1. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

RBQG5TAQGBSJ6

R1PT1RU6AFR751

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O oraz o promieniu r, równa się, jeden. Na okręgu rozpięta jest pionowa cięciwa, do której obu końców poprowadzono promienie. W ten sposób utworzono trójkąt. Ze środka poprowadzono linią przerywaną poziomy promień, który podzieł ten trójkąt na dwa. Przy wierzchołku O zaznaczono w obu mniejszych trójkątach kąt alfa - są to kąty znajdujące się między promieniami poprowadzonymi do wierzchołków cięciwy a promieniem poziomym narysowanym linią przerywaną. Promień poziomy dzieli cięciwę na pół. Jej górna część została wyróżniona kolorem i podpisana jako sinus alfa.

Po raz pierwszy sinus został zdefiniowany przez indyjskiego matematyka Aryabhata (476–550 n.e.) w dziele „Aryabhata Siddhanta”. Jego definicja została przedstawiona jako związek między połową kąta i połową cięciwy i obowiązuje do dziś.

Niezwykle ciekawe jest pochodzenie słowa „sinus”, które po łacinie oznacza… zatokę, a po arabsku – połowę cięciwy. Skąd taka rozbieżność? Wspomniany wcześniej Aryabhata myśląc o sinusie, posługiwał się słowem anardha‑jiva, co w języku arabskim oznacza połowę cięciwy. Słowo to zostało później skrócone do „jiva” i w dalszej kolejności transliterowane do arabskiego „jiba”. Interesujące jest to, że w języku arabskim „jiba” i „jaib” (zatoka) pisze się tak samo. Pochodzący z Europy tłumacze: Robert z Chester i Gerardo z Cremony pomylili więc te dwa słowa i stąd rozbieżność w tłumaczeniu arabskiego i łacińskiego sinusa.

Twoje cele

Poznasz definicję sinusa kąta (ostrego).
Wyznaczysz sinus kąta w trójkącie prostokątnym.
Określisz kąt na podstawie wartości sinusa.
Zastosujesz dane z tablic trygonometrycznych.
Wykorzystasz własności funkcji sinus do rozwiązywania problemów matematycznych

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $x$ , $y$ i przeciwprostokątnej $z$ .

sinus kąta

Definicja: sinus kąta

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnymSinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przeciwprostokątnej.

R8Q21XJSRAV58

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie x, pionowej przyprostokątnej y oraz o przeciwprostokątnej zet. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami x i y oraz kąt alfa między bokami x i zet. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

\sin α = \frac{y}{z}

Przykład 1

Obliczymy wartości sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymsinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R13FRUZQO7S93

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna ma długość 4. Pozioma przyprostokątna ma długość 6. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między dłuższą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako $x$ .

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że $4^{2} + 6^{2} = x^{2}$ .

Z równania otrzymujemy, że $x^{2} = 52$ , zatem $x = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ lub $x = - \sqrt{52} = - 2 \sqrt{13}$ .

Ponieważ $x > 0$ , więc $x = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

Z definicji funkcji sinus otrzymujemy, że:

$\sin α = \frac{6}{2 \sqrt{13}} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ,

$\sin β = \frac{4}{2 \sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

Ważne!

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi zależność:

0 < \sin α < 1

Wyjaśnienie tej nierówności można zapisać w dwóch krokach:

nierówność $\sin α > 0$ wynika wprost z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym,
ponieważ w dowolnym trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej jest zawsze mniejsza od długości przeciwprostokątnej, zatem:
$\sin α = \frac{a}{c} < \frac{c}{c} = 1$ .

Przykład 2

Wyznaczymy $\sin α$ w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku poniżej.

RTCHF1XVK6AN4

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości pięć, pionowej przyprostokątnej o długości trzy oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami o długościach trzy i pięć oraz kąt alfa między podstawą a przeciwprostokątną c. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $5^{2} + 3^{2} = c^{2}$ . Zatem długość przeciwprostokątnej jest równa $c = \sqrt{34}$ .

Korzystając z definicji sinusasinusa dostajemy:

\sin α = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{34}}{34} .

W dobie komputerów umiemy znajdować wartości funkcji trygonometrycznych z dużą dokładnością. Często są to liczby niewymierne, więc w praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami. W tablicach funkcji trygonometrycznych, podane są wartości funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus oraz tangens) kątów od $0 °$ do $90 °$ z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.

Przykład 3

Na podstawie tablic trygonometrycznych odczytamy $\sin 13^{\circ}$ .

RVKH959ZUGMSN

Rysunek przedstawia fragmenty dwóch tabel wartości funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus i tangens dla wartości kątów od jednego stopnia do siedemnastu stopni oraz od czterdziestu pięciu stopni do sześćdziesięciu dwóch stopni. Wartości funkcji trygonometrycznych podane są z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.
W tabeli wyróżniono kąt 13 stopni i oraz liczbę 0,2250 będącą wartością funkcji sinus tego kąta. — Źródło: *Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki*, CKE, s. 34.

Zatem $\sin 13^{\circ} = 0, 2250$ .

Przykład 4

Wyznaczymy przybliżoną wartość kąta $α$ w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku poniżej.

R19HHM38E64XN

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości sześć oraz o przeciwprostokątnej o długości osiem. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt alfa między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Na podstawie danych z rysunku otrzymujemy:

\sin α = \frac{6}{8} = 0, 75.

Z tablic matematycznych odczytujemy przybliżoną wartość kąta:

R199ZZEH1UUEK

α \approx 49 ° .

Przykład 5

Na podstawie rysunku wyznacz odległość $x$ .

R9FR7CA4KGFLF

Zdjęcie przedstawia wysokie drzewo iglaste, na które naniesiono grafikę przedstawiającą trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości sześć oraz o przeciwprostokątnej o długości x. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt o mierze sześćdziesięciu trzech stopni między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., Qgroom, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Korzystając z definicji sinusa dla kąta prostego, otrzymujemy

sin 63 ° = \frac{6}{x} .

Przekształcając wzór dostajemy

x = \frac{6}{sin 63 °} \approx \frac{6}{0, 89} \approx 6, 74 .

Animacja

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje jakie wartości przyjmuje funkcja sinus.

R1ruKn4eO4V3V1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Funkcja sinus jest funkcją rosnącą dla $α \in (0, 90 °)$ .

RH7FPS5Z6XHBE

Infografika przedstawia własności funkcji sinus. W lewym górnym rogu znajduje się rysunek trójkąta prostokątnego. Przeciwprostokątna jest podpisana literą c. Pionowa przyprostokątna jest podpisana literą b. Pozioma przyprostokątna jest podpisana literą a. Kąt pomiędzy przyprostokątną b i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między przyprostokątną a i przeciwprostokątną jest podpisany dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa. Obok trójkąta znajdują się następujące informacje: sinus alfa, równa się, początek ułamka, a, mianownik, c, koniec ułamka oraz sinus nawias dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka.
Definicja: Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Na infografice wypisane zostały dwie własności:
pierwsza: zero, mniejszy niż, sinus alfa, mniejszy niż, jeden
oraz
druga: dla kąta ostrego funkcja sinus alfa jest funkcją rosnącą.
Na końcu infografiki zaproponowano następujący przykład: Wyznaczymy wartości sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 5 i 12 oraz kątach alfa i beta.
Rozwiązanie: Na początku znajduje się grafika, która przedstawia trójkąt prostokątny. Wierzchołki trójkąta to kolejno: A, B, C. Pionowa przyprostokątna A C ma długość pięć. Pozioma przyprostokątna B C ma długość dwanaście. Przeciwprostokątna A B jest podpisana literą c. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt między dłuższą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta. x to długość przeciwprostokątnej
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, czyli x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto sześćdziesiąt dziewięć, stąd x, równa się, trzynaście.
sinus alfa, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, sinus BETA, równa się, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka.

Polecenie 1

Wykaż, że suma kwadratów sinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $1$ .

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R122WUmrMlay4

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Pozioma przyprostokątna A C ma długość b, pionowa przyprostokątna B C ma długość a, natomiast przeciwprostokątna A B ma długość c. Kąty wewnętrzne figury to: kąt ostry alfa przy wierzchołku A, kąt ostry beta przy wierzchołku B oraz kąt prosty przy wierzchołku C.

Mamy pokazać, że $\sin^{2} α + \sin^{2} β = 1$ .

Z rysunku możemy odczytać, że $\sin α = \frac{a}{c}$ oraz $\sin β = \frac{b}{c}$ .

Po podstawienu do lewej strony równania $\sin^{2} α + \sin^{2} β = 1$ otrzymujemy, że:

$\frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , zatem $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach $a, b, c$ jak na rysunku poniżej.

RHOEF83FX67GJ

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, pionowej przyprostokątnej a oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b oraz kąt alfa między bokami b i c.

R1V3R8DDGAFXE

Ćwiczenie 2

Na podstawie danych z tabeli podaj odpowiedź.

R1JQO441KX9AR

Źródło: *Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki*, CKE, s. 34.

R6793OQXVBSOK

R7RV255OR37KS

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

RMLA4UNDME4D3

Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach $6$ oraz $8$ jak na rysunku poniżej.

R73BB27CTKX93

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 6 i poziomej przyprostokątnej o długości osiem. Między tymi bokami oznaczono kąt prosty. Między bokiem o długości 8 a przeciwprostokątną oznaczono kąt wewnętrzny alfa.

RJP789STHUK5B

Ćwiczenie 5

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej o długości $x$ oraz o przeciwprostokątnej o długości $25$ , jak na rysunku poniżej.

R1HXD6RZQX3MO

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej o długości x. Między przyprostokątnymi oznaczono kąt prosty. Między bokiem o długości x a przeciwprostokątną o długości 25 oznaczono kąt wewnętrzny alfa.

R1BF4PAKLTHMH

Ćwiczenie 6

R1VVOXBNADOAH

Ćwiczenie 7

Drabinę o długości $1, 85$ m oparto o ścianę. Pod jakim kątem do poziomu jest ona oparta, jeśli sięga na wysokość $152 cm$ ?
Wynik podaj z dokładnością do $1 °$ .

RVD4HVRDQCXUP

Rysunek przedstawia fragment budynku i opartą o jego boczną ścianę drabinę. Odległość od ziemi do punktu oparcia drabiny na ścianie budynku wynosi h, długość drabiny wynosi h. Drabina oparta jest pod kątem alfa i jest to kąt wewnętrzny trójkąta prostokątnego, którego pionowa przyprostokątna to fragment ściany budynku od ziemi do punktu oparcia drabiny, sama drabina to przeciwprostokątna, a poziomą przyprostokątną jest poziomy odcinek od budynku do drugiego końca drabiny stojącego na ziemi.

Wprowadźmy oznaczenia:

$h$ – wysokość, na jaką sięga drabina; $h = 152 cm$
$d$ – długość drabiny; $d = 1, 85 m = 185 cm$

Skorzystamy z definicji sinusa kąta w trójkącie prostokątnym: $\sin α = \frac{h}{d}$ .

Zatem: $\sin α = \frac{152}{185} \approx 0, 8216$ .

Odczytamy wartość kąta z tablic trygonometrycznych: $α \approx 55 °$ .

Ćwiczenie 8

W trójkącie równoramiennym długość wysokości jest o $20 %$ większa od długości podstawy. Wyznacz sinus większego z kątów tego trójkąta.

Jeżeli jako $h$ oznaczymy długość wysokości trójkąta, $2 a$ – długość podstawy trójkąta, to

$h = 120 % \cdot 2 a = 2, 4 a$ .

Wykorzystaj ten fakt do ustalenia długości ramienia trójkąta w zależności od $a$ .

RPXEC14PUD7TR

Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny o długości ramion c i o poziomej podstawie dwa c. Z górnego wierzchołka opuszczono pionową wysokość h, która podzieliła trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. W prawym trójkącie oznaczono dwa kąty wewnętrzne. Kąt prosty między wysokością a podstawą oraz kąt alfa między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną c.

Wprowadźmy oznaczenia:

$2 a$ – długość podstawy trójkąta
$h$ – długość wysokości trójkąta; $h = 120 % \cdot 2 a = 2, 4 a$
$c$ – długość przeciwprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość przeciwprostokątnej:

$a^{2} + {(2,4 a)}^{2} = c^{2}$
$a^{2} + 5, 76 a^{2} = c^{2}$
$6,76 a^{2} = c^{2}$
$c = 2,6 a$ .

Większy kąt ostry tego trójkąta leży naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej, zatem: $\sin α = \frac{2,4 a}{2,6 a} = \frac{12}{13}$ .

Ćwiczenie 9

RSQPNEQ46EQRO

Ćwiczenie 10

Wybierz poprawne wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych z rysunku.

R1H1K9G1FQGSQ

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna ma długość 3, pozioma przyprostokątna ma długość sześć. Kąt pomiędzy dłuższą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną i przeciwprostokątną jest podpisany literą beta.

R1S6VRQ3EVOUU

Ćwiczenie 11

ROT6MFEXZN9LA

Ćwiczenie 12

RL8D5DEGD1QJC

Słowniczek

sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej

Wprowadzenie do trygonometrii

2. Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym