Wprowadzenie do trygonometrii

RIeby3i92qNuc1

Ilustracja przedstawia osobę oglądającą mur obronny z wieżą, wieża ma wysokość h, obserwator jest w  odległości d od wieży. Wieża wraz obserwatorem tworzą trójkąt prostokątny, w którym wysokość wieży i odległość obserwatora są przyprostokątnymi.

Wyobraźmy sobie, że za pomocą ekierki chcemy zmierzyć wysokość oglądanej wieży. Oczywiście, nie chodzi tu o wspinaczkę na wieżę i wielokrotne odmierzanie długości zaznaczonych na naszej ekierce. Wygodniejszy (i bezpieczniejszy) sposób pomiaru opiera się na wykorzystaniu podobieństwa pewnych trójkątów.
Wystarczy bowiem stanąć w takiej odległości od wieży, aby jej wierzchołek widzieć wzdłuż najdłuższego boku ekierki, a jednocześnie jedno z krótszych ramion ekierki ustawić poziomo tak, jak to jest zaprezentowane na rysunku.
W tej sytuacji podobne są: mały trójkąt prostokątny z ekierki i duży trójkąt prostokątny, którego jedna z przyprostokątnych odpowiada wysokości wieży.
Oznacza to, że w każdym z tych trójkątów stosunek odpowiednich boków jest taki sam. Pozostaje więc zmierzyć odległość obserwatora od podstawy wieży, a następnie - korzystając z odpowiednich proporcji - obliczyć jej wysokość.

RtvpgPjgDdtE41

Grafika przedstawia dwie ekierki. Pierwsza o przyprostokątnych o długości a natomiast druga o przyprostokątnej b i przeciwprostokątnej długości $2b$.

Załóżmy, że w rozpatrywanych we wprowadzeniu pomiarach wysokości wieży używamy jednej ze standardowych ekierek (to znaczy takiej o obu kątach ostrych równych $45°$ lub takiej o kątach ostrych $30°$ i $60°$, jak widać na rysunku obok).

Wobec tego przy pomiarach możliwe są tylko trzy sytuacje przedstawione na rysunku poniżej.

Rqc6t1jpgQ36w

Grafika przedstawia fragment zamku z wieżą i troje ludzi pod nim . Wysokość wieży jest równa. Odległość człowieka w pomarańczowym ubraniu od zamku oznaczono jako $d_1$ , człowieka w niebieski jako $d_2$ natomiast człowieka w różowym jako $d_3$ . Odległości od nich do czubka wieży zamkowej wyznaczone są przez przerywane linie.

W każdej z nich wystarczy zmierzyć odległość od wieży (na powyższym rysunku oznaczoną dla kolejnych obserwatorów przez $d_1$, $d_2$, $d_3$), a następnie skorzystać z wiedzy o stosunku boków ekierki.

Zauważymy, że wtedy wysokość $h$ wieży jest zależna od tych odległości zgodnie z poniższymi wzorami:

• jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy $60°$, to otrzymujemy równość $h=d_1\sqrt{3}$,

• jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy $45°$, to otrzymujemy równość $h=d_2$

• jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy $30°$, to otrzymujemy równość $h=\frac{d_3}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}{d}_3$,
  co w każdym z tych trzech przypadków pozwoli na oszacowanie wysokości wieży.

Jednak nie ma powodu, aby przy tego rodzaju pomiarach ograniczać się do używania jedynie dwóch typów ekierek. W podobny sposób możemy przecież wykorzystywać każdy dostępny trójkąt prostokątny, o dowolnych kątach ostrych (a od tego, jaki jest kąt ostry, zależeć będzie stosunek przyprostokątnych i w konsekwencji: odległość od wieży, w jakiej musimy się ustawić).

Zupełnie naturalnie pojawia się wówczas potrzeba nazwania proporcji poszczególnych boków w takich „ekierkach”, czyli w trójkątach prostokątnych o zadanym kształcie.

Trygonometria pojawiła się już w starożytnej Grecji, choć wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta badano wówczas jako zależności między cięciwą a długością łuku opartego na tej cięciwie, a nie jako stosunki długości boków w trójkącie prostokątnym. Greccy astronomowie, jak Hipparch z Nikei (II w. p.n.e.) i Klaudiusz Ptolemeusz (II w. n.e.), potrzebowali tych zależności obliczania położeń ciał niebieskich. Hipparch stworzył „tablicę cięciw”, która zapoczątkowała tworzenie tablic trygonometrycznych, w których można odczytać przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych poszczególnych kątów ostrych.

R1H68D2KGTF2G

Tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus i tangens dla wartości kątów od jednego stopnia do piętnastu stopni. Wartości funkcji trygonometrycznych podane są z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.