2. Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

R1PKXN1TRZHLL

Stosunków długości boków w trójkącie prostokątnym używano już w starożytnej Grecji, w dziełach Euklidesa i Archimedesa. Do rozwoju trygonometrii w matematyce przyczyniły się takie osoby jak Mikołaj Kopernik, czy Isaac Newton.

Nazwa funkcji cosinus powstała przez złożenie łacińskiego co– (wspólnik, towarzysz) i słowa sinus. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego. Przedrostek „ko–” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty.

Twoje cele

Zdefiniujesz funkcję cosinus w trójkącie prostokątnym.
Obliczysz wartości funkcji cosinus kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.
Zastosujesz definicję funkcji cosinus oraz jej własności do rozwiązywania problemów matematycznych.

Wprowadźmy definicję funkcji cosinus kąta ostregocosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Definicja: cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy iloraz długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

RUN5P3VALCAHZ

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, która jest jednocześnie bokiem C B, o pionowej przyprostokątnej b, która jest bokiem A C oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem A B. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Przy wierzchołku C oznaczono kąt prosty, przy wierzchołku B oznaczono kąt BETA, a przy wierzchołku A oznaczono kąt alfa.

Do oznaczenia funkcji cosinus używa się skrótu cos.

Wzór funkcji cosinus zapisujemy słownie:

$cosinus kąta ostrego = \frac{długość przyprostokątnej leżącej przy kącie}{długość przeciwprostokątnej}$

Zapisując za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:

$\cos α = \frac{b}{c}$ ,

$\cos β = \frac{a}{c}$ .

Powyższą definicję zastosujemy do wyznaczania wartości cosinusów kątów ostrych w trójkątach prostokątnych.

Przykład 1

Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

RJLDUNVHN14GX

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości sześć i o pionowej przyprostokątnej o długości trzy. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między opisanymi wyżej bokami, kąt BETA między przeciwprostokątną a podstawą o długości sześć oraz kąt alfa między przyprostokątną a bokiem o długości trzy.

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako $x$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $3^{2} + 6^{2} = x^{2}$ .

Z równania wynika, że $x^{2} = 45$ , zatem $x = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ lub $x = - \sqrt{45} = - 3 \sqrt{5}$ .

Ponieważ $x > 0$ , więc $x = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ .

Z definicji funkcji cosinus otrzymujemy, że:

$\cos α = \frac{3}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ,

$\cos β = \frac{6}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Ważne!

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi zależność:

0 < \cos α < 1

Wyjaśnienie tej nierówności można zapisać w dwóch krokach:

nierówność $\cos α > 0$ wynika wprost z definicji funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym,
ponieważ w dowolnym trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej jest zawsze mniejsza od długości przeciwprostokątnej, zatem:
$\cos α = \frac{b}{c} < \frac{c}{c} = 1$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wartość cosinusa mniejszego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, jeżeli jedna przyprostokątna trójkąta ma długość $5$ , a przeciwprostokątna długość $10$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R4KS78U7PM16S

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, pionowej przyprostokątnej o długości pięć oraz o przeciwprostokątnej o długości dziesięć. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między podstawą a bokiem o długości pięć, kąt alfa między przeciwprostokątną a podstawą oraz kąt BETA między przyprostokątną a bokiem o długości pięć.

Niech $x$ oznacza długość drugiej przyprostokątnej. Wtedy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, rozwiązujemy równanie:

$x^{2} + 5^{2} = 10^{2}$ .

Zatem $x^{2} = 75$ , wobec tego

$x = 5 \sqrt{3}$ lub $x = - 5 \sqrt{3}$ .

Ponieważ $x$ jest długością boku, zatem $x = 5 \sqrt{3}$ .

W dowolnym trójkącie kąt o najmniejszej mierze leży naprzeciwko najkrótszego boku, zatem mniejszym kątem ostrym jest kąt o mierze $α$ .

Wobec tego

$\cos α = \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Przykład 3

Według wytycznych BHP kąt nachylenia drabiny przystawnej powinien wynosić od $65 °$ do $75 °$ . Czy drabina o długości $3 m$ , której dolny koniec jest oddalony od ściany o $1, 2 m$ jest prawidłowo ustawiona? Na jaką wysokość sięga ta drabina?

R16O74OMA9A87

Rysunek przedstawia drabinę opartą o ścianę. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, gdzie drabina o długości trzech metrów jest przeciwprostokątną i tworzy z podłogą kąt alfa, odcinek na podłodze między drabiną a ścianą jest podstawą trójkąta o długości 1,2 metra, a część ściany dopełniająca trójkąt jest opisana jako h. Między podłogą a ścianą zaznaczono również kąt prosty.

Rozwiązanie:

Przy oznaczeniach jak na rysunku zapisujemy.

$\cos α = \frac{1, 2}{3} = 0, 4$

Odczytujemy z tablic wartość kąta, dla którego cosinus przyjmuje podaną wartość

R1XKHBODU3RM3

Rysunek przedstawia fragment tabeli wartości funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus i tangens dla wartości kątów od czterdziestu pięciu stopni do siedemdziesięciu. Wartości funkcji trygonometrycznych podane są z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.
W tabeli wyróżniono liczbę 0,4067 będącą wartością funkcji kosinus kąta sześćdziesiąt sześć stopni. — Źródło: *Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki*, CKE, s. 34.

$α \approx 66 °$

Wysokość, na jaką sięga drabina, można wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa.

Z twierdzenia Pitagorasa: ${(1, 2)}^{2} + h^{2} = 3^{2}$ stąd $h = \sqrt{9 - 1, 44} = \sqrt{7, 56} \approx 2, 7 m$ .

Odpowiedź: Drabina jest prawidłowo ustawiona, ponieważ kąt $66 °$ mieści się w zalecanych przez BHP wytycznych. Drabina sięga na wysokość ok. $2, 7 m$ .

Przykład 4

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $12$ , jeżeli wiadomo, że cosinus jednego kąta ostrego jest trzy razy większy od cosinusa drugiego kąta ostrego.

RUN5P3VALCAHZ

Z warunków zadania wynika, że $\cos α = 3 \cos β$ oraz $c = 12$ .

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Po podstawieniu do zależności $\cos α = 3 \cos β$ mamy, że:

$\frac{b}{c} = 3 \cdot \frac{a}{c}$ , czyli $b = 3 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $c^{2} = a^{2} + {(3 a)}^{2}$ , więc $c = \sqrt{10} a$ .

Otrzymujemy równanie $12 = \sqrt{10} a$ , zatem $a = \frac{6 \sqrt{10}}{5}$ .

Zatem przyprostokątne mają długości:

$a = \frac{6 \sqrt{10}}{5}$ ,

$b = 3 \cdot \frac{6 \sqrt{10}}{5} = \frac{18 \sqrt{10}}{5}$ .

Przykład 5

Dany jest prostokąt o bokach długości $4$ i $8$ . Wyznaczymy cosinusy kątów, jakie tworzy przekątna tego prostokąta z jego bokami.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostokąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RHDORQ4U76GUG

Rysunek przedstawia prostokąt, w którym poprowadzono przekątną, dzięki czemu utworzono trójkąt prostokątny o podstawie o długości osiem, przeciwprostokątnej x i pionowej przyprostokątnej o długości cztery. W trójkącie oznaczono kąty wewnętrzne. Kąt prosty między przyprostokątnymi o długościach cztery oraz osiem, kąt alfa między podstawą a przeciwprostokątną oraz kąt BETA między przeciwprostokątną a bokiem o długości cztery .

Zauważmy, że przekątna prostokąta dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Jeżeli długość przekątnej prostokąta oznaczymy jako $x$ , to korzystając z twierdzenia Pitagora rozwiązujemy równanie:

$4^{2} + 8^{2} = x^{2}$ ,

zatem

$x^{2} = 80$

$x = 4 \sqrt{5}$ .

Wobec tego:

$\cos α = \frac{8}{4 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ,

$\cos β = \frac{4}{4 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje jakie wartości przyjmuje funkcja cosinus.

RpCUgFQNB6haW1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Funkcja cosinus jest funkcją malejącą dla $α \in (0, 90 °)$ .

Prezentacja multimedialna

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1QSXF4DD7VXK

Slajd pierwszy. Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: kosinus alfa, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka. Slajd drugi. Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym α takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka. Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa. Slajd trzeci. Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zatem mamy a, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka. Stąd kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka. Zatem kosinus alfa, plus, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, plus, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka Slajd czwarty. Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zatem mamy a, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia koniec pierwiastka, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka. Stąd kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Ponieważ pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, większy niż, dwa, zatem kosinus alfa, większy niż, kosinus BETA. Slajd piąty. Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, którego boki są wyrazami ciągu arytmetycznego. Zagadnienie: Długość boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4, a przeciwprostokątna ma długość dwadzieścia. Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej b i o przeciwprostokątnej o długości dwadzieścia. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami b i 20, kąt alfa między bokami a i 20 oraz kąt prosty między bokami a i b. Rozwiązanie: a, równa się, dwadzieścia, minus, cztery, równa się, szesnaście oraz b, równa się, szesnaście, minus, cztery, równa się, dwanaście, stąd mamy kosinus alfa, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka oraz kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka.

Slajd pierwszy.

Przypomnijmy definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Definicja: cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast bok c to przeciwprostokątna. Kąty wewnętrze trójkąta to: beta między bokami a i c, alfa między bokami b i c oraz kąt prosty między a i b. Obok ilustracji zapisano: $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Slajd drugi.

Zgodnie z definicją funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości odpowiednich boków, zatem istnieje nieskończenie wiele różnych trójkątów prostokątnych o kącie ostrym alfa takich, których cosinus przyjmuje tę samą wartość, np. $\cos α = \frac{1}{3}$ . Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne ustawione obok siebie. Pierwszy od lewej ma podstawę o długości 1 i przeciwprostokątną o długości trzy. Między tymi bokami oznaczono kąt alfa. Drugi trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 2 i przeciwprostokątną o długości sześć. Między tymi bokami oznaczono taki sam kąt alfa. Trzeci trójkąt prostokątny ma podstawę o długości 3 i przeciwprostokątną o długości dziewięć. Między tymi bokami oznaczono również kąt alfa.

Slajd trzeci.

Wyznaczymy sumę cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Zagadnienie: Ile wynosi suma cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego z poniższego rysunku? Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 2 i o przeciwprostokątnej o długości pięć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 2 i 5, kąt alfa między bokami a i 5 oraz kąt prosty między bokami 2 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + 2^{2} = 5^{2}$ , zatem mamy $a = \sqrt{21}$ . Stąd $\cos α = \frac{\sqrt{21}}{5}$ oraz $\cos β = \frac{2}{5}$ . Zatem $\cos α + \cos β = \frac{\sqrt{21} + 2}{5}$

Slajd czwarty.

Porównamy wartości cosinusów kątów ostrych dla trójkąta prostokątnego. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej a, o pionowej przyprostokątnej o długości 4 i o przeciwprostokątnej o długości sześć. Kąty wewnętrzne trójkąta to: kąt beta między bokami 4 i 6, kąt alfa między bokami a i 6 oraz kąt prosty między bokami 4 i a. Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + 4^{2} = 6^{2}$ , zatem mamy $a = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ . Stąd $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ oraz $\cos β = \frac{2}{3}$ . Ponieważ $\sqrt{5} > 2$ , zatem $\cos α > \cos β$ .

Polecenie 1

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $5$ , a druga jest o $1$ krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RCMD4K9NDVUV7

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, minus, jeden, pionowej przyprostokątnej o długości pięć oraz o przeciwprostokątnej o długości x. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x, minus, jeden a pięć, kąt alfa między podstawą a przeciwprostokątną oraz kąt BETA między bokiem pięć a przeciwprostokątną.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy i rozwiązujemy równanie:

$5^{2} + {(x - 1)}^{2} = x^{2}$ .

Wobec tego:

$25 + x^{2} - 2 x + 1 = x^{2}$

$2 x = 26$

$x = 13$ .

Zatem trójkąt ma boki długości $5$ , $12$ , $13$ oraz

$\cos α = \frac{12}{13}$ ,

$\cos β = \frac{5}{13}$ .

Infografika

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj zamieszczone pod nią polecenie.

R1F7ZQK9JJX38

Ilustracja interaktywna Definicja: Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej., Ilustracja definicji przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b, kąt alfa między bokami b i c oraz kąt dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa między bokami a i c. Obok ilustracji zapisano: kosinus alfa, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka oraz kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka. Własności: 1. zero, mniejszy niż, kosinus alfa, mniejszy niż, jeden dla kąta ostrego alfa, 2. dla kąta ostrego funkcja kosinus alfa jest funkcją malejącą. Przykład: Wyznaczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych pięć i dwanaście oraz o kątach alfa i BETA. Rozwiązanie: Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości dwanaście, która jest jednocześnie bokiem C B, o pionowej przyprostokątnej o długości pięć, która jest bokiem A C oraz o przeciwprostokątnej c, która jest bokiem B A. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt BETA, a przy wierzchołku A znajduje się kąt alfa., 2. x – długość przeciwprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, czyli x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć, stąd x, równa się, trzynaście.
kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka.

Polecenie 2

Wiadomo, że iloczyn cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $\frac{1}{6}$ . Wyznacz sumę cosinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

R1LOLC9XEG6HX

Z rysunku mamy, że $\cos α = \frac{b}{c}$ oraz $\cos β = \frac{a}{c}$ .

Wiadomo, że $\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{6}$ .

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} = \frac{1}{6}$ .

Mamy wyznaczyć $\cos α + \cos β$ .

Podnosząc to wyrażenie do kwadratu, otrzymujemy, że ${(\cos α + \cos β)}^{2} = {(\frac{b}{c} + \frac{a}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , więc ${(\cos α + \cos β)}^{2} = \frac{c^{2} + 2 a b}{c^{2}} = 1 + 2 \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}$ .

Zatem ${(\cos α + \cos β)}^{2} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$ .

Otrzymujemy, że $\cos α + \cos β = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ lub $\cos α + \cos β = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Ponieważ w trójkącie prostokątnym $\cos α > 0$ oraz $\cos β > 0$ , zatem $\cos α + \cos β = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest trójkąt prostokątny jak na rysunku poniżej.

RCLZDC4JNV8OC

RPLL6R8PJXS31

Ćwiczenie 2

RQQS7UG65GLF9

Połącz w pary długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego z wartościami cosinusów kątów ostrych alfa i BETA w tym trójkącie. a, równa się, jeden, b, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, dwa, b, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, dwa, b, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka a, równa się, trzy, b, równa się, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. kosinus alfa, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, kosinus BETA, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pięć, koniec ułamka

Ćwiczenie 3

RSQFLX3Z7ZEBS

Ćwiczenie 4

RJAKCGBS3EMR5

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości dwa i pięć, to iloczyn cosinusów kątów ostrych tego trójkąta wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.
Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości jeden i cztery, to suma cosinusów kątów ostrych w tym trójkącie wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.
Jeżeli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości trzy i pięć, to iloczyn cosinusów kątów ostrych w tym trójkącie wynosi 1. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia dziewięć, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka.

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kątach ostrych $α$ i $β$ .

R1POLHNP3KUXN

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka i o pionowej przyprostokątnej o długości trzy. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między opisanymi wyżej bokami, kąt alfa między przeciwprostokątną a podstawą o długości dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka oraz kąt BETA między przyprostokątną a bokiem o długości trzy.

R168J5FLM6PAB

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kątach ostrych $α$ i $β$ . Wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

R1C8RUPJ2ODS8

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości pięć i o przeciwprostokątnej o długości piętnaście. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między przyprostokątnymi, kąt alfa między przeciwprostokątną a podstawą oraz kąt BETA między pionową przyprostokątną a podstawą.

R5USCUA9AMQN7

Ćwiczenie 7

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o $3$ dłuższa od drugiej, a stosunek ich długości wynosi $\frac{7}{4}$ . Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1AC4G15L83XB

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, plus, trzy, o pionowej przyprostokątnej x oraz o przeciwprostokątnej c. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x, plus, trzy i x, kąt alfa między bokami x, plus, trzy a c oraz kąt BETA między bokami x i c.

Z treści zadania wynika, że zachodzi zależność

$\frac{x + 3}{x} = \frac{7}{4}$ , zatem $x = 4$ .

Przyprostokątne trójkąta mają długości $4$ i $7$ .

Długość przeciwprostokątnej obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$c^{2} = 4^{2} + 7^{2}$ , zatem $c = \sqrt{65}$ .

Wobec tego:

$\cos α = \frac{7}{\sqrt{65}} = \frac{7 \sqrt{65}}{65}$

$\cos β = \frac{4}{\sqrt{65}} = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że suma cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest zawsze większa od $1$ .

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1DRV12XZK8GU

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, o pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej c. Na rysunku zaznaczono również kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b, kąt alfa między bokami a i c oraz kąt BETA między bokami b i c.

Z definicji funkcji cosinus mamy:

$\cos α = \frac{a}{c}$ ,

$\cos β = \frac{b}{c}$ .

Zatem:

$\cos α + \cos β = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ .

Ponieważ w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność trójkąta

a^{} + b^{} > c^{}

zatem:

$\cos α + \cos β = \frac{a + b}{c} > \frac{c}{c} = 1$ .

Ćwiczenie 9

R1C4H53S7ZD44

Ćwiczenie 10

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R166JBKQOH87Q

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości cztery oraz o podstawie o długości osiem. Zaznaczono także kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną, kąt alfa między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną oraz kąt BETA między pionową przyprostokątną a jego przeciwprostokątną.

R1K11NOH19X1S

Ćwiczenie 11

R1EZCSRNTXMXJ

Ćwiczenie 12

R6R2TPOZPTM1S

Ćwiczenie 13

R14X867P2N3N5

Ćwiczenie 14

Drabinę o długości $3 m$ oparto o ścianę budynku pod kątem $28 °$ jak na poniższym rysunku.

R1O2U25HSKMFG

Na rysunku przedstawiono drabinę o długości trzech metrów, która jest oparta o ścianę. Drabina, ściana i podłoga tworzą razem trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej trzy i o pionowej przyprostokątnej h, która biegnie wzdłuż ściany. Na rysunku zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne powstałego trójkąta. Są to: kąt prosty między podłogą a ścianą oraz kąt o mierze dwudziestu ośmiu stopni między drabiną a ścianą.

RQB9M9414ZGNR

RSLAUOQT5ERL72

Ćwiczenie 15

Słownik

cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

iloraz długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej

1. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

3. Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym