• Określisz własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$ po przesunięciu jej wykresu wzdłuż osi $X$.

• Określisz własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$ po przesunięciu jej wykresu wzdłuż osi $Y$.

• Zauważysz, które własności funkcji kwadratowej zmieniają się wraz z przesunięciem jej wykresu wzdłuż osi $X$ , a które po przesunięciu wzdłuż osi $Y$.

• Wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Wykres funkcji $y=f(x-p)$ otrzymujemy przez przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji $y=f\left(x\right)$ o:

• $p$ jednostek w prawo, gdy $p>0$,

• $p$ jednostek w lewo, gdy $p<0$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$ przesunięto o $6$ jednostek w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

R12UNC9GDKCOS

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do trzech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, oraz czerwony wykres funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, oraz ramionach skierowanych w górę. Parabola przebiega przez punkty nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, oraz nawias, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o sześć jednostek w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu jest punkt nawias, zero, średnik, minus, sześć, zamknięcie nawiasu. Funkcja przebiega przez punkty nawias, minus, osiem, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, oraz nawias, minus, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

Dla funkcji $g$ wyznaczymy:

a) oś symetrii wykresu funkcji,

b) przedziały monotoniczności,

c) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Rozwiązanie:

a) oś symetrii wykresu funkcji $g$ opisujemy za pomocą równania $x=-6$,

b) funkcja $g$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-6\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨-6,\infty \right)$.

c) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(-6,0\right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2$ oraz wykres funkcji $g$ po przesunięciu o $2$ jednostki w prawo wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $X$.

RNZNHVRR68U8M

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, oraz czerwony wykres funkcji f nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty nawias, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, oraz nawias, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o dwie jednostki w prawo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji f nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu jest punkt nawias, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Funkcja przebiega przez punkty nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, oraz nawias, cztery, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu.

Określimy:

a) równanie osi symetrii wykresu funkcji $g$,

b) wartość funkcji $g$ dla argumentu $12$.

Rozwiązanie:

a) osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=2$,

b) możemy zauważyć, że zachodzi zależność $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$, zatem

$g\left(12\right)=f\left(12-2\right)=f\left(10\right)=-\frac{1}{2}·{10}^2=-50$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$ przesunięto o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

R3DEVT95ZLDDH

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, oraz czerwony wykres funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, oraz ramionach skierowanych w górę. Parabola przebiega przez punkty nawias, minus, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, oraz nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o cztery jednostki w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu jest punkt nawias, zero, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu. Funkcja przebiega przez punkty nawias, minus, siedem, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, oraz nawias, minus, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu.

Uporządkujmy rosnąco liczby: $g\left(-8\right)$, $g\left(-4\right)$, $g\left(-3\right)$ oraz $g\left(-6\right)$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=-4$ oraz ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ są skierowane do góry.

Ponieważ funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-4\right.⟩$ oraz rosnąca w przedziale $\left.⟨-4,\infty \right)$, zatem

$g\left(-4\right)<g\left(-3\right)<g\left(-6\right)<g\left(-8\right)$.

Funkcję kwadratową $f$ określono wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$. Niech $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$ oraz $h\left(x\right)=g\left(x+5\right)$. Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $h$,

b) oś symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $h$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeżeli $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$ oraz $h\left(x\right)=g\left(x+5\right)$, to:

$h\left(x\right)=f\left(x-2+5\right)=f\left(x+3\right)$.

Zatem parabolę, będącą wykresem funkcji $h$ otrzymamy przez przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ o $3$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$.

a) wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji $h$ jest punkt o współrzędnych $\left(-3,0\right)$,

b) osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $h$ jest prosta o równaniu
$x=-3$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=-2x^2$. Parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ przesunięto o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$. Dodatkowo parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $h$. Wykażemy, że różnica wartości funkcji $g$ i $h$ dla dowolnego $x\in \mathrm{ℂ}$ jest liczbą podzielną przez $16$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

$g\left(x\right)=f\left(x+2\right)$

$h\left(x\right)=f\left(x-2\right)$

Dziedziną każdej z funkcji $f,g,h$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wówczas:

$g\left(x\right)-h\left(x\right)=f\left(x+2\right)-f\left(x-2\right)=$

$=-2{\left(x+2\right)}^2-\left(-2{\left(x-2\right)}^2\right)=-2\left(x^2+4x+4\right)-\left(-2\left(x^2-4x+4\right)\right)=$

$=-2x^2-8x-8+2x^2-8x+8=-16x$

Ponieważ różnica tych wartości jest iloczynem liczby $16$ i liczby całkowitej $x$, zatem rozpatrywana liczba jest podzielna przez $16$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=2{\left(x+4\right)}^2$. Wyznaczymy:

a) oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$,

b) przedziały monotoniczności funkcji $f$.

Rozwiązanie:

a) Ze wzoru funkcji $f$ możemy odczytać, że $p=-4$, zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x=-4$.

b) Ponieważ $a=2$, zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, są skierowane do góry.

Zatem funkcja $f$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-4\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨-4,\infty \right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2$. Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R13JEZQOVUMAQ

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji f Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie nawias, cztery, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty nawias, trzy, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu oraz nawias, pięć, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że prosta o równaniu $x=4$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, zatem $p=4$.

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f\left(x\right)=a{\left(x-4\right)}^2$.

Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy, że należy do niego punkt o współrzędnych $\left(3,-3\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$-3=a·{\left(3-4\right)}^2$, więc $a=-3$.

Wzór funkcji $f$ przedstawionej na rysunku jest postaci $f\left(x\right)=-3{\left(x-4\right)}^2$.

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2$ należy punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$. Wyznaczymy wzór tej funkcji, jeżeli wiemy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left.⟨-2,\infty \right)$.

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left.⟨-2,\infty \right)$, zatem $p=-2$.

W związku z tym, wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=a{\left(x+2\right)}^2$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$ należy do wykresu funkcji $f$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$-3=a·{\left(1+2\right)}^2$.

Zatem $a=-\frac{1}{3}$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^2$.

Wykres funkcji $f\left(x\right)+q$ otrzymujemy przez przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji  $y=f\left(x\right)$ o:

• $q$ jednostek w górę, gdy $q>0$,

• $q$ jednostek w dół, gdy $q<0$.

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2$. Parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ przesunięto o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

R1T8SH16M5KP7

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do czterech. W układzie współrzędnych zaznaczono funkcję kwadratową f, której wykres jest parabolą z ramionami skierowanymi do dołu oraz wierzchołkiem w początku układu współrzędnych. Parabola przechodzi przez punkty nawias, minus, cztery, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu oraz nawias, cztery, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu .W tym samym układzie zaznaczono również wykres funkcji g, czyli wykres funkcji f przeniesiony o trzy jednostki do góry, który przechodzi przez punkty nawias, minus, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu oraz nawias, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.

Wyznaczymy:

a) zbiór wartości funkcji $g$,

b) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $g$,

c) wartość największą  funkcji $g$.

Rozwiązanie:

a) zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział  $\left(-\infty ,-3\right.⟩$,

b) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(0,3\right)$,

c) funkcja $g$ osiąga wartość największą równą $3$ dla $x=0$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, dla $a<0$, przesunięto najpierw o $3$ jednostki w dół, a następnie o $7$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$

Wyznaczymy:

a) zbiór wartości funcji $g$,

b) liczbę rozwiązań równania $g\left(x\right)=4$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ o $3$ jednostki w dół, a następnie o $7$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$, oznacza przesunięcie tego wykresu o $4$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$.

Zatem:

a) zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział (  $-\mathrm{\infty },4>$,

b) wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji $g$ jest punkt o współrzędnych $\left(0,4\right)$, więc równanie $f\left(x\right)=4$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f\left(x\right)=\sqrt{5}{x}^2$. Parabolę, będącą wykresem tej funkcji przesunięto o $2$ jednostki w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

R1VKO6UONBF29

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. W układzie współrzędnych zaznaczono funkcję kwadratową f, której wykres jest parabolą z ramionami skierowanymi do góry oraz wierzchołkiem w początku układu współrzędnych. Parabola przechodzi przez punkty nawias, minus, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu oraz nawias, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu .W tym samym układzie zaznaczono również wykres funkcji g, czyli wykres funkcji f przeniesiony o dwie jednostki do dołu.

Określimy liczbę rozwiązań równania $g\left(x\right)=m$, gdy $m\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że po przesunięciu paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wierzchołek otrzymanej paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(0,-2\right)$.

Ponieważ $a=\sqrt{5}>0$, zatem ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ są skierowane do góry.

Zatem równanie $g\left(x\right)=m$, gdy $m\in \mathrm{ℝ}$:

• nie ma rozwiązania, gdy $m\in \left(-\infty ,-2\right)$,

• ma jedno rozwiązanie, gdy $m=-2$,

• ma dwa rozwiązania, gdy $m\in \left(-2,\infty \right)$.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona za pomocą wzoru $f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2-2$.

Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$,

b) zbiór wartości funkcji $f$.

Rozwiązanie:

a) Ze wzoru funkcji$f$ możemy odczytać, że wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, ma współrzędne $\left(0,-2\right)$.

b) Ponieważ $a=-\frac{1}{4}$, zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zatem przedział $\left(-\infty ,-2\right.⟩$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$.

RXKXTXFETU85U

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus ośmiu do dwóch . Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji kwadratowej f z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik minus osiem i ramionami skierowanymi w górę. Parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus sześć koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus sześć koniec nawiasu. Funkcja ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus cztery średnik zero koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik zero koniec nawiasu.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji $f$ możemy odczytać, że wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji  ma współrzędne $\left(0,-8\right)$.

Zatem wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=a{x}^2-8$.

Do wykresu funkcji $f$ należy na przykład punkt o współrzędnych $\left(2,-6\right)$, zatem w celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$-6=a·2^2-8$.

Otrzymujemy zatem $a=\frac{1}{2}$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-8$.

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+q$ należy punkt o współrzednych $\left(-1,3\right)$, a zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty ,6\right.⟩$.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Ponieważ przedział $\left(-\infty ,6\right.⟩$ jest zbiorem wartości funkcji $f$, zatem $q=6$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=a{x}^2+6$.

Jeżeli punkt o współrzędnych $\left(-1,3\right)$ należy do wykresu funkcji $f$, to w celu wyznaczania wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$3=a·{\left(-1\right)}^2+6$, zatem $a=-3$.

Funkcję $f$ określamy za pomocą wzoru $f\left(x\right)=-3x^2+6$.

Wykres funkcji $f\left(x-p\right)+q$ otrzymujemy w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $X$ o $p$ jednostek w prawo, gdy $p>0$ lub o $p$ jednostek w lewo, gdy $p<0$ oraz wzdłuż osi $Y$ o $q$ jednostek w górę, gdy $q>0$ lub o $q$ jednostek w dół, gdy $q<0$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, dla $a>0$ , przesunięto o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ i $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$, a następnie o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ i $1$ jednostkę w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $g$,

b) przedziały monotoniczności funkcji $g$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wykonanie omawianych przekształceńprzekształcenie wykresu funkcji $f\left(x-p\right)+q$przekształceń wykresu funkcji $f$ sprowadza się do przesunięcia tego wykresu o $1$ jednostkę w lewo wzdłuż osi $X$ oraz o $1$ jednostkę w górę wzdłuż osi $Y$.

Zatem:

a) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(-1,1\right)$,

b) funkcja $g$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-1\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨-1,\infty \right)$.

Dany jest wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-3{\left(x+2\right)}^2-4$.

RVG91757T5MEV

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do dwóch oraz pionowa oś Y od minus sześciu do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu.

Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$

b) oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$,

c) przedziały monotoniczności funkcji $f$.

Rozwiązanie:

a) Wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $\left(-2,-4\right)$.

b) Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $p=-2$, zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x=-2$.

c) Ponieważ $a=-3$, zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu.

Zatem funkcja jest:

• rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,-2\right.⟩$,

• malejąca w przedziale $\left.⟨-2,\infty \right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$.

R1UZ2FV1AS86V

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do trzech i pionową oś Y od minus pięciu do dwóch. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabola z ramionami skierowanymi w dół i wierzchołkiem w punkcie nawias minus dwa średnik minus dwa. Wykres funkcji przechodzi przez punkty nawias minus pięć średnik minus pięć koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus pięć koniec nawiasu.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że prosta o równaniu $x=-2$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, zatem $p=-2$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty ,-2\right.⟩$, zatem $q=-2$.

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci: $f\left(x\right)=a{\left(x+2\right)}^2-2$.

Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy, że należy do niego punkt o współrzędnych $\left(1,-5\right)$.

Zatem w celu wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$-5=a·{\left(1+2\right)}^2-2$, więc $a=-\frac{1}{3}$.

Wzór funkcji $f$, której wykres przedstawiono na rysunku jest postaci $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(x+2\right)}^2-2$.

Wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$ spełnia następujące warunki:

• do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $\left(5,1\right)$,

• osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x=3$,

• zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨-1,\infty \right)$.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Ponieważ osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, jest prosta o równaniu $x=3$, zatem $p=3$.

Jeżeli zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨-1,\infty \right)$, to $q=-1$.

Zatem wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2-1$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(5,1\right)$ należy do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, zatem w celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1=a·{\left(5-3\right)}^2-1$.

Zatem $a=\frac{1}{2}$.

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^2-1$.