R178TFV74FU22

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano wartości od minus siedem do siedem. Od punktu minus sześć w lewo i od punktu sześć w prawo oznaczono przedziały innym kolorem. Punkty zaznaczone zostały niezamalowaną kropką.

$z < - 6$ i $z > 6$

$z \in (- \infty, - 6) \cup (6, \infty)$

Zajmijmy się teraz odległością między dwoma liczbami na osi liczbowej.

Odległość liczb $a$ i $b$ na osi liczbowejOdległość liczb $a$ i $b$ na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb $a$ i $b$ i oznaczamy ją $|a - b|$ .

RQZSA926Z76TQ

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano punkty minus a, zero i be. Odległość między punktami minus i be opisano jako wartość bezwzględna z, a, minus, b, koniec wartości bezwzględnej.

Przykład 6

Oblicz odległość między punktami zaznaczonymi na osi liczbowej.

R1PO247LSXZ32

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano wartości od minus dziewięć do dziewięć. Punkt dwa opisano jako a, punkt sześć opisano jako be.

$|A B| = |2 - 6| = |- 4| = 4$

R16A8BMOUTQ8A

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano wartości od minus dziewięć do dziewięć. Punkt minus cztery opisano jako a, punkt osiem opisano jako be.

$|A B| = |- 4 - 8| = |- 12| = 12$

R13PBFREMT422

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano wartości od minus dziewięć do dziewięć. Punkt minus siedem opisano jako a, punkt minus jeden opisano jako be.

$|A B| = |- 7 - (- 1)| = |- 7 + 1| = |- 6| = 6$

Ilustracja interaktywna

Zapoznaj się z przedstawionymi przykładami, a następnie wykonaj polecenie zamieszczone poniżej.

R1OZ7LU1NUC6Q

Znajdź liczby A spełniające podane warunki. Przykład jeden. Na ilustracji znajdują się dwie osie. Pierwsza oś X obejmuje liczby od jednego do dziesięciu z zaznaczoną liczbą pięć. Druga oś X również obejmuje liczby od jednego do dziesięciu z zaznaczoną liczbą pięć. Od punktu pięć rozchodzą się strzałki w lewą i prawą stronę. W stronę prawą do punktu sześć, do punktu siedem oraz do punktu osiem. W stronę lewą do punktu cztery, trzy oraz dwa. W obu przypadkach liczba pięć oznaczona jest jako X. Powyżej osi znajduje się równanie wartość bezwzględna A minus pięć równa się trzy. Poniżej osi: A równa się dwa lub A równa się osiem. Wartość bezwzględna A minus B to odległość liczb A i B na osi liczbowej. Szukamy liczby A, której odległość od liczby pięć wynosi trzy jednostki. Spróbujmy przedstawić sytuację na osi liczbowej. Szukamy liczb, które znajdują się o trzy jednostki w prawo lub trzy jednostki w lewo od liczby pięć. Zatem szukane liczby to dwa oraz osiem. Przykład dwa. Na ilustracji znajdują się dwie osie. Pierwsza oś X obejmuje liczby od jednego do dziesięciu, zaznaczone na niej kropkami są liczby dwa, pięć oraz osiem. Druga oś X również obejmuje liczby od jednego do dziesięciu, zaznaczone na niej kropkami są liczby dwa, pięć oraz osiem. Na drugiej osi pole pomiędzy liczbą dwa a osiem zaznaczone jest inną barwą. Powyżej osi widnieje równanie wartość bezwzględna A minus pięć jest mniejsza lub równa trzy. Poniżej osi: A należy do otwarcie nawiasu ostrokątnego dwa przecinek osiem zamknięcie nawiasu ostrokątnego. Wartość bezwzględna A minus B to odległość liczb A i B na osi liczbowej. Szukamy liczby A, której odległość od liczby pięć wynosi nie więcej niż trzy jednostki. Korzystając z przykładu jeden, zaznaczamy liczby, które spełniają warunek wartość bezwzględna z A minus pięć równa się trzy. Zaznaczamy liczby, które spełniają warunek wartość bezwzględna z A minus pięć jest mniejsza lub równa trzy. Zatem szukane liczby to przedział domknięty od dwa do osiem. Przykład trzy. Na ilustracji znajdują się dwie osie. Pierwsza oś X obejmuje liczby od jednego do dziesięciu, zaznaczone na niej kropkami są liczby dwa, pięć oraz osiem. Druga oś X obejmuje liczby od jednego do dziesięciu, zaznaczone na niej są kropkami liczby dwa, pięć i osiem. Kropka nad liczbą pięć posiada inny kolor niż kropki nad osiem oraz dwa. Od cyfry osiem do prawej strony oznaczone jest pole inną barwą, tak samo od cyfry dwa do lewej strony. Powyżej osi znajduje się równanie wartość bezwzględna z A minus pięć jest większa niż trzy. Poniżej osi: A należy do otwarcie nawiasu minus nieskończoność przecinek dwa zamknięcie nawiasu U otwarcie nawiasu osiem przecinek nieskończoność zamknięcie nawiasu. Wartość bezwzględna A minus B to odległość liczb A i B na osi liczbowej. Szukamy liczby A, której odległość od liczby pięć wynosi więcej niż trzy jednostki. Korzystając z przykładu jeden zaznaczamy liczby, które spełniają warunek wartość bezwzględna A minus pięć równa się trzy. Zaznaczamy liczby, które spełniają warunek wartość bezwzględna z A minus pięć jest większa niż trzy. Zatem szukane liczby należą do przedziału otwartego od minus nieskończoność do dwa lub od osiem do nieskończoność.

Polecenie 1

Zaznacz na osi liczbowej i wypisz liczby $x$ , spełniające podane warunki.

a) $|x - 3| = 2$

b) $|x - 1| \leq 3$

c) $|x - 4| > 1$

R1UMXGVKFZHZH

Ilustracja przedstawia poziomą os X od minus pięciu do siedmiu. Na osi zaznaczono zamalowanymi kółkami punkty 1, 3 oraz 5; z punktu 3 poprowadzono łukowate strzałki - jedną w prawo do punktu 4, a drugą w lewo do punktu dwa. Następnie z punktu dwa poprowadzono kolejną łukowatą strzałkę do punktu 1, a z punktu 4 poprowadzono strzałkę do punktu pięć.

$x = 1$ lub $x = 5$

R1LOVAZCNR6LD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do siedmiu. Na osi zaznaczono przedział domknięty od minus dwóch do czterech oraz wyróżniono zamalowanymi kółkami punkty: minus 2, minus 1 oraz cztery. Poziomymi klamrami zaznaczono dwie części przedziału: lewą część od minus dwóch do jeden i opisano ją "3 jednostki" oraz prawą część od jeden do czterech i opisano ją jako 3 jednostki.

$x \in ⟨- 2, 4⟩$

R1U9QDP68DEK2

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do siedmiu. Na osi zaznaczono dwa przedziały otwarte: pierwszy od minus nieskończoności do trzech oraz drugi od pięciu do plus nieskończoności. Punkt 4 wyróżniono zamalowanym kółkiem. Obszar od trzech do czterech oznaczono poziomą klamrą i opisano jako jedna jednostka. Również obszar od czterech do pięciu oznaczono poziomą klamrą i opisano jako jedna jednostka.

$x \in (- \infty, 3) \cup (5, \infty)$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1DEGM797NJT2

R1HUFJ1QA7BN5

Ćwiczenie 2

Na osi liczbowej zaznaczone są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ i $G$ . Wskaż pary punktów, których współrzędne są liczbami przeciwnymi.

RTECN6L9L3FMC

Na osi X na której opisano wartości od minus sześć do siedem i wyróżniono następujące punkty: minus sześć to A, minus cztery to B, minus jeden to C, jeden to G, dwa to D, cztery to E, sześć to F.

R58J4C2RFAB3E

RATJX2T1V59QL2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Wskaż opis zbioru przedstawionego na rysunku.

R644K17B9SBSX

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do siedmiu. Na osi zaznaczono przedział otwarty od minus pięciu do pięciu.

RG1K7E8ZP1Z96

Ćwiczenie 5

Przyporządkuj opisy zbiorów przedstawionych na rysunkach do odpowiedniego rysunku. Przyciągnij prawidłowe odpowiedzi.

Rysunek 1

R1E6TAS42O5J5

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano wartości od minus siedem do siedem. Od minus do cztery oznaczono przedział innym kolorem. Oba punkty są niezamalowane.

Rysunek 2

R1DSLAG26AAX2

Ilustracja przedstawia oś iks na której opisano wartości od minus siedem do siedem. Od minus trzy w lewo i od trzy w prawo oznaczono przedziały. Oba punkty są zamalowane.

RUEC62ZR4MTJR

RDSR2VLCHQFRG2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Rozwiązanie jakiej nierówności przedstawiono na rysunku?

R18LGVJTU8H2K

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do dziewięciu. Na osi zaznaczono dwa przedziały: prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus jeden i lewostronnie domknięty od siedem do plus nieskończoności.

R1PR79N8RXC4T

Ćwiczenie 8

R1LSX4GDMSPJB

RSACT4EOMTOLF

Słownik

liczby przeciwne

liczby, które znajdują się na osi liczbowej po przeciwnych stronach punktu o współrzędnej zero, w takiej samej odległości od niego

wartość bezwzględna liczby a

odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej

odległość liczb a i b na osi liczbowej

wartość bezwzględna różnicy liczb $a$ i $b$

1. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

3. Własności wartości bezwzględnej