3. Własności wartości bezwzględnej

R14LK5USMHU77

Znasz już definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby $a$ . Wiesz też, że wartość bezwzględna liczby $a$ jest odległością tej liczby od liczby zero na osi liczbowej.

Jest zatem zawsze liczbą nieujemną.

To właśnie jedna z własności wartości bezwzględnej. W tym materiale poznasz inne własności modułu i zobaczysz jak można je wykorzystywać np. przy rozwiązywaniu zadań typu „uzasadnij, że ...”.

Twoje cele

Poznasz podstawowe własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej $a$ .
Korzystając z własności modułu, uprościsz wyrażenia z wartością bezwzględną.
Zastosujesz wartość bezwzględną liczby podczas dowodzenia twierdzeń.

Przypomnijmy najpierw definicję algebraiczną wartości bezwzględniej liczby rzeczywistej $a$ .

|a| = \{\begin{cases} a, & dla a \geq 0 \\ - a, & dla a < 0 \end{cases}

Zapoznaj się z przykładami. Jakie własności wartości bezwzględnej możesz zauważyć? Porównaj swoje wnioski z wyróżnionymi własnościami.

Przykład 1

Oblicz.

|5| = 5 > 0

|- 12| = 12 > 0

|0| = 0

Zauważ, że w każdym z przypadków otrzymujemy liczbę nieujemną.

Ważne!

|a| \geq 0, a \in ℝ

Przykład 2

Oblicz wartość wyrażenia

$a = |- 5| + 2 \cdot |- \frac{3}{4}| - |2 \frac{1}{2}|$ .

Obliczamy najpierw wartości modułów, które pojawiły się w przykładzie.

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

$|- 5| = 5$

$|- \frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$

$|2 \frac{1}{2}| = 2 \frac{1}{2}$

Następnie, pamiętając o kolejności wykonywania działań, obliczamy wartość wyrażenia $a$ .

$a = 5 + 2 \cdot \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{2} = 5 + \frac{3}{2} - 2 \frac{1}{2} = 5 + 1 \frac{1}{2} - 2 \frac{1}{2} = 4$

Przykład 3

Oblicz wartość wyrażenia

$b = |\sqrt{3}| - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} + (- 3) \cdot |- (- \sqrt{2})| - (- 2) \cdot |- (\sqrt{3} - \sqrt{2})|$ .

Obliczamy najpierw wartości modułów, które pojawiły się w przykładzie.

Ponownie korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

$|\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

$|- (- \sqrt{2})| = |\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

Ostatnią wartość bezwzględną możemy obliczyć dwoma sposobami.

I sposób

Doprowadzamy wyrażenie pod modułem do najprostszej postaci i określamy jego znak, a następnie opuszczamy symbol wartości bezwzględnej.

R99BXMOKE5KB7

Na ilustracji przedstawione jest równanie rozwiązane pierwszym sposobem. wartość bezwzględna z, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, równa się, przy czym pod ostatnim modułem dodano, że pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, większy niż, zero, więc dalej po znaku równości zapisano: równa się, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka

II sposób

Określamy znak wyrażenia pod modułem i opuszczamy symbol wartości bezwzględnej.

R1TQNB4B2HJ3R

Na ilustracji rozwiązane jest to samo równanie, jednak drugim sposobem. Mamy: wartość bezwzględna z, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec wartości bezwzględnej, równa się, przy czym na dole pod modułem dopisano, że minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, a na górze nad modułem zapisano, że pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, większy niż, zero. Całe równanie jest więc następujące: wartość bezwzględna z, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, koniec wartości bezwzględnej, równa się, minus, nawias kwadratowy, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.

Teraz, pamiętając o kolejności wykonywania działań oraz zasadach dodawania i odejmowania pierwiastków, obliczamy wartość wyrażenia $b$ .

$b = \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} + (- 3) \cdot \sqrt{2} + 2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) =$

$= \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) =$

$= - \sqrt{3} - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} = \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}$

$= oznacznie kolorem niebieskim \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} koniec oznaczenia$

$oznaczenie kolorem zielonym - 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} koniec oznaczenia +$

$2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) =$

$= oznacznie kolorem niebieskim - \sqrt{3} koniec oznaczenia - oznacznie kolorem zielonym 5 \sqrt{2} koniec oznaczenia oznacznie kolorem niebieskim + 2 \sqrt{3} koniec oznaczenia oznaczenie kolorem zielonym - 2 \sqrt{2} koniec oznaczenia = \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}$

Pierwiastki, które maja taka samą liczbę podpierwiastkową oznaczono takim samym kolorem.

Przykład 4

Porównaj liczby $|a|$ i $|b|$ .

Zauważ, że $a$ i $b$ , to liczby przeciwne.

$a$	$b$	$\|a\|$	$\|b\|$
$- 4$	$4$	$4$	$4$
$8$	$- 8$	$8$	$8$
$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$- \sqrt[3]{16}$	$\sqrt[3]{16}$	$\sqrt[3]{16}$	$\sqrt[3]{16}$

Zwróć uwagę, że liczby w trzeciej i czwartej kolumnie są takie same.

A zatem wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe.

Ważne!

|a| = |- a|, a \in ℝ

Przykład 5

Przeanalizuj przykłady. Skorzystaj ze znanych Ci własności pierwiastków

$\sqrt{a^{2}} = a$ , dla $a \geq 0$ ,
$\sqrt{a^{2}} = - a$ , dla $a < 0$ .

\sqrt{4^{2}} = 4 = |4|

\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 4 = |- 4|

\sqrt{6^{2}} = |6| = 6

\sqrt{{(- \frac{5}{7})}^{2}} = |- \frac{5}{7}| = \frac{5}{7}

Na pewno widzisz, że w powyższych przykładach otrzymany wynik jest zawsze liczbą dodatnią. Przykłady te obrazują kolejną własność wartości bezwzględnej.

Jeśli liczba $x$ pod pierwiastkiem jest kwadratem pewnego wyrażenia $a$ , to pierwiastek z liczby $x$ jest wartością bezwzględną z liczby $a$ .

Ważne!

\sqrt{a^{2}} = |a|, a \in ℝ

Przykład 6

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}}$ , korzystając z powyższej własności.

Korzystając z własności: $\sqrt{a^{2}} = |a|$ , otrzymujemy:

\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = |2 - \sqrt{5}|

Wyrażenie w module jest ujemne (sprawdź to), a zatem korzystając z algebraicznej definicji własności bezwzględnej dla $a < 0$ , możemy zapisać:

\underset{2 - \sqrt{5} < 0}{\underset{⏟}{|2 - \sqrt{5}|}} = \sqrt{5} - 2

A zatem:

\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2

Ważne!

Wartość bezwzględna iloczynu liczbWartość bezwzględna iloczynu liczb $a$ i $b$ jest równa iloczynowi wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$ .

|a \cdot b| = |a| \cdot |b|; a \in ℝ, b \in ℝ

Przykład 7

Znajdź liczbę $x$ , spełniającą warunek $|4 x - 8| = 16$ .

Możemy tu skorzystać z własności modułu przedstawionej powyżej.

|a \cdot b| = |a| \cdot |b|; a \in ℝ, b \in ℝ

|4 x - 8| = 16

W liczbie pod modułem wyłączamy przed nawias liczbę $4$ .

|4 \cdot (x - 2)| = 16

Korzystając z powyższej własności zapisujemy moduł z iloczynu dwóch liczb, jako iloczyn dwóch modułów.

|4| \cdot |(x - 2)| = 16

Obliczamy wartość bezwzględną liczby $4$ .

4 \cdot |(x - 2)| = 16

Dzielimy obie strony równania przez $4$ .

4 \cdot |(x - 2)| = 16 |: 4

Otrzymujemy wyrażenie

|x - 2| = 4

Wiesz, że:

$4 = |4|$ lub $4 = |- 4|$

Stąd:

$x - 2 = 4$ lub $x - 2 = - 4$

A zatem:

$x = 6$ lub $x = - 2$ .

Ważne!

Wartość bezwzględna ilorazu liczbWartość bezwzględna ilorazu liczb $a$ i $b$ jest równa ilorazowi wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$ .

|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}; a \in ℝ, b \in ℝ / \{0\}

Zbierzmy w jednym miejscu poznane własności wartości bezwzględnej.

Własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej

Własność: Własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej

$|a| \geq 0$ , $a \in ℝ$
$|a| = |- a|$ , $a \in ℝ$
$\sqrt{a^{2}} = |a|$ , $a \in ℝ$
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ , $a \in ℝ$ , $b \in ℝ$
$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ , $a \in ℝ$ , $b \in ℝ ∖ \{0\}$

Ilustracja interaktywna

Zapoznaj się z przykładem pokazującym zastosowanie wartości bezwzględnej w dowodach.

RG43OXUHE15JB

Udowodnij, że liczba a, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka jest wymierna. Rozwiązanie. 1. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie znajdujące się pod pierwszym pierwiastkiem w postaci kwadratu sumy liczb jeden i pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka. sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, pięć, równa się, jeden, plus, dwa, razy, jeden, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 2. Postępując analogicznie, zapisujemy wyrażenie znajdujące się pod drugim pierwiastkiem w postaci kwadratu różnicy liczb jeden i pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka. sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, jeden, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, pięć, równa się, jeden, minus, dwa, razy, jeden, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 3. Wykorzystujemy postać kwadratu sumy i kwadratu różnicy przy zapisie liczby a. a, równa się, pierwiastek kwadratowy z sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się 4. Korzystamy z poznanej własności wartości bezwzględnej pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, wartość bezwzględna z, a, koniec wartości bezwzględnej. równa się, wartość bezwzględna z, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, minus, wartość bezwzględna z, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, równa się 5. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, zapisujemy wyrażenie bez użycia symbolu modułu. równa się, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, minus, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się 6. Doprowadzamy wyrażenie do najprostszej postaci. równa się, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, dwa 7. Wykazaliśmy, że a, równa się, dwa, więc liczba a jest liczbą wymierną. Co kończy dowód. a, równa się, dwa, należy do, Q

Polecenie 1

Udowodnij, że liczba $a = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ jest wymierna.

3 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}

a = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} =

= |1 + \sqrt{2}| - |1 - \sqrt{2}| = 1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 2 \in ℚ

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1PFNBXEDQ3MO1

Ćwiczenie 1

R1OV2JENHA9O41

Ćwiczenie 2

R5ZO7EN6MBKVN2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

R1HOECHK67879

R18745UZPE651

Połącz w pary liczby równe. wartość bezwzględna z, minus, sześć, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, sześć, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, 2. wartość bezwzględna z, sześć, koniec wartości bezwzględnej, 3. wartość bezwzględna z, x, minus, y, koniec wartości bezwzględnej, 4. wartość bezwzględna z, pięć, koniec wartości bezwzględnej, 5. wartość bezwzględna z, PI, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, 6. wartość bezwzględna z, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, sześć, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, sześć, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, 2. wartość bezwzględna z, sześć, koniec wartości bezwzględnej, 3. wartość bezwzględna z, x, minus, y, koniec wartości bezwzględnej, 4. wartość bezwzględna z, pięć, koniec wartości bezwzględnej, 5. wartość bezwzględna z, PI, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, 6. wartość bezwzględna z, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej wartość bezwzględna z, minus, pięć, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, sześć, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, 2. wartość bezwzględna z, sześć, koniec wartości bezwzględnej, 3. wartość bezwzględna z, x, minus, y, koniec wartości bezwzględnej, 4. wartość bezwzględna z, pięć, koniec wartości bezwzględnej, 5. wartość bezwzględna z, PI, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, 6. wartość bezwzględna z, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej wartość bezwzględna z, cztery, minus, PI, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, sześć, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, 2. wartość bezwzględna z, sześć, koniec wartości bezwzględnej, 3. wartość bezwzględna z, x, minus, y, koniec wartości bezwzględnej, 4. wartość bezwzględna z, pięć, koniec wartości bezwzględnej, 5. wartość bezwzględna z, PI, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, 6. wartość bezwzględna z, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej wartość bezwzględna z, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, sześć, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, 2. wartość bezwzględna z, sześć, koniec wartości bezwzględnej, 3. wartość bezwzględna z, x, minus, y, koniec wartości bezwzględnej, 4. wartość bezwzględna z, pięć, koniec wartości bezwzględnej, 5. wartość bezwzględna z, PI, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, 6. wartość bezwzględna z, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej wartość bezwzględna z, y, minus, x, koniec wartości bezwzględnej Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, sześć, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej, 2. wartość bezwzględna z, sześć, koniec wartości bezwzględnej, 3. wartość bezwzględna z, x, minus, y, koniec wartości bezwzględnej, 4. wartość bezwzględna z, pięć, koniec wartości bezwzględnej, 5. wartość bezwzględna z, PI, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, 6. wartość bezwzględna z, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec wartości bezwzględnej

R1FH3VBQQUQXX2

Ćwiczenie 5

R1DR6QLB48VBF2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{17 - 12 \sqrt{2}} + \sqrt{53 - 10 \sqrt{6}}$ . Przeciągnij prawidłową odpowiedź.

REZGMT3JD9U22

Ćwiczenie 8

Udowodnij równość $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = 2$ .

6 - 2 \sqrt{5} = {(\sqrt{5} - 1)}^{2}

14 - 6 \sqrt{5} = {(3 - \sqrt{5})}^{2}

L = \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}} =

= |\sqrt{5} - 1| + |3 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1 + 3 - \sqrt{5} = 2 = P

L = P

Co kończy dowód.

R11RRSSSO642Z1

Ćwiczenie 9

RO2G5CPLFFQ5Z1

Ćwiczenie 10

RUQSZ4D2V81EQ2

Ćwiczenie 11

R1Q1OTXRF6J862

Ćwiczenie 12

Słownik

wartość bezwzględna iloczynu liczb

a

b

wartość bezwzględna iloczynu liczb

a

b

iloczyn wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$

wartość bezwzględna ilorazu liczb

a

b

wartość bezwzględna ilorazu liczb

a

b

iloraz wartości bezwzględnych liczb $a$ i $b$

moduł liczby rzeczywistej

a

moduł liczby rzeczywistej

a

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej $a$

2. Odległość między liczbami na osi liczbowej. Geometryczne interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej

4. Proste równania z wartością bezwzględną