1. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej - Własności funkcji kwadratowej

R1R4P7FCJJTRV

1. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Jej miejsca zerowe (o ile istnieją) można odczytać geometrycznie kreśląc cyrklem odpowiedni okrąg.

Średnicą tego okręgu jest odcinek $A B$ o końcach $A = (0; 1)$ oraz $B = (- \frac{b}{a}; \frac{c}{a})$ . Odkrycie to zawdzięczamy szkockiemu historykowi Thomasowi Carlyle'owi ( $1795$ – $1881$ ).

R1QvRFz2fAacN1

Ilustracja przedstawia wizerunek Thomasa Carlyla. Jest to czarno- biały portret elegancko ubranego mężczyzny z brodą. — Thomas Carlyle
Źródło: dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Nabycie umiejętności określania różnorodnych własności funkcji na podstawie wzoru i wykresu pozwala na wyjaśnienie wielu problemów matematycznych

Twoje cele

Ustalisz algorytm obliczania miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Wyznaczysz miejsca zerowe funkcji kwadratowej z użyciem wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Sprawdzisz istnienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej w zadaniach z parametrami.

Miejsce zerowe

Definicja: Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej będziemy określać na różne sposoby:

poprzez odczytywanie z wykresu funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej,
z wykorzystaniem definicji miejsca zerowego,
z zastosowaniem wzorów na miejsca zerowe, w zależności od wartości wyróżnika funkcji kwadratowej.

Graficznie miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe funkcji określamy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią $X$ .

Przykład 1

Odczytamy wartości miejsc zerowych z wykresu funkcji kwadratowej $f$ , której wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

RS9ZA9AM512QB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionowa od minus 2 do czterech oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę z ramionami skierowanymi w dół oraz wierzchołkiem w punkcie nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Funkcja posiada miejsca zerowe w punktach minus 3 oraz trzy.

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy, że miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $(- 3)$ oraz $3$ .

Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ oraz $a \neq 0$ , to:

gdy $Δ > 0$ , funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 3 x^{2} - 3$ .

Ponieważ $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3) = 36$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

R184QHH93NZ7H

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Na wykresie oznaczono dwa punkty będące miejscami zerowymi funkcji. Są to punkty o współrzędnych: nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x$ .

Ponieważ $Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 0 = 9$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

R114ETP5D939O

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w pierwszej ćwiartce układu. Na wykresie oznaczono dwa punkty będące miejscami zerowymi funkcji. Są to punkty o współrzędnych: nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

gdy $Δ = 0$ , funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

Ponieważ $a = 1$ oraz $Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

R1ZF4PPDKDBHR

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, dziewięć. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Na wykresie oznaczono jeden punkt będący miejscem zerowym funkcji. Punkt ten pokrywa się z wierzchołkiem paraboli.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x - 4$ .

Ponieważ $a = - 1$ oraz $Δ = 4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

R1EMD83OKECE2

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, cztery. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych nawias, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Na wykresie oznaczono jeden punkt będący miejscem zerowym funkcji. Punkt ten pokrywa się z wierzchołkiem paraboli.

gdy $Δ < 0$ , funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ .

Ponieważ $Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = - 7$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R1V9PUZ7CDX43

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku znajdującym się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Brak miejsc zerowych, parabola nie przecina się z osią X.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ .

Ponieważ $a = - \frac{1}{2}$ oraz $Δ = 0^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 1) = - 2$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

R1F8TF1HAKTLU

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku znajdującym się w punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Brak miejsc zerowych, parabola nie przecina się z osią X.

liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Własność: liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Każda funkcja kwadratowa ma co najwyżej dwa miejsca zerowe.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej możemy wyznaczyć korzystając z równości $f (x) = 0$ .

Przykład 2

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ określonej wzorem:

a) $f (x) = x^{2} + 4 x$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} + 4 x = 0$ , które zapisujemy w postaci $x (x + 4) = 0$ , zatem $x = 0$ lub $x = - 4$ .

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $0$ oraz $(- 4)$ .

b) $f (x) = x^{2} - 9$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} - 9 = 0$ , które zapisujemy w postaci $x^{2} = 9$ , zatem $x = - 3$ lub $x = 3$ .

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $(- 3)$ oraz $3$ .

c) $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ , które przekształcamy do postaci ${(x - 3)}^{2} = 0$ , zatem $x - 3 = 0$ , czyli $x = 3$ .

Funkcja $f$ ma jedno miejsce zerowe $3$ .

d) $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy równanie $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ , które przekształcamy do postaci $x^{2} + 4 x + 4 - 1 = 0$ .

Zatem ${(x + 2)}^{2} = 1$ , czyli $x + 2 = 1$ lub $x + 2 = - 1$ .

Obliczamy, że $x = - 1$ lub $x = - 3$

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $(- 1)$ oraz $(- 3)$ .

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a \neq 0$ , oraz

$∆ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowemiejsce zerowemiejsca zerowe: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$
$∆ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe: $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
$∆ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Przykład 3

Obliczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + x + 12$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12 = 49 > 0$ , zatem funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe.

Wyznaczamy

$x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{49}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 1 - 7}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$

$x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{49}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 1 + 7}{- 2} = \frac{6}{- 2} = - 3$

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $4$ oraz $(- 3)$ .

Przykład 4

Obliczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = {(x - 2)}^{2} - 4$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcji $f$ rozwiązujemy równanie:

${(x - 2)}^{2} - 4 = 0$

Równanie po przekształceniu zapisujemy w postaci ${(x - 2)}^{2} = 4$ .

Równanie to jest równoważne równaniom: $x - 2 = 2$ lub $x - 2 = - 2$ .

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $0$ oraz $4$ .

Wiedząc o tym, że liczba miejsc zerowychmiejsce zerowemiejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika, możemy znajdować wartości parametrów we wzorze funkcji kwadratowej, znając liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $b$ funkcja określona wzorem $f (x) = 2 x^{2} - b x + 1$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy $Δ = 0$ .

Obliczamy $Δ = {(- b)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = b^{2} - 8$

Do wyznaczenia wartości parametru $b$ rozwiązujemy równanie

$b^{2} - 8 = 0$ , zatem $b = - 2 \sqrt{2}$ lub $b = 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $b$ funkcja kwadratowa określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ nie ma miejsc zerowych, przy założeniu, że $a > 0$ .

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy $Δ < 0$ .

Obliczamy:

$Δ = b^{2} - 4 a$ .

Zakres wartości parametru $b$ określimy przez rozwiązanie nierówności

$b^{2} - 4 a < 0$

Nierówność możemy zapisać w postaci $b < 2 \sqrt{a}$ i $b > - 2 \sqrt{a}$ , zatem $b \in (- 2 \sqrt{a}, 2 \sqrt{a})$ .

Jeżeli wzór funkcji kwadratowej możemy zapisać za pomocą iloczynu czynników liniowych, to miejscami zerowymi funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ są liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ .

Przykład 7

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 (x + 8) (x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $x_{1} = - 8$ oraz $x_{2} = 2$ .

Jeżeli liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , wówczas wartość współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ możemy obliczyć ze wzoru:

p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

Przykład 8

Wiadomo, że funkcja kwadratowa $f$ ma dwa miejsca zerowe. Obliczymy wartość drugiego miejsca zerowego, jeżeli jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $(- 2)$ , zaś pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ wynosi $p = 4$ .

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenie: $x_{2}$ – drugie miejsce zerowe funkcji kwadratowej $f$ .

W celu wyznaczenia wartości tego miejsca zerowego, rozwiązujemy równanie:

$4 = \frac{- 2 + x_{2}}{2}$

Zatem $x_{2} = 10$ .

Schemat interaktywny

Poniżej przedstawiono schemat interaktywny dotyczący określania miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru. Przeanalizuj działanie schematu, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RVKNU6FQN54PA1

Polecenie 1

Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem:

a) $f (x) = 2 x^{2} - 1$

b) $f (x) = x^{2} - 6 x$

c) $f (x) = x^{2} + 10 x + 25$

d) $f (x) = x^{2} - x - 12$

a) $2 x^{2} - 1 = 0$ , czyli $x^{2} = \frac{1}{2}$ , zatem $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) $x^{2} - 6 x = 0$ , czyli $x (x - 6) = 0$ , zatem $x = 0$ lub $x - 6 = 0$ .

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $0$ oraz $6$ .

c) $x^{2} + 10 x + 25 = 0$ , czyli ${(x + 5)}^{2} = 0$ , zatem $x + 5 = 0$

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $(- 5)$ .

d) $x^{2} - x - 12 = 0$

$∆ = 49$ oraz $\sqrt{∆} = 7$

$x_{1} = \frac{1 - 7}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $(- 3)$ oraz $4$ .

Polecenie 2

W poniższym schemacie przygotuj algorytm określający miejsca zerowe funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru.

R1JAZCVMK4ERA

Przygotuj w języku Python algorytm określający miejsca zerowe funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

RBHKZ6HXJB77S1

Linia 1. x znak równości None. Linia 2. a znak równości None. Linia 3. delta znak równości None. Linia 4. wynik znak równości None. Linia 5. b znak równości None. Linia 6. c znak równości None. Linia 8. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Określanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Linia 9. na podstawie jej wzoru ax kareta 2 plus bx plus c znak równości 0 kropka. Linia 10. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 11. def Miejsca podkreślnik zerowych podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 12. global x przecinek a przecinek delta przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 13. a znak równości 1. Linia 14. b znak równości minus 2. Linia 15. c znak równości 0. Linia 16. if a znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 17. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest równanie kwadratowe kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 18. else dwukropek. Linia 19. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x2 zamknij nawias okrągły for x2 in otwórz nawias kwadratowy apostrof otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny znak równości otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kareta 2 minus 4 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek c przecinek apostrof zamknij nawias okrągły apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 20. if delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 21. print otwórz nawias okrągły apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny 0 przecinek to funkcja nie ma miejsc zerowych kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 22. else dwukropek. Linia 23. if delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 24. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny znak równości 0 przecinek to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci dwukropek x podkreślnik 1 znak równości x podkreślnik 2 znak równości apostrof przecinek apostrof minus otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły prawy ukośnik 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 25. else dwukropek. Linia 26. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x4 zamknij nawias okrągły for x4 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny zamknij nawias ostrokątny 0 przecinek to funkcja ma dwa miejsca zerowe postaci dwukropek x podkreślnik 1 znak równości apostrof przecinek apostrof otwórz nawias okrągły minus otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły minus √ apostrof przecinek delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły prawy ukośnik 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły przecinek x podkreślnik 2 znak równości otwórz nawias okrągły minus otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły plus √ apostrof przecinek delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły prawy ukośnik 2 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 28. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 29. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 30. def delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 31. global x przecinek a przecinek delta przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 32. delta znak równości b asterysk b minus 4 asterysk otwórz nawias okrągły a asterysk c zamknij nawias okrągły. Linia 33. return delta. Linia 35. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 36. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 37. def znak otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 38. global a przecinek delta przecinek wynik przecinek b przecinek c. Linia 39. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 40. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 41. else dwukropek. Linia 42. wynik znak równości apostrof plus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 43. return wynik. Linia 46. Miejsca podkreślnik zerowych podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

x = None
a = None
delta = None
wynik = None
b = None
c = None

"""Określanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej
na podstawie jej wzoru ax^2 + bx + c = 0.
"""
def Miejsca_zerowych_funkcji_kwadratowej():
  global x, a, delta, wynik, b, c
  a = 1
  b = -2
  c = 0
  if a == 0:
    print('To nie jest równanie kwadratowe.')
  else:
    print(''.join([str(x2) for x2 in ['Δdelta=(', b, ')^2-4*(', a, ')*(', c, ')']]))
    if delta2() < 0:
      print('Ponieważ Δdelta<0, to funkcja nie ma miejsc zerowych. ')
    else:
      if delta2() == 0:
        print(''.join([str(x3) for x3 in ['Ponieważ Δdelta=0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci: x_1=x_2=', '-(', b, ')/2*(', a, ').']]))
      else:
        print(''.join([str(x4) for x4 in ['Ponieważ Δdelta>0, to funkcja ma dwa miejsca zerowe postaci: x_1=', '(-(', b, ')-√', delta2(), ')/2*(', a, '), x_2=(-(', b, ')+√', delta2(), ' )/2*(', a, ').']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def delta2():
  global x, a, delta, wynik, b, c
  delta = b * b - 4 * (a * c)
  return delta

"""Opisz tę funkcję...
"""
def znak(x):
  global a, delta, wynik, b, c
  if x < 0:
    wynik = '-' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '+' + str(x)
  return wynik


Miejsca_zerowych_funkcji_kwadratowej()

Polecenie 3

Zapoznaj się z poniższym apletem i przeanalizuj, jak zmienia się liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej wraz ze zmianą wartości współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

Mając podane współczynniki $a, b, c$ funkcji kwadratowej, określ ilość miejsc zerowych, jakie posiada określona funkcja.

RUVNCURVDK9OD

R15VTDGN9BNK2

R1ZB65R15F8ZM

RALJJU112EHQ3

RA4NDBA6BOCL1

RH186SZTPQ1JK

Polecenie 4

Podaj liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowych określonych wzorami:

a) $f (x) = x^{2} + 5$

b) $f (x) = - x^{2} + 10 x - 25$

c) $f (x) = x^{2} - 2 x$

a) Obliczamy:

$Δ = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = - 20$

Ponieważ $Δ < 0$ , zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

b) Obliczamy:

$Δ = 10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25) = 0$

Ponieważ $Δ = 0$ , zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe.

c) Obliczamy:

$Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 4$

Ponieważ $Δ > 0$ , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Sprawdź swoją wiedzę w zakresie wyznaczania postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, mając daną jej postać ogólną.

RzBmlGxKZnRMN

R151VVE7GLKBC

Daną mamy funkcję: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia osiem x, minus, dwadzieścia osiem. Wyznacznik tej funkcji kwadratowej to: DELTA, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a c, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem minus, cztery ×1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem ×1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem. Zatem miejsce zerowe tej funkcji to: x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, mianownik, dwa a, koniec ułamka, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem. Ostatecznie postać iloczynowa funkcji wygląda następująco: f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, a nawias, x, minus, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem

R3L1KQ4VKXX6R1

Ćwiczenie 2

Połącz wzór funkcji kwadratowej f z odpowiadającymi tej funkcji miejscami zerowymi: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka i początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka i nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. zero i dwa, 4. dwa i nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

RCD8J12H745VF1

Ćwiczenie 3

R16K92J659UE92

Ćwiczenie 4

R1E763RJM6FX72

Ćwiczenie 5

RLHGX1FEMSSE62

Ćwiczenie 6

R9NO4TUJ4X7SV2

Ćwiczenie 7

R214NVSPA62R63

Ćwiczenie 8

R17CMN7SL2TN93

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 4$ .

R2HSM5AXP4OHJ

R1P2D3QTVTZA9

R3HB6B9KS88Z91

Ćwiczenie 11

R1GRFGVP5LQ3X2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Funkcja $f$ jest określona za pomocą wzoru $f (x) = 2 x^{2} - x + c$ .

R18OCAN9QEOR2

Ćwiczenie 14

R6641E6RSDTBB

Ćwiczenie 15

R1VOGCCRGF7FK

Ćwiczenie 16

R9A9QCVJ72G43

Słownik

miejsce zerowe

argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0, pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

funkcja kwadratowa

funkcja określona za pomocą wzoru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

2. Oś symetrii wykresu, zbiór wartości i monotoniczność funkcji kwadratowej

Własności funkcji kwadratowej