3. Funkcje trygonometryczne kąta 90 - α - Zależności trygonometryczne kąta ostrego

RVOtgn8WDoavn

3. Funkcje trygonometryczne kąta 90 - alfa

Jak myślisz, czy można znaleźć długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, znając jedynie długość drugiej przyprostokątnej oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego?

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zbudować układ trzech równań z trzema niewiadomymi... Na szczęście problem okazuje się być dużo łatwiejszy. Musimy tylko wykorzystać trygonometrię!

R1CfgmU9eKE0g

Grafika przedstawia obóz rozbity w lesie. Z tyłu jest ściana lasu i dwa namioty. Na pierwszym planie są dwie zbite pod kątem prostym deski oparte na ziemi oraz tabliczka z napisem „obóz harcerski”.

Twoje cele

Wyprowadzisz wzory na wartości funkcji trygonometrycznych kąta $90 - α$ .
Obliczysz wartości funkcji trygonometrycznych kąta $90 - α$ znając wartości funkcji trygonometrycznych kąta $α$ .

Popatrzmy na trójkąt prostokątny i przypomnijmy raz jeszcze definicje wartości funkcji trygonometrycznych kątów tego trójkąta.

REeYP40hkIso8

Rysunek przedstawia trójkąt prostkątny ABC. Przy wierzchołku C oznaczono kąt prosty, a bok leżący naprzeciw tego wierzchołka, czyli przeciwprostokątną, oznaczono małą literą c. Przy wierzchołku A oznaczono kąt α, a bok leżący naprzeciw tego wierzchołka, czyli przyprostokątną, oznaczono małą literą a. Przy wierzchołku B oznaczono kąt β, a bok leżący naprzeciw tego wierzchołka, czyli przyprostokątną, oznaczono małą literą b.

\sin α = \frac{a}{c}, \sin β = \frac{b}{c}

\cos α = \frac{b}{c}, \cos β = \frac{a}{c}

tg α = \frac{a}{b}, tg β = \frac{b}{a}

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180 °$ , więc $α + β + 90 ° = 180 °$ , a zatem $β = 90 ° - α$ .

Problem 1

Biorąc pod uwagę powyższe rozważania sformułujmy twierdzenie wiążące funkcje trygonometryczne kątów $α$ oraz $90 ° - α$ .

Funkcje trygonometryczne kąta

90 ° - α

Twierdzenie: Funkcje trygonometryczne kąta

90 ° - α

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości:

\sin (90 ° - α) = \cos α

\cos (90 ° - α) = \sin α

tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}

Powyższe twierdzenie jest najprostszym przykładem wzorów redukcyjnychwzory redukcyjnewzorów redukcyjnych.

Zanim przejdziemy do zarysowanego we wstępie problemu znalezienia długości przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, gdy znamy długość drugiej przyprostokątnej i wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego, rozważmy łatwiejszy przykład.

Przykład 1

Korzystając z danych na rysunku obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $90 ° - α$ .

RsYx3NeryqXrY

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach: 3 oraz 5 oraz o przeciwprostokątnej c. Oznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta: kąt prosty oraz kąt α między bokami 5 oraz c.

Rozwiązanie

Zaczniemy od obliczenia długości przeciwprostokątnej $c$ . Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$c^{2} = 3 + 5 = 8$ .

Zatem $c = 2 \sqrt{2}$ .

Wykorzystamy twierdzenie o funkcjach trygonometrycznych kąta $(90 ° - α)$ :

$\sin (90^{\circ} - α) = \cos^{\circ} α = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$

$\cos (90^{\circ} - α) = \sin^{\circ} α = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$tg (90^{\circ} - α) = \frac{1}{tg α} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Przykład 2

Harcerze chcą wybudować bramę na obozie harcerskim. Chcą, aby brama miała kształt trójkąta prostokątnego, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość $4 m$ , a jedno z ramion ma długość $5 m$ . Obliczymy, jaka będzie długość drugiego ramienia.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Rxv1EwQ5jTLAP

Rysunek przedstawia dwa odcinki: jednen poziomy, a drugi ukośny. Mają one wspólny początek po lewej stronie odcinka poziomego. Odcinek ukośny opisany jest jako 5 metrów i tworzy z poziomym kąt wklęsły. Przez drugi koniec odcinka ukośnego poprowadzono linią przerywaną odcinek ukośny biegnący do odcinka poziomego i w ten sposób powstaje trójkąt. Odcinek domykający trójkąt opisano jako x. Z górnego wierzchołka, z którego wychodzą dwa ukośne boki, opuszczono wysokość na poziomą podstawę. Przy tym wierzchołku zaznaczono kąt wewnętrzy o mierze dziewięćdziesięciu stopni.Wysokość narysowana jest linią przerywaną i opisana jest jako 4 metry. Zaznaczono także kąt prosty pomiędzy wysokością a podstawą po prawej stronie wysokości.

Nie znamy szerokości bramy, ani długości $x$ , więc nie możemy korzystać z twierdzenia Pitagorasa. Popatrzmy na kąty w powstałych trójkątach.

ReFU3iwlRBztL

Z definicji sinusa wiemy, że $\sin α = \frac{4}{5}$ .

Zatem $\cos (90 ° - α) = \frac{4}{5}$ .

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, gdyż, żeby policzyć $x$ , potrzebujemy znać $\sin (90 ° - α)$ .

$\sin^{2} (90 ° - α) = 1 - \cos^{2} (90 ° - α) = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin (90 ° - α) = \frac{3}{5}$

Z definicji sinusa wiemy, że $\sin (90 ° - α) = \frac{4}{x}$ .

Zatem $\frac{3}{5} = \frac{4}{x}$ , więc $x = \frac{20}{3}$ .

Odpowiedź

Drugie ramię powinno mieć długość około $6$ metrów i $67$ centymetrów.

Twierdzenie o wartościach funkcji trygonometrycznych kąta $90 ° - α$ wykorzystujemy nie tylko w planimetrii. Niejednokrotnie ułatwia ono rachunki i pozwala unikać korzystania z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych. Rozważmy kilka przykładów.

Przykład 3

Obliczymy $\sin 22 ° - \cos 68 °$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $22 ° = 90 ° - 68 °$ .

Możemy więc przekształcić wyjściową równość

$\sin 22 ° - \cos 68 ° = \sin 22 ° - \cos (90 ° - 22 °)$

a następnie skorzystać z faktu, że

$\cos (90 ° - α) = \sin α$

i zapisać równanie:

$\sin 22 ° - \cos (90 ° - 22 °) = \sin 22 ° - \sin 22 ° = 0$ .

Zwróćmy uwagę, że mogliśmy rozwiązać to zadanie korzystając z faktu, że $22 ° = 90 ° - 68 °$ oraz $\sin (90 ° - α) = \cos α$ otrzymując ciąg równości:

$\sin 22 ° - \cos 68 ° = \sin (90 ° - 68 °) - \cos 68 ° = \cos 68 ° - \cos 68 ° = 0$ .

Przykład 4

Obliczymy wartość wyrażenia $tg 10 ° \cdot tg 20 ° \cdot tg 30 ° \cdot tg 40 ° \cdot tg 50 ° \cdot tg 60 ° \cdot tg 70 ° \cdot tg 80 °$ .

Mnożenie jest przemienne oraz $80 ° = 90 ° - 10 °$ , $70 ° = 90 ° - 20 °$ , $60 ° = 90 ° - 30 °$ , $50 ° = 90 ° - 40 °$ , więc wyjściową równość możemy zapisać jako:

$tg 10 ° \cdot tg (90 ° - 10 °) \cdot tg 20 ° \cdot tg (90 ° - 20 °) \cdot$

$\cdot tg 30 ° \cdot tg (90 ° - 30 °) \cdot tg 40 ° \cdot tg (90 ° - 40 °)$ .

Ponieważ $tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}$ nasze równanie przyjmuje postać:

$tg 10 ° \cdot \frac{1}{tg 10 °} \cdot tg 20 ° \cdot \frac{1}{tg 20 °} \cdot tg 30 ° \cdot \frac{1}{tg 30 °} \cdot tg 40 ° \cdot \frac{1}{tg 40 °} = 1$ .

Przykład 5

Udowodnimy, że

$\sin^{2} 32 ° + \sin^{2} 58 ° + \sin 83 ° \cdot \cos^{2} 7 ° + \cos 7 ° \cdot \cos^{2} 83 ° +$

$(- tg 44 °) \cdot tg 46 ° = \cos 7 °$ .

Rozwiąznie

Zauważmy, że: $32 ° + 58 ° = 90 °$ , $44 ° + 46 ° = 90 °$ i $7 ° + 83 ° = 90 °$ ,

zatem

$\sin^{2} 58 ° = \cos^{2} 32 °$ , $\cos 7 ° = \sin 83 °$ oraz $tg 46 ° = \frac{1}{tg 44 °}$ .

Mamy:

$\sin^{2} 32 ° + \sin^{2} 58 ° + \sin 83 ° \cdot \cos^{2} 7 ° + \cos 7 ° \cdot \cos^{2} 83 ° - tg 44 ° \cdot tg 46 ° =$

$= \sin^{2} 32 ° + \cos^{2} 32 ° + \cos 7 ° \cdot (\sin 83 ° \cdot \cos 7 ° + \cos^{2} 83 °) - tg 44 ° \cdot \frac{1}{tg 44 °} =$

$= 1 + \cos 7 ° \cdot (\sin 83 ° \cdot \sin 83 ° + \cos^{2} 83 °) - 1 =$

$= \cos 7 ° \cdot (\sin^{2} 83 ° + \cos^{2} 83 °) = \cos 7 ° \cdot 1 = \cos 7 °$ .

c. n. u.

Gra edukacyjna

Polecenie 1

R1276GXHvm2x21

Rozwiąż poniższy test jednokrotnego wyboru składający się z dziesięciu pytań.

R4M1DEpLqye27

Rmbe6BKjj8GGT

R49NnzmZEobcq

Rk6nMz0cUUVeF

RGRyeOVfUWyWl

RyEMcGWldGXCx

RJpT4xDDgvVe9

RMJ0ZVdFd0Gpz

R1VeyzisxjMKx

RHFZtBzbb0D7t

Polecenie 2

W trójkącie prostokątnym mniejszy z kątów ma miarę $α$ . Przyprostokątne tego trójkąta mają długość $1 cm$ i $8 cm$ . Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów $α$ oraz $(90 ° - α)$ .

Zaczniemy od policzenia długości przeciwprostokątnej $c$ .

$c = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65} cm$

Zatem

$\sin α = \frac{1}{\sqrt{65}} = \frac{\sqrt{65}}{65}$

$\cos α = \frac{8}{\sqrt{65}} = \frac{8 \sqrt{65}}{65}$

$tg α = \frac{1}{8}$

$\sin (90 ° - α) = \frac{8 \sqrt{65}}{65}$

$\cos (90 ° - α) = \frac{\sqrt{65}}{65}$

$tg (90 ° - α) = 8$

Polecenie 3

Uprość wyrażenie $(\sin 15 ° + \cos 15 °) (\cos 75 ° - \sin 75 °) + tg 23 ° tg 67 °$ .

$(\sin 15 ° + \cos 15 °) (\cos 75 ° - \sin 75 °) + tg 23 ° tg 67 ° =$

$= (\sin 15 ° + \cos 15 °) (\cos (90 ° - 15 °) - \sin (90 ° - 15 °)) +$
$+ \sin 23 ° \sin (90 ° - 23 °) =$

$= (\sin 15 ° + \cos 15 °) (\sin 15 ° - \cos 15 °) + \sin 23 ° \frac{1}{\sin 23 °} =$

$= \sin^{2} 15 ° - \cos^{2} 15 ° + 1 = 2 \sin^{2} 15 °$

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RTb7H7yD9eWdz1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Dany jest trójkąt prostokątny jak na rysunku poniżej.

RgDFlWFar1Wv7

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny, w którym zaznaczono dwa kąty: kąt prosty oraz kąt między podstawą a przeciwprostokątną o mierze α. Pozioma podstawa ma długość 2+1, a pionowa przyprostokątna ma długość 2-1.

R1Ek1UPfe8tFt

R2CU5GECCKANH2

Ćwiczenie 3

R15kHTuX5U42Z2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Korzystając z informacji przedstawionych na rysunku, oblicz $x$ . Uzupełnij tekst, przeciągając odpowiednie wyrażenia we właściwe miejsce.

RaasZtyQU5LSW

Rysunek przedstawia trójkąt ABC. Bok AB jest poziomą podstawą trójkąta, na którą z wierzchołka C upuszczono wysokość CD. Podstawa trójkąta została w ten sposób podzielona na dwa odcinki: AD o długości 2513 oraz na odcinek DB o długości 14413. Z punktu D poprowadzono do boku BC odcinek x, który jest do tego boku prostopadły, co oznaczono odpowiednim sybmolem. Dodatkowo na rysunku zaznaczono jeszcze dwa inne kąty proste: kąt ADC oraz kąt ACB. Odcinek AC ma długość 5.

RueBWZuLsM3U3

Wprowadźmy oznaczenie alfa, równa się, kąt C A D. Wówczas kąt kąt A B C, równa się1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu
oraz 1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu równa się, sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu podzielić na, trzynaście.
Jednocześnie 1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu równa się, x, podzielić na 1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, więc x, równa się1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu.

R1XsnXdLfwOhQ2

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy podane wyrażenie są większe, mniejsze, czy równe jeden. Przeciągnij wyrażenia we właściwe miejsca. mniejsze niż jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa kosinus trzydzieści stopni, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, kosinus dwadzieścia siedem stopni, mianownik, tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, koniec ułamka, 3. tangens dwadzieścia siedem stopni tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, 4. sinus dwadzieścia stopni kosinus siedemdziesiąt stopni, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwadzieścia stopni, 5. sinus czterdzieści jeden stopni kosinus czterdzieści dziewięć stopni, 6. początek ułamka, tangens pięćdziesiąt pięć stopni, mianownik, kosinus trzydzieści pięć stopni, koniec ułamka, 7. początek ułamka, tangens osiemdziesiąt jeden stopni, mianownik, sinus dziewięć stopni, koniec ułamka, 8. początek ułamka, kosinus pięćdziesiąt trzy stopnie, mianownik, sinus trzydzieści siedem stopni, koniec ułamka, 9. tangens piętnaście stopni sinus siedemdziesiąt pięć stopni, 10. tangens sześćdziesiąt stopni równe jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa kosinus trzydzieści stopni, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, kosinus dwadzieścia siedem stopni, mianownik, tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, koniec ułamka, 3. tangens dwadzieścia siedem stopni tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, 4. sinus dwadzieścia stopni kosinus siedemdziesiąt stopni, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwadzieścia stopni, 5. sinus czterdzieści jeden stopni kosinus czterdzieści dziewięć stopni, 6. początek ułamka, tangens pięćdziesiąt pięć stopni, mianownik, kosinus trzydzieści pięć stopni, koniec ułamka, 7. początek ułamka, tangens osiemdziesiąt jeden stopni, mianownik, sinus dziewięć stopni, koniec ułamka, 8. początek ułamka, kosinus pięćdziesiąt trzy stopnie, mianownik, sinus trzydzieści siedem stopni, koniec ułamka, 9. tangens piętnaście stopni sinus siedemdziesiąt pięć stopni, 10. tangens sześćdziesiąt stopni większe niż jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa kosinus trzydzieści stopni, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, kosinus dwadzieścia siedem stopni, mianownik, tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, koniec ułamka, 3. tangens dwadzieścia siedem stopni tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, 4. sinus dwadzieścia stopni kosinus siedemdziesiąt stopni, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwadzieścia stopni, 5. sinus czterdzieści jeden stopni kosinus czterdzieści dziewięć stopni, 6. początek ułamka, tangens pięćdziesiąt pięć stopni, mianownik, kosinus trzydzieści pięć stopni, koniec ułamka, 7. początek ułamka, tangens osiemdziesiąt jeden stopni, mianownik, sinus dziewięć stopni, koniec ułamka, 8. początek ułamka, kosinus pięćdziesiąt trzy stopnie, mianownik, sinus trzydzieści siedem stopni, koniec ułamka, 9. tangens piętnaście stopni sinus siedemdziesiąt pięć stopni, 10. tangens sześćdziesiąt stopni

Ćwiczenie 7

Doprowadź wyrażenie:
$\sin 28 ° \cdot \cos 62 ° + \sin^{4} 14 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot \sin^{2} 76 ° + \cos^{2} 14 ° + \frac{\cos 62 ° \cdot \cos 28 °}{tg 28 °}$
do najprostszej postaci.

Wykorzystaj fakty, że:

\sin (90 ° - α) = \cos α

\cos (90 ° - α) = \sin α

$\sin 28 ° \cdot \cos 62 ° + \sin^{4} 14 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot \sin^{2} 76 ° + \cos^{2} 14 ° + \frac{\cos 62 ° \cdot \cos 28 °}{tg 28 °} =$

$= \sin 28 ° \cdot \sin 28 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot (\sin^{2} 14 ° + \sin^{2} 76 °) +$

$+ \cos^{2} 14 ° + \cos 62 ° \cdot \cos 28 ° \cdot tg 62 ° =$

$= \sin^{2} 28 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot (\sin^{2} 14 ° + \cos^{2} 14 °) +$

$+ \cos^{2} 14 ° + \cos 62 ° \cdot \cos 28 ° \cdot \frac{\sin 62 °}{\cos 62 °} =$

$= \sin^{2} 28 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot 1 + \cos^{2} 14 ° + \cos 28 ° \cdot \sin 62 ° =$

$= \sin^{2} 28 ° + 1 + \cos 28 ° \cdot \cos 28 ° = 1 + 1 = 2$

Słownik

wzory redukcyjne

wzory, które pozwalają przekształcić funkcje trygonometryczne kątów postaci $90 ° \pm α$ , $180 ° \pm α$ , $270 ° \pm α$ , $. . .$ w funkcje trygonometryczne kąta $α$

\sin (90 ° - α) = \cos α

\cos (90 ° - α) = \sin α

tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}

2. Zastosowanie zależności trygonometrycznych

4*. Wiedza z plusem: Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych

3. Funkcje trygonometryczne kąta 90 - alfa

Gra edukacyjna

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

Słownik

2. Zastosowanie zależności trygonometrycznych

4*. Wiedza z plusem: Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych

Zależności trygonometryczne kąta ostrego

3. Funkcje trygonometryczne kąta 90 - αalfa

Gra edukacyjna

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

Słownik

3. Funkcje trygonometryczne kąta 90 - alfa