1. Zależności trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

R7lQcm6FkDMFt

Najsłynniejsze twierdzenie matematyczne? Z pewnością wielu z nas, bez namysłu powie, że to twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie to ma swoją postać trygonometryczną. Jest to tak zwana jedynka trygonometryczna, czyli twierdzenie opisujące zależność między sinusem i cosinusem tego samego kąta.

R15K4R7QJ54X1

Rysunek przedstawia okrąg jednostkowy o środku w początku układu współrzędnych oraz trójkąt prostokątny, którego jedna z przyprostokątnych leży na dodatniej części osi OX, a przeciwprostokątna jest promieniem okręgu. W trójkącie zaznaczono i opisano kąt alfa. Wierzchołek tego kąta znajduje się w początku układu współrzędnych. Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty. Kwadrat o boku 1 na przeciwprostokątnej trójkąta, kwadrat o boku długości sinus alfa na przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta alfa oraz kwadrat o boku długości kosinus alfa na przyprostokątnej przy kącie alfa. — Źródło: Quartl, dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=32395523, licencja: CC BY-SA 3.0.

Twoje cele

przekształcisz wyrażenia zawierające sinus, cosinus lub tangens kąta,
wykorzystasz definicję i wyznaczysz wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kąta ostrego,
sprawdzisz, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznym

Jedynka trygonometryczna

Twierdzenie: Jedynka trygonometryczna

Dla każdego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest zależność:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Dowód

Przy oznaczeniach z rysunku obok mamy:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$ ,

RONCFCJAyIx7q1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, jego pionowa przyprostokątna jest podpisana literą a, jego pozioma przyprostokątna jest podpisana literą b, a jego przeciwprostokątna jest podpisana literą c. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną b jest podpisana literą alfa.

bowiem

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

na mocy twierdzenia Pitagorasa.

Ważne!

Stosując równanie jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartość sinusa kąta mając podany cosinus lub odwrotnie.

Przykład 1

Sinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym jest równy $\frac{5}{13}$ . Wyznaczymy wartość cosinusa tego kąta.

Rozwiązanie

Wiemy, że: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , więc: $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\frac{5}{13})}^{2} = 1 - (\frac{25}{169}) = (\frac{144}{169}) = {(\frac{12}{13})}^{2} .$

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem $\cos α = \frac{12}{13} .$

Przykład 2

Wyznaczymy wartość $\sin α$ oraz $\cos α$ , jeżeli wiadomo że $α$ jest kątem ostrym oraz sinus tego kąta jest dwa razy większy od cosinusa.

Z zadania możemy ułożyć następujący warunek:

$\sin α = 2 \cos α$ .

Podany warunek podstawiamy do jedynki trygonometrycznej. Otrzymujemy równanie:

${(2 \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , zatem $5 \cos^{2} α = 1$ .

Czyli $\cos^{2} α = \frac{1}{5}$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Zatem $\sin α = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Zależność między funkcjami

\sin

\cos

tg

tego samego kąta

Twierdzenie: Zależność między funkcjami

\sin

\cos

tg

tego samego kąta

Dla każdego kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym zachodzi zależność:

$\frac{\sin α}{\cos α} = tg α$

Dowód. Przy oznaczeniach z poprzedniego rysunku mamy:

$\frac{\sin α}{\cos α} = (\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}) = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = tg α$ .

Ważne!

Z powyższego twierdzenia mamy zależność:

$\frac{1}{tg α} = \frac{\cos α}{\sin α}$

Przykład 3

Wiemy, że sinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym jest równy $\frac{3}{5}$ . Wyznaczymy wartość tangensatangens kąta ostregotangensa tego kąta.

Rozwiązanie

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, obliczamy: $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{16}{25} = {(\frac{4}{5})}^{2}$ .

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem $\cos α = \frac{4}{5} .$

Wobec tego:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{5} : \frac{4}{5} = \frac{3}{4}$ .

Bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa i tangensa skorzystamy w dowodzie następnego twierdzenia.

Przykład 4

Wiedząc, że $α$ jest kątem ostrym i $tg α = 5$ , obliczymy wartość wyrażenia:

$\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{4 \sin α - 5 \cos α}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = 5$ , więc $\sin α = 5 \cos α$ .

Zatem otrzymujemy:

$\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{4 \sin α - 5 \cos α}$ $= \frac{2 \cdot 5 \cos α + 3 \cos α}{4 \cdot 5 \cos α - 5 \cos α} = \frac{13 \cos α}{15 \cos α} = \frac{13}{15}$ .

Ważne!

Tożsamość trygonometryczna to równość, w której zmienne występują wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych, prawdziwa dla wszystkich wartości tych zmiennych, dla których funkcje mają sens.

Przykład 5

Wykażemy, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi tożsamość: ${(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\sin α - \cos α)}^{2} = 2$ .

Rozwiązanie

Zapisaną w postaci złożonego wyrażenia lewą stronę równości $(L)$ przekształcamy równoważnie tak, aby dojść do strony prawej $(P)$ .

Przyjmujemy:

$L = {(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\sin α - \cos α)}^{2}$ i $P = 2$ .

Mamy: ${(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = 1 + 2 \sin α \cos α$ , podobnie:

${(\sin α - \cos α)}^{2} = 1 - 2 \sin α \cos α$ .

Stąd: $L = 1 - 2 \sin α \cos α + 1 + 2 \sin α \cos α = 2$ ,

czyli $L = P$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z zamieszczonymi w filmie rozwiązaniami zadań. Na ich podstawie wykonaj polecenia zamieszczone pod filmem.

RnizgZ62GbXvE

Polecenie 1

Wyznacz sinus kąta ostrego $α$ , wiedząc, że $\cos α = \frac{1}{10}$ .

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

$\sin^{2} α + {(\frac{1}{10})}^{2} = 1$

$\sin^{2} α = 1 - \frac{1}{100}$

$\sin α = \sqrt{\frac{99}{100}}$ lub $\sin α = - \sqrt{\frac{99}{100}}$

Odp. Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, to: $\sin α = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$ .

Polecenie 2

Wykaż, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $tg α = 7$ , to $\sin α \cos α = \frac{7}{50} .$

Skoro $tg α = 7$ , to $\sin α = 7 \cos α$ ,

stąd: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 50 \cos^{2} α = 1$ ,

czyli: $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{10}$ i $\sin α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ .

Zatem: $\sin α \cos α = \frac{7}{50}$ .

Polecenie 3

Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest równość: $tg α \cdot \sin α \cdot \cos α = 1 - \cos^{2} α$ .

$tg α \cdot \sin α \cdot \cos α = \frac{\sin α}{\cos α} . \sin α \cdot \cos α = \sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1TkNVMUZ1VWd1

Ćwiczenie 1

RtJpOOkFp0eF82

Ćwiczenie 2

RCWw5x5AN5WOq2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dany jest kąt ostry $α$ . Wiedząc, że $\sin α = \frac{3}{4}$ , oblicz $\cos α$ i $tg α$ .

Wykorzystaj jedynkę trygonometryczną do obliczenia dokładnej wartości funkcji $\cos α$ .

Z jedynki trygonometrycznej wynika, że : $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\frac{3}{4})}^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ .

Ponieważ kąt $α$ jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni i w konsekwencji:

$\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{\sqrt{7}}$ .

Odp. $\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , $tg α = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

R10beJSoScER82

Ćwiczenie 5

R2LeNNc1NperY3

Ćwiczenie 6

Słownik

sinus kąta ostrego

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej

cosinus kąta ostrego

stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej

tangens kąta ostrego

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie

twierdzenie Pitagorasa

jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów dwóch długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

2. Zastosowanie zależności trygonometrycznych

Zależności trygonometryczne kąta ostrego