• Poznasz definicję funkcji tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

• Wyznaczysz wartość funkcji tangens podanego kąta w trójkącie prostokątnym

• Zastosujesz definicję funkcji tangens w trójkącie prostokątnym oraz jej własności do rozwiązywania problemów matematycznych.

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

RGG9V9D54836R

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, która jest jednocześnie bokiem C B, o pionowej przyprostokątnej b, która jest bokiem A C oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem B A. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt BETA, a przy wierzchołku A znajduje się kąt alfa.

Do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu tg.

Wzór funkcji możemy zapisać słownie:

Zapisując wzór za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:

W wielu krajach do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu $\tan$. Stąd w wielu programach komputerowych, aby wyznaczyć tangens danego kąta musimy użyć właśnie tego skrótu.

Obliczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R1ODX9K74D1B8

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny C B A o podstawie C B, która ma długość cztery, o pionowej przyprostokątnej A C oraz o przeciwprostokątnej B A, która ma długość dziesięć. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt alfa, a przy wierzchołku A znajduje się kąt BETA.

Oznaczmy długość brakującej przyprostokątnej jako $x$.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że $x^2+4^2={10}^2$.

Z równania wynika, że $x^2=84$, zatem $x=2\sqrt{21}$ lub $x=-2\sqrt{21}$.

Ponieważ $x>0$, więc $x=2\sqrt{21}$.

Z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{21}}{4}=\frac{\sqrt{21}}{2}$,

$\mathrm{tg}\beta =\frac{4}{2\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$.

Wyznaczymy tangens mniejszego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, którego boki są kolejnymi liczbami naturalnymi.

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1HJQJRA3LFS1

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny A B C o podstawie x, plus, jeden, która jest jednocześnie bokiem C B, o pionowej przyprostokątnej x, która jest bokiem A C oraz o przeciwprostokątnej x, plus, dwa, która jest bokiem B A. Na ilustracji zaznaczono dwa kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt alfa.

W celu wyznaczenia wartości $x$ rozwiążemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+{\left(x+1\right)}^2={\left(x+2\right)}^2$

Zatem

$x^2+x^2+2x+1=x^2+4x+4$

$x^2-2x-3=0$

Wobec tego $x=\frac{2-4}{2}=-1$ lub $x=\frac{2+4}{2}=3$.

Czyli długości boków trójkąta wynoszą odpowiednio: $3$, $4$, $5$.

Tangens mniejszego kąta ostrego wynosi:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $4$, jeżeli wiadomo, że tangens jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od tangensa drugiego kąta ostrego.

RLEH8PCF1QGAN

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, która jest jednocześnie bokiem C B, o pionowej przyprostokątnej b, która jest bokiem A C oraz o przeciwprostokątnej B A o długości cztery. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt BETA, a przy wierzchołku A znajduje się kąt alfa.

Z warunków zadania wynika, że $\mathrm{tg}\alpha =2\mathrm{tg}\beta$ oraz $c=4$.

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$ oraz $\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$.

Po podstawieniu do zależności $\mathrm{tg}\alpha =2\mathrm{tg}\beta$ mamy, że:

$\frac{a}{b}=2·\frac{b}{a}$, czyli $a^2=2b^2$.

Zatem $a=\sqrt{2}b$ lub $a=-\sqrt{2}b$.

Ponieważ $a>0$ i $b>0$, więc $a=\sqrt{2}b$.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że ${\left(\sqrt{2}b\right)}^2+b^2=4^2$, więc $3b^2=16$.

Zatem $b^2=\frac{16}{3}$, czyli $b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ lub $b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Ponieważ $b>0$, więc $b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Czyli $a=\sqrt{2}·\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$.

Zatem przyprostokątne mają długości $a=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ oraz $b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Obliczymy tangensy kątów ostrych wyznaczonych przez środkową trójkątaśrodkowa trójkątaśrodkową trójkąta prostokątnego równoramiennego, poprowadzoną do ramienia tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny równoramienny, poprowadźmy odpowiednią środkową trójkąta i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R58J3P1XX2MJU

Ilustracja przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny. Przyprostokątne mają długość a każda. Kąt między każdą z nich a przeciwprostokątną wynosi 45 stopni. Z jednego z wierzchołków łączących przyprostokątną i przeciwprostokątną poprowadzono odcinek do drugiej przyprostokątnej. Utworzono w ten sposób drugi trójkąt prostokątny wewnątrz pierwszego o przyprostokątnych a oraz x. Zaznaczono kąty w nowym prostokącie: kąt beta między bokiem a i przeciwprostokątną, kąt alfa między bokiem x i przeciwprostokątną oraz kąt prosty.

Zauważmy, że $x=\frac{1}{2}a$.

Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{x}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{x}{a}=\frac{\frac{1}{2}a}{a}=\frac{1}{2}$

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku trójkąta