1. Wykres i własności funkcji f(x)=ax^2 - Wzór funkcji kwadratowej

R1ALVC7DGNQKP

1. Wykres i własności funkcji $f (x) = a x^{2}$

Galileusz – włoski fizyk i astronom, w swojej pracy „Rozmowy i dowody matematyczne w zakresie dwóch nowych umiejętności” analizował ruch spadającego ciała, zrzucając z wieży w Pizie z wysokości $49$ metrów metalowe kule. Jeśli pominiemy opór powietrza, to odległość $h$ od ziemi obiektu zrzuconego z wysokości $49$ metrów można opisać wzorem $h (t) = - 4, 9 t^{2} + 49$ . Otrzymana zależność jest zapisana za pomocą wyrażenia stopnia drugiego.

Wzory funkcji, których zmienna występuje w drugiej potędze spotkamy na przykład w geometrii.

Funkcja wyrażająca zależność między polem kwadratu, a długością $a$ jego boku: $P (a) = a^{2}$

Funkcja wyrażająca zależność między polem kwadratu a długością $c$ jego przekątnej: $P (c) = \frac{1}{2} c^{2}$

Funkcja wyrażająca zależność między polem trójkąta równobocznego a długością $a$ jego boku: $P (a) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

Twoje cele

Rozpoznasz jednomian stopnia drugiego.
Sporządzisz wykres funkcji $y = a x^{2}$ .
Określisz własności funkcji $y = a x^{2}$ .
Obliczysz wartości funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ dla różnych argumentów.
Wyznaczysz argumenty, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje określoną wartość.
Obliczysz pola figur, których wierzchołki należą do wykresu funkcji kwadratowej.
Wyznaczysz wartości parametrów, dla których parabola, będąca wykresem funkcji kwadratowej i prosta, będąca wykresem funkcji liniowej mają określoną liczbę punktów wspólnych.

funkcja kwadratowa

Definicja: funkcja kwadratowa

Jeżeli $a \neq 0$ , to funkcję $f$ określoną wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ w zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją kwadratową.

$a$ , $b$ , $c$ - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej,

$c$ - wyraz wolny.

Wzór $f (x) = a x^{2} + b x + c$ nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej, gdzie $x \in ℝ$ , $a \in ℝ ∖ \{0\}$ , $b \in ℝ$ , $c \in ℝ$ .

Uwaga: Funkcję kwadratową nazywamy też trójmianem kwadratowym.

Jeżeli $a \neq 0$ , $b = c = 0$ , to wzór $f (x) = a x^{2} + b x + c$ przyjmuje postać $f (x) = a x^{2}$ . Można również krótko zapisać $y = a x^{2}$ . Zajmiemy się funkcją opisaną tym wzorem, jej wykresem i własnościami.

jednomian stopnia drugiego

Definicja: jednomian stopnia drugiego

Funkcję kwadratową $y = a x^{2}$ , gdzie $x \in ℝ$ oraz $a$ jest stałą liczbą rzeczywistą różną od zera, nazywać będziemy jednomianem stopnia drugiego (jednomianem kwadratowym).

Sporządźmy w prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji $y = x^{2}$ .

W narysowaniu wykresu pomocna będzie tabelka częściowa - im więcej punktów w tabelce, tym dokładniejszy będzie wykres.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$	$3$
$y = x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0, 25$	$0$	$0, 25$	$1$	$4$	$9$

Przy pomocy tabelki wyznaczyliśmy tylko niektóre wartości jednomianu kwadratowegojednomian kwadratowyjednomianu kwadratowego, a więc znaleźliśmy niektóre punkty wykresu. Ponieważ funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej, więc otrzymane punkty tworzą pewną krzywą.

R14ECL2ZRO9L5

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się x kwadrat będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero. Wykres funkcji ma tylko jedno miejsce zero i przechodzi przez charakterystyczne punkty, nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu.

Ważne!

Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. W paraboli możemy wyróżnić wierzchołek oraz ramiona.

Do krzywej będącej wykresem funkcji $y = x^{2}$ należy punkt $O = (0, 0)$ , będący wierzchołkiem paraboli. Wierzchołek dzieli parabolę na dwie części, zwane ramionami paraboli. Oś $Y$ jest osią symetrii paraboli.

Ważne!

R1Z65AP5JOB3O

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. W podanym układzie współrzędnej zaznaczono wykres krzywej y = x do potęgi drugiej, zwanej parabolą, leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Oznaczone są ramiona, wierzchołek w punkcie nawias zero przecinek zero zamknięcie nawiasu i oś symetrii paraboli, która pokrywa się pionową osią Y. Ramiona paraboli są symetryczne względem osi Y.

Naszkicujmy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - x^{2}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$

R1PozZNPi2drr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 4 do czterech oraz osią pionową od minus 4 do trzech. Zaznaczono parabolę z ramionami skierowanymi w dół oraz wierzchołkiem w środku układu współrzędnych.

Zwróćmy uwagę, że parabola ma ramiona skierowane w dół.

Ciekawostka

Wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = a x^{2}$ oraz $f (x) = - a x^{2}$ dla $a \neq 0$ są symetryczne względem osi $X$ układu współrzędnych.

RALRBHGN1V3JF

Sporządźmy jeszcze dwa inne wykresy.

a) $y = - 2 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$
$y = - 2 x^{2}$	$- 8$	$- 2$	$- 0, 5$	$0$	$- 0, 5$	$- 2$	$- 8$

RDMLGNXPMTCAQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się minus dwa razy x kwadrat. Wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi w dół oraz z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu.

b) $y = \frac{1}{2} x^{2}$

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$	$8$	$2$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$	$8$

R1PRB9386SCGS

Otrzymane krzywe to również parabole. Wartość współczynnika $a$ paraboli $y = a x^{2}$ decyduje o tym, czy ramiona tej paraboli skierowane są w górę $(a > 0)$ , czy w dół $(a < 0)$ .

Porównując wykresy funkcji zauważymy, że funkcje postaci $y = a x^{2}$ , gdy $a > 0$ mają wspólne własności.

Własności funkcji

y = a x^{2}

, gdy

a > 0

Własność: Własności funkcji

y = a x^{2}

, gdy

a > 0

Wykresem każdej funkcji jest parabola o wierzchołku $W = (0, 0)$ i ramionach skierowanych ku górze.

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór $Z W = ⟨0, + \infty)$ .

Miejscem zerowym funkcji jest $x_{0} = 0$ .

Osią symetrii wykresu funkcji (paraboli) jest prosta o równaniu $x = 0$ .

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0)$ , a rosnąca w przedziale $(0, + \infty)$ .

Funkcja osiąga wartość najmniejszą równą $0$ , dla argumentu $0$ . Nie przyjmuje wartości największej. Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry.

Analogicznie można opisać własności funkcji $y = a x^{2}$ , gdy $a < 0$ .

Pokaż własności funkcji

y = a x^{2}

, gdy

a < 0

Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych niedodatnich.
Zachodzi warunek: $f (0) = 0$ .
Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest prosta o równaniu $x = 0$ .
Funkcja kwadratowa jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$ .
Funkcja kwadratowa jest malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$ .
Dla $x = 0$ funkcja $f$ przyjmuje wartość największą.
$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

Przykład 1

Sprawdźmy, czy punkty $A = (- 4, 64)$ oraz $B = (\frac{1}{4}, 1)$ należą do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

$A = (- 4, 64)$

$y = 4 x^{2}$

$y = 4 \cdot {(- 4)}^{2}$

$y = 4 \cdot 16$

$y = 64$

Punkt $A$ należy do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

$B = (\frac{1}{4}, 1)$

$y = 4 x^{2}$

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2}$

$y = 4 \cdot \frac{1}{16}$

$y = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} \neq 1$

Punkt $B$ nie należy do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

Przykład 2

Wyznaczmy współczynnik $a$ , tak aby punkt o współrzędnych $(2, - 8)$ należał do paraboli $y = a x^{2}$ .

$y = a x^{2}$

$- 8 = a \cdot 2^{2}$

$- 8 = 4 a$

$a = - 2$

Przykład 3

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicujmy wykresy funkcji.

a) $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , $y = x^{2}$ , $y = 2 x^{2}$

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$6$
$y = \frac{1}{3} x^{2}$	$12$	$3$	$\frac{1}{3}$	$0$	$\frac{1}{3}$	$3$	$12$

$y = x^{2}$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

$y = 2 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$
$y = 2 x^{2}$	$8$	$2$	$0, 5$	$0$	$0, 5$	$2$	$8$

R1XOMPHSPBGJO

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres trzech funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się dwa x kwadrat, druga o równaniu y równa się x kwadrat oraz trzecia o równaniu y równa się jedna trzecia x kwadrat. Wszystkie parabole mają ramiona skierowane w górę i wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Pierwsza parabola przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu. Druga parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu. Trzecia ostatnia parabola przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik trzy koniec nawiasu, nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu.

b) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2}$ , $y = - 3 x^{2}$

$y = - \frac{1}{2} x^{2}$

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y = - \frac{1}{2} x^{2}$	$- 8$	$- 2$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- 2$	$- 8$

$y = - x^{2}$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = - x^{2}$	$- 9$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$	$- 9$

$y = - 3 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = - 3 x^{2}$	$- 12$	$- 3$	$0$	$- 3$	$- 12$

R8MJLMVGUFS9H

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykres trzech funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się minus trzy x kwadrat, druga o równaniu y równa się minus x kwadrat oraz trzecia o równaniu y równa się minus jedna druga x kwadrat. Wszystkie parabole mają ramiona skierowane w dół i wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Pierwsza parabola przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus trzy koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus trzy koniec nawiasu. Druga parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus cztery koniec nawiasu. Trzecia ostatnia parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus dwa koniec nawiasu.

Wniosek

Im większa jest wartość bezwzględna współczynnika $a$ , to tym bliżej osi $Y$ znajdują się ramiona paraboli.

Przykład 4

W prostokącie stosunek długości boków jest równy $1 : 3$ . Podajmy wzór funkcji $y = P (x)$ , opisującej pole tego prostokąta, jeżeli $x$ oznacza długość dłuższego boku, wyznaczmy dziedzinę i naszkicujmy wykres.

R14SBONPX1J49

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach b na a, gdzie b równa się jedna trzecia x, natomiast a równa się x.

Wyznaczmy wzór funkcji. Przyjmujemy, że $a = x$ , oraz $b = \frac{1}{3} x$ .

Pole prostokąta wyraża się wzorem $P = a b$ , więc otrzymujemy wzór funkcji

$y = P (x)$

$y = x \cdot \frac{1}{3} x$

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(0, + \infty)$ .

Sporządźmy tabelkę częściową dla tej funkcji.

$x$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{3}$	$3$	$12$

i wykres

R11V9TXQ56163

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat w przedziale lewostronnie domknięty prawostronnie otwarty od zero do plus nieskończoności. Parabola ma wierzchołek w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu i w pierwszej ćwiartce układu współrzędnego przechodzi przez punkt nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu.

Zwróćmy uwagę, że w zagadnieniach praktycznych wykorzystujemy tylko fragment paraboli.

Przykład 5

Do studni wrzucono kamień i usłyszano plusk wody po $3$ sekundach. Jaka jest odległość do lustra wody?

Wykorzystujemy wzór $h (t) = \frac{a t^{2}}{2}$ , gdzie $a$ jest wartością przyspieszenia ziemskiego, stąd $a = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$ . Wzór funkcji przyjmuje postać $h (t) = \frac{9, 81 t^{2}}{2}$ . Ponieważ czas lotu wyniósł $3$ sekundy otrzymujemy $h (3) = \frac{9, 81 \cdot 3^{2}}{2}$ , a zatem odległość do lustra wody wynosi około $44, 15$ m.

Przykład 6

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona za pomocą wzoru $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2}$ . Wyznaczymy liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ , w zależności od parametru $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie:

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RXZT6HUD1ONQO

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, czyli parabolę o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, oraz ramionach skierowanych do dołu.

Równanie $f (x) = m$ , gdy $m \in ℝ$ . ma:

dwa rozwiązania dla $m \in (- \infty, 0)$ ,
jedno rozwiązanie dla $m = 0$ ,
zero rozwiązań dla $m \in (0, \infty)$ .

Podana liczba rozwiązań równania $f (x) = m$ odpowiada liczbie punktów wspólnych prostej $y = m$ , gdzie $m \in ℝ$ z parabolą, będącą wykresem funkcji $f$ .

Przykład 7

Wiadomo, że wierzchołki trapezu $A B C D$ (patrz rysunek) należą do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2}$ , a podstawy są zawarte w prostych o równaniach $g (x) = - 2$ i $h (x) = - 4$ . Wyznaczymy pole tego trapezu.

R1JVEFP7EKKOE

Rozwiązanie:

Wykorzystamy wzór na pole trapezu $P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

Mamy:

$a = |D C|$ ,

$b = |A B|$ ,

$h = 2$ .

W celu wyznaczenia pierwszych współrzędnych punktów $C$ i $D$ wyznaczymy punkty wspólne paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ oraz prostej, będącej wykresem funkcji $h$ .

Rozwiązujemy równanie:

$f (x) = h (x)$ , czyli $- 2 x^{2} = - 4$ .

Zatem $x^{2} = 2$ , czyli $x = - \sqrt{2}$ lub $x = \sqrt{2}$ .

Długość podstawy trapezu $a$ jest równa odległości pomiedzy tymi punktami, więc

$a = |C D| = 2 \sqrt{2}$ .

W celu wyznaczenia pierwszych współrzędnych punktów $A$ i $B$ , wyznaczymy punkty wspólne paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ oraz prostej, będącej wykresem funkcji $g$ .

Rozwiązujemy równanie:

$f (x) = g (x)$ , czyli $- 2 x^{2} = - 2$

Zatem $x^{2} = 1$ , czyli $x = - 1$ lub $x = 1$ .

Długość podstawy trapezu $b$ jest równa odległości pomiedzy tymi punktami, zatem

$b = |A B| = 2$

Pole trapezu $A B C D$ wynosi

$P = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt{2} + 2) \cdot 2 = 2 \sqrt{2} + 2$

Przykład 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2}$ oraz prostej określonej wzorem $g (x) = 4$ .

RTTA959Q363RF

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, oraz prostą g o równaniu y, równa się, cztery. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie O, o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, a ramiona paraboli skierowane są do góry. Zaznaczono punkty A i B, które stanowią miejsca przecięcia ramion paraboli z prostą g. Zamalowano obszar trójkąta ograniczonego punktami A, B, O.

Wyznaczymy pole trójkąta $O A B$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że punkty $A$ i $B$ są punktami przecięcia paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ z prostą, będącą wykresem funkcji $g$ .

Do wyznaczenia ich pierwszych współrzędnych rozwiązujemy równanie $f (x) = g (x)$ .

Zatem $2 x^{2} = 4$ , więc $x = - \sqrt{2}$ lub $x = \sqrt{2}$ .

Długość odcinka $A B$ jest odległością pomiędzy punktami $A$ i $B$ i wynosi $|A B| = 2 \sqrt{2}$ .

Odcinek $A B$ jest podstawą trójkąta $O A B$ , a wysokość tego trójkąta wynosi $4$ , zatem pole trójkąta jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 4 = 4 \sqrt{2}$

Wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ oraz wykres prostej opisanej za pomocą równania $x = b$ lub $y = c$ , gdzie $b, c \in ℝ$ , mogą się przecinać w maksymalnie dwóch punktach.

Przykład 9

Punkty o współrzędnych $S = (0, 0)$ , $A = (x, 2)$ oraz $B = (- x, 2)$ należą do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji, jeżeli wiadomo, że pole trójkąta $A S B$ jest równe $3$ .

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania:

R1HFNFKGE7NNF

W celu wyznaczenia wzoru funkcji kwadratowej wyznaczymy najpierw współrzędne punktów $A$ i $B$ .

Zauważmy, że wysokość trójkąta wynosi $2$ .

Po podstawieniu tej wartości do wzoru na pole trójkąta $P = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$ otrzymujemy równanie:

$3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 2$ , zatem $c = 3$

Długość podstawy $A B$ jest równa odległości pomiędzy pierwszymi współrzędnymi punktów $A$ i $B$ .

Jeżeli $|A B| = c = 3$ oraz $|A B| = 2 x$ , zatem $2 x = 3$ , czyli $x = \frac{3}{2}$ .

Punkty $A$ i $B$ mają współrzędne odpowiednio:

$A = (\frac{3}{2}, 2)$

$B = (- \frac{3}{2}, 2)$

Zatem w celu wyznaczenia wartości współczynnika $a$ ze wzoru funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2}$ , podstawiamy współrzędne punktu $A$ i rozwiązujemy równanie:

$2 = a \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$ , zatem $a = \frac{8}{9}$ .

Wzór funkcji kwadratowej zapisujemy w postaci $f (x) = \frac{8}{9} x^{2}$ .

Przykład 10

Podamy dziedzinę oraz wzór funkcji opisującej pole prostokątnej działki w zależności od długości przekątnej $d$ , jeżeli wiadomo, że działkę można podzielić na $3$ kwadraty.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1C8X4RPP2MV5

Na ilustracji przedstawiono połączone ze sobą trzy kwadraty o boku długości a. Powstał trójkąt, w którym zaznaczono przekątną d.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${(3 a)}^{2} + a^{2} = d^{2}$

Zatem $d^{2} = 10 a^{2}$ , czyli $a^{2} = \frac{1}{10} d^{2}$ .

Pole działki wynosi:

$P = 3 a \cdot a = 3 a^{2}$

Wobec tego funkcja $f$ opisująca pole prostokątnej działki, w zależności od długości przekątnej $d$ jest określona za pomocą wzoru:

$f (d) = 3 \cdot \frac{1}{10} d^{2} = \frac{3}{10} d^{2}$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Aplety interaktywne

Poniżej przedstawiony jest aplet ilustrujący wykres funkcji $f (x) = a x^{2}$ . Zmieniaj wartość współczynnika $a$ . Zaobserwuj jak zmienia się położenie ramion paraboli w zależności od $a$ .

R11UGKSQF8N8F

Polecenie 1

Wykorzystaj aplet. Ustaw wartość współczynnika $a$ , aby otrzymać parabolę o podanym równaniu i uzupełnij tabelę

RFKPUTCTHHFSS

Uruchom symulację interaktywną. Zwróć uwagę na odległości punktów leżących na paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ od osi rzędnych układu współrzędnych. Wyciągnij odpowiednie wnioski.

REAR82O1D5UUE

Polecenie 2

Wymień kilka własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ .

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ :

dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych niedodatnich,
zachodzi warunek: $f (0) = 0$
osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji jest prosta o równaniu $x = 0$ ,
funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0 ⟩$ ,
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨ 0, \infty)$ ,
dla $x = 0$ funkcja $f$ przyjmuje wartość największą,
$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dopasuj wzór funkcji do wykresu.

R1XE2VAEUJDMC

RD99M9DP6GNXM

RJKLQ5RMR1HZ8

R13TU35R1ZSXX

R1X9CD6XVOR741

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Mając dane wykresy funkcji $y = - 2 x^{2}$ oraz $y = \frac{1}{3} x^{2}$ wybierz charakteryzujące je własności.

RAFNHJSRPR17R

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres dwóch funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się jedna trzecia x kwadrat z ramionami skierowanymi do góry oraz druga o równaniu y równa się minus dwa x kwadrat z ramionami skierowanymi w dół. Obie parabole mają wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Wykres pierwszej funkcji przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik trzy koniec nawiasu, nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu. Wykres drugiej funkcji przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu.

R1BABTM41B85L

A: Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest malejąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a rosnąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja jest rosnąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a malejąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 3. Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 4. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero zamknięcie nawiasu ostrego, 5. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku dołowi., 6. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku górze., 7. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias ostry zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu., 8. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. B: Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest malejąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a rosnąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja jest rosnąca w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, a malejąca w przedziale nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 3. Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 4. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero zamknięcie nawiasu ostrego, 5. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku dołowi., 6. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku W, równa się, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i ramionach skierowanych ku górze., 7. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Z W, równa się, nawias ostry zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu., 8. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, plus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.

R8AX4J9C1RPMC2

Ćwiczenie 4

RFVDTQ8M11U452

Ćwiczenie 5

R1K3JBLAROQXJ2

Ćwiczenie 6

RR249CMXHOSX83

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Podaj wzór funkcji opisującej pole kwadratowej działki w zależności od długości przekątnej $x$ , wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji oraz sporządź odpowiedni wykres.

Wykorzystaj fakt, że jeżeli $a$ jest długością boku kwadratu, a $x$ jego przekątną, to $x = a \sqrt{2}$ .

Oznaczmy:

$a$ – długość boku kwadratu,

$x$ – przekątna kwadratu, $x > 0$

RUAH9BMVJOUE2

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a oraz przekątnej o długości x.

$P = a^{2}$

$x = a \sqrt{2}$

$a = \frac{x}{\sqrt{2}}$

$a = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

$P (x) = {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}$ , $x > 0$

$P (x) = \frac{2 x^{2}}{4}$

$P (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

RN7JE8A6DBPUT

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres funkcji kwadratowej y równa się P od x w przedziale lewostronnie domknięty prawostronnie otwarty od zero do plus nieskończoności. Parabola ma wierzchołek w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu i w pierwszej ćwiartce układu współrzędnego przechodzi przez punkt nawias dwa średnik dwa koniec nawiasu.

Ćwiczenie 9

R1ZAQC45Q2O24

Ćwiczenie 10

R19NFNZTCDLUK

Określmy funkcję f wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Połącz podzbiór dziedziny tej funkcji z odpowiadającym mu podzbiorem zbioru wartości. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego nawias ostry jeden przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego nawias ostry, minus, dwa przecinek jeden zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego nawias ostry, minus, jeden przecinek jeden zamknięcie nawiasu ostrego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. nawias ostry zero przecinek cztery zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego, 4. nawias ostry początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, osiem zamknięcie nawiasu ostrego

Ćwiczenie 11

Zaznacz poprawną odpowiedź.

RF5Z5UGTQU3GQ

Ćwiczenie 12

R1DOMPOGRMOBL

Ćwiczenie 13

R1PSRHGOMA6ZT

Ćwiczenie 14

R4Q78ATXUGCZB

Ćwiczenie 15

Zaznacz poprawną odpowiedź.

R128H38UMX3O1

Ćwiczenie 16

Wiadomo, że do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ należy punkt o współrzędnych $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{16})$ .

a) Oblicz wartość współczynnika $a$ .

b) Oblicz wartość funkcji dla argumentu $(- 3)$ .

c) Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $12$ ?

Aby wyzanczyć wartość współczynnika $a$ rozwiąż równanie:

$\frac{1}{16} = a \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

a) W celu wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{16} = a \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Zatem $a = \frac{1}{4}$ .

b) Funkcję $f$ zapisujemy za pomocą wzoru $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ .

Zatem $f (- 3) = \frac{1}{4} {(- 3)}^{2} = \frac{9}{4}$ .

c) rozwiązujemy równanie:

$12 = \frac{1}{4} x^{2}$ .

Zatem $x^{2} = 48$ , więc $x = 4 \sqrt{3}$ lub $x = - 4 \sqrt{3}$ .

REZL8J7GKQ2CQ1

Ćwiczenie 17

R1E8E8OXCZQ4Z1

Ćwiczenie 18

Połącz w pary wartość współczynnika a ze współrzędnymi punktu P, jeżeli wiadomo, że punkt P należy do wykresu funkcji określonej wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego: a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu a, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu a, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu a, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. P, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. P, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. P, równa się, nawias, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu

RV2DV1XQBZCAP2

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = - x^{2}$ .

RNB7HH3DCNN2S

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę f nawias, x, zamknięcie nawiasu, oraz parabolę g nawias, x, zamknięcie nawiasu, o wspólnym wierzchołku w punkcie S nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Ramiona paraboli f nawias, x, zamknięcie nawiasu skierowane są w górę i przechodzą przez punkt A o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, oraz B o współrzędnych nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Ramiona paraboli g(x) skierowane są w dół i przechodzą przez punkt C o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, oraz punkt D o współrzędnych nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Zamalowano obszar trójkąta ograniczonego punktami A, S, C, oraz trójkąta B, S, D.

R1Z3441SA9LV1

Ćwiczenie 21

Wiadomo, że podstawa trójkąta przedstawionego na rysunku zawiera się w prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $g (x) = - 2$ , a wierzchołek trójkąta pokrywa się z wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2}$ . Oblicz pole tego trójkąta.

R1N94D536EHVZ

Aby obliczyć pole trójkąta odczytaj z wykresu długość wysokości oraz oblicz długość podstawy. Zauważ, że ługość podstawy trójkąta jest równa odległości pomiędzy pierwszymi współrzędnymi punktów przecięcia prostej oraz paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ . W tym ceku rozwiąż równanie $f (x) = g (x)$ .

Pole trójkąta obliczymy ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .

Z rysunku możemy odczytać, że $h = 2$ .

Długość podstawy trójkąta jest równa odległości pomiędzy pierwszymi współrzędnymi punktów przecięcia prostej oraz paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ . W tym ceku rozwiązujemy równanie $f (x) = g (x)$ .

Zatem $- \frac{1}{3} x^{2} = - 2$ , więc $x^{2} = 6$ .

Rozwiązaniami równania są liczby $- \sqrt{6}$ oraz $\sqrt{6}$ .

Długość podstawy wynosi:

$a = 2 \sqrt{6}$

Pole tego trójkąta wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{6} \cdot 2 = 2 \sqrt{6}$ .

Słownik

jednomian kwadratowy

funkcja $y = a x^{2}$ , gdzie $x \in ℝ$ , natomiast $a$ jest stałą liczbą rzeczywistą różną od zera

parabola

krzywa będącą wykresem funkcji kwadratowej

trójmian kwadratowy zmiennej x

wyrażenie postaci $a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ dowolnymi danymi liczbami rzeczywistymi, w tym $a \neq 0$

funkcja kwadratowa

funkcja określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie:
$a, b, c \in ℝ$ , $a \neq 0$ oraz $x \in ℝ$

2. Przesunięcie wykresu funkcji f(x)=ax^2 wzdłuż osi X oraz Y

Wzór funkcji kwadratowej