• Poznasz zastosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

• Znając wartość jednej z funkcji: sinus, cosinus lub tangens wyznaczysz wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

Przeczytaj informacje zamieszczone we wstępie do materiału. Na podstawie zamieszczonych tam danych oblicz jak wysoko nad progiem znajduje się skoczek narciarski, siedząc na najniższej możliwej belce startowej.

Rozwiązanie:

Możemy łatwo policzyć cosinus kąta $\alpha$ – kąta nachylenia skoczni:

$\cos \alpha =\frac{80,85}{98,7}\approx 0,82$.

R1SUNV8ZBJ739

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny leżący na dłuższej przyprostokątnej. W trójkącie poprowadzono odcinek o długości x który jest równoległy do krótszej przyprostokątnej i łączy dłuższą przyprostokątną z przeciwprostokątną. Kąt alfa znajduje się pomiędzy przeciwprostokątną, a podstawą trójkąta. Nad przeciwprostokątną znajduje się równanie dziewięćdziesiąt osiem przecinek siedem, minus, dwadzieścia dwa, równa się, siedemdziesiąt sześć przecinek siedem.n>7.

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątną jest szukana wysokość. Znamy przeciwprostokątną tego trójkąta oraz $\cos \alpha$. Pamiętajmy, że $x$ jest przyprostokątną leżącą na przeciw kąta $\alpha$, więc powinniśmy korzystać z wartości $\sin \alpha$.

Jak ją znaleźć?

Przypomnijmy sobie tożsamości trygonometrycznetożsamości trygonometrycznetożsamości trygonometryczne, a konkretnie jedynkę trygonometrycznąjedynka trygonometrycznajedynkę trygonometryczną:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Stąd ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha \approx 1-{\left(0,82\right)}^2=0,3276$,
więc $\sin \alpha \approx 0,57$ lub $\sin \alpha \approx -0,57$.

Wiemy jednak, że kąt $\alpha$ jest ostry, więc wybieramy dodatnią wartość funkcji sinus.

Zatem $\frac{x}{76,5}\approx 0,57$, stąd $x\approx 43,61 \mathrm{m}$.

Odpowiedź: Skoczek znajduje się na wysokości 43,61 metra nad progiem startowym.

Sprawdzimy, czy istnieje kąt ostry $\alpha$, taki, że:

a) $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ i $\cos \alpha =\frac{4}{5}$;

b) $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ i $\mathrm{tg}\alpha =2$;

c) $tg\alpha =\frac{4}{3·\cos \alpha }$.

Rozwiązanie:

a) $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ i $\cos \alpha =\frac{4}{5}$

Kąt $\alpha$ istnieje, gdy pomiędzy sinusemsinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymsinusem a cosinusemcosinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymcosinusem kąta $\alpha$ zachodzi związek: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Podstawiając wartości $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ i $\cos \alpha =\frac{4}{5}$, otrzymujemy: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$.

Odpowiedź:

Taki kąt $\alpha$ istnieje.

b) $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ i $\mathrm{tg}\alpha =2$

Obliczamy wartość $\sin \alpha$, korzystając z zależności $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Wiemy, że $\mathrm{tg}\alpha =2$, więc $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$, stąd $\sin \alpha =2·\cos \alpha =2·\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

Kąt $\alpha$ istnieje, gdy pomiędzy sinusem a cosinusem kąta $\alpha$cosinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymcosinusem kąta $\alpha$ zachodzi związek: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Podstawiając do tego wzoru wartości $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ i $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, otrzymujemy: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}\ne 1$

Odpowiedź:

Nie istnieje taki kąt $\alpha$, dla którego $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ i $\mathrm{tg}\alpha =2$.

c) $tg\alpha =\frac{4}{3·\cos \alpha }$

Korzystając z zależności $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, dokonamy przekształceń, które umożliwią nam wyliczenie wartości sinusa i cosinusa kąta $\alpha$:

$tg\alpha =\frac{4}{3·\cos \alpha }$,

czyli $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3·\cos \alpha }$ i $\cos \alpha \ne 0$.

Mnożymy obie strony równości $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3·\cos \alpha }$ przez $\cos \alpha$$\left(\cos \alpha \ne 0\right)$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }·\cos \alpha =\frac{4}{3·\cos \alpha }·\cos \alpha$, stąd $\sin \alpha =\frac{4}{3}$.

Zgodnie z definicją, w trójkącie prostokątnym sinus kąta $\alpha$sinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymsinus kąta $\alpha$ jest stosunkiem długości przypros{sinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym}tokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, więc niemożliwe jest, aby stosunek krótszego boku do dłuższego dawał wynik większy niż jeden.

Otrzymaliśmy wartość większą od jeden: $\sin \alpha =\frac{4}{3}>1$, nie ma więc takiego kąta $\alpha$.

Odpowiedź:

Nie istnieje taki kąt $\alpha$, dla którego $tg\alpha =\frac{4}{3·\cos \alpha }$.

Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{3}{5}$, obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\left(90°-\alpha \right)$.

Rozwiązanie:

Mając $\sin \alpha =\frac{3}{5}$, budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $a$ leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ długości $3x$ i przeciwprostokątnej długości $5x$, gdzie $x>0$.

RTE5QSBKZDF73

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, pionowej przyprostokątnej opisanej jako a, równa się, trzy x oraz o przeciwprostokątnej opisanej jako c, równa się, pięć x. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt BETA między bokami a i c oraz kąt alfa między bokami b i c.

Z twierdzenia Pitagorasa: $c^2=a^2+b^2$ wyznaczamy długość przyprostokątnej $b$:

${\left(5x\right)}^2={\left(3x\right)}^2+b^2$,

$b^2={\left(5x\right)}^2-{\left(3x\right)}^2=25x^2-9x^2=16x^2$, więc

$b=\sqrt{16x^2}=4x$.

Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$: $\alpha +\beta +90°=180°$, więc $\alpha +\beta =180°-90°=90°$. Oznacza to, że kąt leżący naprzeciw przyprostokątnej $b$ ma miarę $\beta =90°-\alpha$.

Z definicji funkcji trygonometrycznych:

$\sin \left(90°-\alpha \right)=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$;

$\cos \left(90°-\alpha \right)=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$;

$tg\left(90°-\alpha \right)=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$.

Odpowiedź:

$\sin \left(90°-\alpha \right)=\frac{4}{5}$, $\cos \left(90°-\alpha \right)=\frac{3}{5}$ i $tg\left(90°-\alpha \right)=\frac{4}{3}$.

Uzasadnimy, że $\sin \alpha ·\cos \alpha \le \frac{1}{2}$ dla dowolnego kąta $\alpha$.

Rozwiązanie:

Uzasadniając powyższą nierówność, wykorzystamy fakt, że ${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2\ge 0$.

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

i ze wzoru ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, otrzymujemy

${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2={\sin }^2\alpha -2·\sin \alpha ·\cos \alpha +{\cos }^2\alpha =$

$={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -2·\sin \alpha ·\cos \alpha =1-2·\sin \alpha ·\cos \alpha \ge 0$,

$1-2·\sin \alpha ·\cos \alpha \ge 0$, czyli

$-2·\sin \alpha ·\cos \alpha \ge -1$.

Dzieląc stronami przez $\left(-2\right)$, otrzymujemy:

$\sin \alpha ·\cos \alpha \le \frac{1}{2}$, co należało wykazać.

Sprawdzimy, czy równość $\left(1+\sin \alpha \right)\left(\frac{1}{\cos \alpha }-tg\alpha \right)=\cos \alpha$ jest prawdziwa.

Rozwiązanie:

Będziemy przekształcać lewą stronę równości tak długo, aż dojdziemy do prawej strony. Jeśli jednak do niej nie dojdziemy, to pokażemy w ten sposób, że powyższa równość jest sprzeczna.

$L$ – lewa strona równości;

$P$ – prawa strona równości.

$L=\left(1+\sin \alpha \right)\left(\frac{1}{\cos \alpha }-tg\alpha \right)$

$P=\cos \alpha$

Wykorzystamy związki między funkcjami trygonometrycznymi:

$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ i ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

oraz wzór skróconego mnożenia:

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$.

$L=\left(1+\sin \alpha \right)\left(\frac{1}{\cos \alpha }-tg\alpha \right)=$

$=\left(1+\sin \alpha \right)\left(\frac{1}{\cos \alpha }-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)=$

$=\frac{\left(1+\sin \alpha \right)}{1}·\frac{\left(1-\sin \alpha \right)}{\cos \alpha }=$

$=\frac{\left(1+\sin \alpha \right)\left(1-\sin \alpha \right)}{\cos \alpha }=$

$=\frac{1-{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=$

$=\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=$

$=\cos \alpha =P$

Odpowiedź:

Równość $\left(1+\sin \alpha \right)\left(\frac{1}{\cos \alpha }-tg\alpha \right)=\cos \alpha$ jest prawdziwa.

Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$, jeśli $\mathrm{tg}\alpha =4$.

Zauważmy, że

$\mathrm{tg}\alpha =4=\frac{4}{1}$.

Zależność $\mathrm{tg}\alpha =4$ zachodzi zatem w dowolnym trójkącie o  przyprostokątnych pozostających w stosunku $4:1$, w szczególności w  trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $4$ i $1$. Budujemy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ długości $4$ i drugiej przyprostokątnej długości $1$.

R1PM25N5CK7JN

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 4, 1 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 1 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:

$c^2=4^2+1^2$,

stąd

$c=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$.

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

$\sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}$ i $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$.

Odpowiedź: $\sin \alpha =\frac{4\sqrt{17}}{17}$ i $\cos \alpha =\frac{\sqrt{17}}{17}$.

Wiedząc, że $\mathrm{tg}\alpha =2\frac{2}{3}$ i $\alpha$ jest kątem ostrym, obliczymy wartości $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$.

Ponieważ $\mathrm{tg}\alpha =2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$, to możemy przyjąć, że długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio $8$ i $3$.

Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ o długości $8$ i drugiej przyprostokątnej o długości $3$.

RV8QLXPDQFF8Z

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o bokach 8 3 i c. C jest przeciwprostokątną trójkąta. Pomiędzy bokami 3 i c znajduje się kąt alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.

$c^2=8^2+3^2$, stąd

$c=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}$.

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wyznaczamy wartości sinusa i cosinusa kąta $\alpha$:

$\sin \alpha =\frac{8}{\sqrt{73}}=\frac{8\sqrt{73}}{73}$ i $\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{73}}=\frac{3\sqrt{73}}{73}$.

Odpowiedź: $\sin \alpha =\frac{8\sqrt{73}}{73}$ i $\cos \alpha =\frac{3\sqrt{73}}{73}$.

Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$, jeśli $\mathrm{tg}\alpha =2$.

Jako, że $\mathrm{tg}\alpha =2$, więc wykorzystując wzór $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, otrzymujemy, że $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$, stąd: $\sin \alpha =2·\cos \alpha$.

Podstawiając $\sin \alpha =2·\cos \alpha$do równania ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, otrzymujemy: ${\left(2·\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$, co daje: $5·{\cos }^2\alpha =1$i ostatecznie: ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$.

Rozwiązaniem równania ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$ są liczby:$\sqrt{\frac{1}{5}}$ lub $-\sqrt{\frac{1}{5}}$.

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem:

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1·\sqrt{5}}{\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Obliczoną wartość $\cos \alpha$ podstawiamy do równania $\sin \alpha =2·\cos \alpha$ i otrzymujemy:

$\sin \alpha =2·\cos \alpha =\frac{2·\sqrt{5}}{5}$.

Odpowiedź: $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$ i $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$ wiedząc, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4·\cos \alpha }$.

Skoro $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4·\cos \alpha }$, to korzystając ze wzoru $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, mamy $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4·\cos \alpha }$.

Mnożymy obie strony równania $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4·\cos \alpha }$ przez $\cos \alpha$, przy czym $\cos \alpha \ne 0$.

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }·\cos \alpha =\frac{3}{4·\cos \alpha }·\cos \alpha$

Po skróceniu otrzymujemy: $\sin \alpha =\frac{3}{4}$.

Cosinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymcosinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymCosinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym kąta $\alpha$ wyliczymy z zależności:

${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$.

Podstawiając $\sin \alpha =\frac{3}{4}$, otrzymujemy:

${\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$.

Rozwiązaniem równania ${\cos }^2\alpha =\frac{7}{16}$ są dwie liczby $\frac{\sqrt{7}}{4}$ lub  $-\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, więc $\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$, natomiast $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3·\sqrt{7}}{\sqrt{7}·\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Wyznaczymy sinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymsinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnymsinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym kąta ostego $\alpha$, jeśli $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{5}$.

Skoro $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{5}$, to: $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\sqrt{5}$, zatem: $\cos \alpha =\frac{\sin \alpha }{\sqrt{5}}$.

Podstawiamy $\cos \alpha =\frac{\sin \alpha }{\sqrt{5}}$ do równania ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ i otrzymujemy:

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{\sin \alpha }{\sqrt{5}}\right)}^2=1$, co daje: $\frac{6}{5}·{\sin }^2\alpha =1$ i ostatecznie: ${\sin }^2\alpha =\frac{5}{6}$.

Rozwiązaniem równania ${\sin }^2\alpha =\frac{5}{6}$ są liczby:$\sqrt{\frac{5}{6}}$ lub $-\sqrt{\frac{5}{6}}$.

Funkcje trygonometryczne przyjmują dla kątów ostrych tylko wartości dodatnie, zatem

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt{5}·\sqrt{6}}{\sqrt{6}·\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$

Odpowiedź: $\sin \alpha =\frac{\sqrt{30}}{6}$.

stosunek długości przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $\alpha$ do przeciwprostokątnej $c$

jedna z tożsamości trygonometrycznych: dla dowolnego kąta $\alpha$ spełniona jest równość ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

trójkąty podobne to trójkąty, które mają pary kątów tej samej miary

stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $\alpha$ do przeciwprostokątnej $c$

stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $\alpha$ do przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $\alpha$

zależności między funkcjami trygonometrycznymi, będące prawdziwe, bez względu na wartość kąta