2. Oś symetrii wykresu, zbiór wartości i monotoniczność funkcji kwadratowej - Własności funkcji kwadratowej

R1C7P31HXLQU1

2. Oś symetrii wykresu i zbiór wartości funkcji kwadratowej

Strumień wody wypływającej z ogrodowego węża zakreśla parabolę, która wynika z równań ruchu dla rzutu ukośnego. Taki sam tor ruchu mają obiekty wydostające się z fontann, armat, moździerzy i haubic oraz całej ogromnej klasy urządzeń i zjawisk, w których ruch odbywa się pod wpływem siły ciężkości, o ile tylko ciału nadano prędkość początkową o dowolnym kierunku względem siły ciążenia.

R4LJX914TQ5XK

Rys. 1. Zdjęcie przedstawia fontannę wyrzucającą pod ciśnieniem strumienie wody do góry i dookoła pod różnymi kątami.

Jak wysoko się wzniesie? Jak daleko sięgnie? Pod jakim kątem spadnie? Na te wszystkie pytania odpowiemy znając własności funkcji kwadratowej.

Twoje cele

Rozpoznasz oś symetrii oraz określisz wzór prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej.
Określisz zbiór wartości dowolnej funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru lub wykresu.
Wykorzystasz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Oś symetrii paraboli

Wykresem funkcji kwadratowej określonej na zbiorze $ℝ$ wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ i $a \neq 0$ jest parabolaparabolaparabola.

Zdefiniujmy pojęcie osi symetrii wykresu funkcji.

Oś symetrii wykresu

Definicja: Oś symetrii wykresu

Oś symetrii wykresu funkcji to prosta, względem której ten wykres jest sam do siebie symetryczny.

Oś symetrii paraboli – wykresu funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ i $a \neq 0$ , a wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem tej funkcji kwadratowej jest punkt o współrzędnych $W = (p, q)$ , to osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu

x = p = \frac{- b}{2 a}

R15FEE6PADEMH

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionową oś Y oraz wykres funkcji będącej parabolą z ramionami skierowanymi w górę. Wykres funkcji przecina oś X w dwóch miejscach, natomiast wierzchołek paraboli W znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych i ma współrzędne nawias p średnik q koniec nawiasu. Punkt W zrzutowano na oś X w punkcie p.

Wzór na równanie osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej nie zależy od położenia ramion paraboli.

RCA287AMRAZL6

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionową oś Y oraz wykres funkcji będącej parabolą z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji przecina oś X w dwóch miejscach, natomiast wierzchołek paraboli W znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i ma współrzędne nawias p średnik q koniec nawiasu. Punkt W zrzutowano na oś X w punkcie p.

Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest zawsze równoległa do osi $Y$ układu współrzędnych.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem:

a) $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x - 4$

b) $f (x) = \sqrt{2} x^{2} - x + 2$

Rozwiązanie:

a) $a = - \frac{1}{3}$ oraz $b = 2$ , zatem

$x = \frac{- 2}{2 \cdot (- \frac{1}{3})} = \frac{- 2}{- \frac{2}{3}} = 3$

b) $a = \sqrt{2}$ oraz $b = - 1$ , zatem

$x = \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Jeżeli funkcja kwadratowafunkcja kwadratowafunkcja kwadratowa jest określona za pomocą wzoru w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , to bez wykonywania obliczeń możemy wyznaczyć równanie osi symetrii jej wykresu.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem:

a) $f (x) = - 3 x^{2} + 5$

b) $f (x) = 2 {(x - 2)}^{2} - 3$

c) $f (x) = - {(x + 8)}^{2}$

Rozwiązanie:

Za każdym razem odczytujemy wartość współczynnika $p$ , zatem osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu:

a) $x = 0$

b) $x = 2$

c) $x = - 8$

Zauważmy, że jeśli do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ należą punkty, których pierwsze współrzędne to odpowiednio $x_{1}$ i $x_{2}$ oraz punkty te leżą po obu stronach osi symetrii wykresu, w równych odległościach od jej wierzchołka, to równanie osi symetrii wykresu takiej funkcji kwadratowej opisujemy za pomocą wzoru

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

Przykład 3

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $(- 3, 5)$ oraz $(5, 5)$ . Wyznaczymy równanie osi symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Rozwiązanie:

Jeżeli do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $(- 3, 5)$ oraz $(5, 5)$ , to korzystając z powyższej własności równanie osi symetrii jest postaci:

$x = \frac{- 3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Przykład 4

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji kwadratowych $f$ , $g$ , $h$ i $k$ .

RS9HLH2QTD5GK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus siedmiu do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykresy czterech funkcji będących parabolami. Pierwsza parabola g ma ramiona skierowane ku górze i przecina oś X w punkcie minus cztery i w punkcie zero. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus cztery. Druga parabola f ma ramiona skierowane ku górze i przecina oś X w puncie dwa oraz punkcie cztery. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias trzy średnik minus jeden. Trzecia parabola h ma ramiona skierowane w dół i nie przecina osi x. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias minus trzy średnik minus cztery. Czwarta parabola k ma ramiona skierowane w dół i ma tylko jedno miejsce zerowe w punkcie jeden. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias jeden średnik zero koniec nawiasu.

Odczytamy równania osi symetrii wykresów tych funkcji.

Rozwiązanie:

Równania osi symetrii tych funkcji są określone poniższymi wzorami:

dla wykresu funkcji $f$ : $x = 3$ ,

dla wykresu funkcji $g$ : $x = - 2$ ,

dla wykresu funkcji $h$ : $x = - 3$ ,

dla wykresu funkcji $k$ : $x = 1$ .

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru m osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} + (m^{2} - m) x + 3$ jest prosta o równaniu $x = - 6$ .

Rozwiązanie:

Wartości współczynników ze wzoru funkcji kwadratowej $f$ wynoszą odpowiednio:

$a = 1$

$b = m^{2} - m$

Zatem oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ opisuje równanie:

$x = \frac{- m^{2} + m}{2}$

Wobec tego do wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:

$- 6 = \frac{- m^{2} + m}{2}$

$- m^{2} + m + 12 = 0$

$m_{1} = \frac{- 1 - 7}{- 2} = 4$ oraz

$m_{2} = \frac{- 1 + 7}{- 2} = - 3$

Wobec tego $m \in \{- 3, 4\}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równaniem osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - (m + 3) x - 2$ jest prosta, która leży w $I$ i $IV$ ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wartości współczynników ze wzoru funkcji kwadratowej $f$ wynoszą odpowiednio:

$a = 2$

$b = - (m + 3)$

Zatem oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ opisuje równanie:

$x = \frac{m + 3}{4}$

Jeżeli oś symetrii wykresu tej funkcji leży w $I$ i $IV$ ćwiartce układu współrzędnych, to do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówność:

$\frac{m + 3}{4} > 0$

Zatem $m > - 3$ , czyli $m \in (- 3, \infty)$ .

Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Każda funkcja, w tym dowolna funkcja kwadratowa, posiada dziedzinę i zbiór wartości, które pozwalają określić jej własności. Wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej znajduje szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu różnych problemów matematycznych.

Zbiorem wartości dowolnej funkcji liczbowej jest zbiór wszystkich tych liczb, które są wartościami funkcji dla wszystkich jej argumentów.

Ważne!

Intuicyjnie zbiór wartości funkcji określamy jako zbiór tych liczb, które otrzymujemy poprzez podstawienie do wzoru funkcji wszystkich elementów z dziedziny tej funkcji.

Przykład 7

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji, której wykres przedstawiono poniżej.

R1SQJSV8JGZUR

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus piętnastu do piętnastu i pionową oś Y od minus dziesięciu do dziesięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa przecinek pięć średnik pięć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus dwa przecinek pięć koniec nawiasu oraz nawias pięć średnik zero koniec nawiasu.

Odczytujemy, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $(- \infty, 5⟩$ .

Znając współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$ paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej oraz wartość współczynnika $a$ możemy wyznaczyć zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ :

dla $a > 0$ (ramiona paraboli skierowane są w górę) oraz $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ jest przedział $⟨ q, \infty)$ , funkcja osiąga wówczas wartość najmniejszą w wierzchołku $W = (p, q)$ ;

dla $a < 0$ (ramiona paraboli skierowane są w dół) oraz $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ jest przedział $(- \infty, q ⟩$ , funkcja osiąga wówczas wartość największą w wierzchołku $W = (p, q)$ .

Przykład 8

Wyznaczmy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji $f (x) = - 3 x^{2} + x + 4$ .

W tym celu odczytujemy wartość współczynnika $a$ , obliczamy $∆$ oraz $q$ .

Otrzymujemy, że $a = - 3$ oraz $∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4 = 1 + 48 = 49$ .

Zatem $q = \frac{- 49}{4 \cdot (- 3)} = \frac{- 49}{- 12} = \frac{49}{12}$ .

Ponieważ $a < 0$ oraz $q = \frac{49}{12}$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f (x)$ jest przedział $(- \infty, \frac{49}{12}⟩$ .

Ważne!

Jeżeli funkcja kwadratowa jest przedstawiona w postaci kanonicznej tj. $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , wówczas jej zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości możemy wyznaczyć bez wykonywania obliczeń.

Przykład 9

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji kwadratowej $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 12$ .

Ponieważ $a = 2$ i $q = - 12$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f (x)$ jest przedział $⟨- 12, \infty)$ .

Ważne!

Jeżeli pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli jest $p$ , to wartość drugiej współrzędnej $q$ można obliczyć z zależności $f (p) = q$ .

Przykład 10

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + 2 x - 1$ .

Obliczamy $p = \frac{- 2}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 2}{- 2} = 1$ oraz $q = f (1) = - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 = 0$ .

Ponieważ $a < 0$ oraz $q = 0$ , zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, 0⟩$ .

Wyznaczenie zbioru wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbioru wartości funkcji kwadratowej pozwala na rozwiązywanie bardziej złożonych problemów matematycznych.

Przykład 11

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $a$ zbiorem wartości funkcji $f (x) = 2 x^{2} + a$ jest przedział $⟨3, \infty)$ .

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest większy od zera, zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $⟨a, \infty)$ .

Stąd otrzymujemy, że $a = 3$ .

Przykład 12

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej $f$ , jeżeli wiadomo, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, - 3⟩$ , osią symetrii paraboli, będącej wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x = - 2$ i do wykresu należy punkt o współrzędnych $(0, - 7)$ .

Ponieważ osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta $x = - 2$ , zatem $p = - 2$ .

Jeżeli zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest przedział $(- \infty, - 3⟩$ , to $q = - 3$ .

Wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x + 2)}^{2} - 3$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(0, - 7)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie

$- 7 = a \cdot {(0 + 2)}^{2} - 3$ , czyli $a = - 1$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = - {(x + 2)}^{2} - 3$ .

Schemat interaktywny

Przeanalizuj działanie schematu interaktywnego, a następnie rozwiąż poniższe polecenie.

R1C85XJ4SPVCS

Polecenie 1

Stwórz algorytm obliczający równanie osi symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , mając dane jej parametry.

RA1NOH5RK834P

Przygotuj w języku Python algorytm obliczający równanie osi symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , mając dane jej parametry.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

R1VBDCMPAPGFS

Linia 1. a znak równości None. Linia 2. x znak równości None. Linia 3. b znak równości None. Linia 4. c znak równości None. Linia 6. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Wyznaczanie równania osi symetrii paraboli przecinek. Linia 7. która jest wzorem funkcji f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości ax kareta 2 plus bx plus c kropka. Linia 8. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 9. def R podkreślnik C3 podkreślnik B3wnanie podkreślnik osi podkreślnik symetrii podkreślnik paraboli otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 10. global a przecinek x przecinek b przecinek c. Linia 11. a znak równości 1. Linia 12. b znak równości minus 2. Linia 13. c znak równości 4. Linia 14. if a znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 15. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest równanie kwadratowe kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 16. else dwukropek. Linia 17. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Równanie osi symetrii paraboli przecinek która jest wzorem funkcji f dwukropek x znak równości minus b prawy ukośnik 2a znak równości apostrof przecinek x2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 19. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 20. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 21. def x2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 22. global a przecinek x przecinek b przecinek c. Linia 23. x znak równości otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk a zamknij nawias okrągły. Linia 24. return x. Linia 27. R podkreślnik C3 podkreślnik B3wnanie podkreślnik osi podkreślnik symetrii podkreślnik paraboli otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

a = None
x = None
b = None
c = None

"""Wyznaczanie równania osi symetrii paraboli,
która jest wzorem funkcji f(x)=ax^2+bx+c.
"""
def R_C3_B3wnanie_osi_symetrii_paraboli():
  global a, x, b, c
  a = 1
  b = -2
  c = 4
  if a == 0:
    print('To nie jest równanie kwadratowe.')
  else:
    print(''.join([str(x3) for x3 in ['Równanie osi symetrii paraboli, która jest wzorem funkcji f: x=-b/2a=', x2(), '.']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def x2():
  global a, x, b, c
  x = (-1 * b) / (2 * a)
  return x


R_C3_B3wnanie_osi_symetrii_paraboli()

Polecenie 2

Podaj równania osi symetrii wykresów funkcji kwadratowych $f$ określonych wzorami:

a) $f (x) = \sqrt{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + 1$

b) $f (x) = (\sqrt{3} + 1) x^{2} + x + 2$

c) $f (x) = - \sqrt{5} x^{2} + 5$

a) $x = \frac{\frac{1}{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$

b) $x = \frac{- 1}{2 \cdot (\sqrt{3} + 1)} = \frac{- \sqrt{3} + 1}{2 \cdot (3 - 1)} = \frac{- \sqrt{3} + 1}{4}$

c) $x = \frac{0}{2 \cdot (- \sqrt{5})} = \frac{0}{- 2 \sqrt{5}} = 0$

Animacja multimedialna

Obejrzyj animację, a następnie wykonaj polecenie.

R1KQ5GDEBCGFM

Polecenie 2

Na podstawie animacji wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej opisanej wzorem:

a) $f (x) = 3 \cdot (x + 3) (x - 2)$

b) $f (x) = - 2 \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

Ponieważ $x_{1} = - 3$ oraz $x_{2} = 2$ , to korzystając ze wzoru $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ otrzymujemy, że $p = \frac{- 3 + 2}{2} = - 0, 5$ , zatem

$q = f (p) = 3 \cdot (- 0, 5 + 3) (- 0, 5 + 2) = 11, 25$ .

Zbiorem wartości funkcji $f (x)$ jest przedział: $⟨11, 25; \infty)$ .

Z podanego wzoru funkcji możemy odczytać, że $p = 2$ , $q = 3$ .

Ponieważ $a < 0$ oraz $q = 3$ ,

zatem zbiorem wartości funkcji $f (x)$ jest przedział $(- \infty, 3⟩$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1LX7UPTEXMOT

Ćwiczenie 2

R4MJGCG7CHU5T

Ćwiczenie 3

RSDM4XQLE7D62

Ćwiczenie 4

R1JORGM7SS679

Ćwiczenie 5

RV2QPT5D65ADB

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

R1VLQSKL7C76L

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus jedynki do siedmiu oraz pionową oś Y od minus jedynki do pięciu. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji y będący parabolą z ramionami skierowanymi w dół, przecinającą oś X w dwóch punktach. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu.

ROPCKJSQPFGMH

Ćwiczenie 7

Na poniższym rysunku przedstawiono parabolę.

RAXRLSME2MNA4

RVS1V7DX9G5QK

R1ETKX42ZPDAP1

Ćwiczenie 8

RUJ74ES2A8R6N1

Ćwiczenie 9

R16JOL47OU1RH2

Ćwiczenie 10

RR2Q1H6XDG3NN2

Ćwiczenie 11

RM98BU7TGRX222

Ćwiczenie 12

RBPRSKB5MCMHK3

Ćwiczenie 13

R7H1U5HZMFK1T3

Ćwiczenie 14

Słownik

parabola

wykres funkcji kwadratowej

funkcja kwadratowa

funkcja określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ i $a \neq 0$

zbiór wartości funkcji

zbiór wszystkich tych liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów

1. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

3. Wartości dodatnie, ujemne i monotoniczność funkcji kwadratowej

2. Oś symetrii wykresu i zbiór wartości funkcji kwadratowej

Oś symetrii paraboli

Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Schemat interaktywny

Animacja multimedialna

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik