1. Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Rju81L5jK1Yqm

Zapewne pamiętasz, jak wyglądają równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, np. takie:

2 x + 8 = - 11

W matematyce są jednak równania wyższego stopnia i takie, w których jest więcej niewiadomych.
Znanym w matematycznym świecie jest równanie pojawiające się w wielkim twierdzeniu Fermata.

x^{n} + y^{n} = z^{n}

R1cchhLVotDPU1

Obraz przedstawia czarno-białe popiersie mężczyzny z włosami do ramion. Ma on na sobie skromny ciemny ubiór z kołnierzem w prostokątnym kształcie. — Pierre de Fermat
ur.: 17 sierpnia 1601, Beaumont-de-Lomagne
zm.: 12 stycznia 1665, Castres
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Mówi ono, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ , $n > 2$ , nie istnieją liczby naturalne $x$ , $y$ , $z$ , które spełniałyby to równanie.

Informacja o tym, że Pierre de Fermat znalazł dowód tego twierdzenia opublikowana została $5$ lat po jego śmierci, ale dowodu nie znaleziono. Różni matematycy przez lata próbowali udowodnić wielkie twierdzenie Fermata. Jednak udało się to dopiero w $1994$ r., a dowód przeprowadził angielski matematyk Andrew John Wiles.

Twoje cele

Sformułujesz definicję równania z kilkoma niewiadomymi.
Sformułujesz definicję równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Rozpoznasz równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Opiszesz sytuację przedstawioną w zadaniu za pomocą równania.

RIcNQOafvYPKX

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a oraz b i przeciwprostokątną c.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta przedstawionego na powyższym rysunku, możemy zapisać równanie $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

W równaniu tym pojawiają się trzy niewiadome $a$ , $b$ i $c$ .

W matematyce możemy również spotkać się z równaniami, w których występują dwie niewiadome. Poniżej przykłady takich równań.

$x + y = 4$

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{y} = 5$

$x^{2} + 3 y^{2} = 12$

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$

Wzory funkcji zapisujemy często w postaci równania z dwiema niewiadomymirównania z dwiema niewiadomymi.

$y = 2 x + 5$

$y = |x| - 2$

$y = \sqrt{x}$

$y = x$

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja: Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Równanie, w którym występują dwie niewiadome i obie występują w pierwszej potędze, nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Równanie z niewiadomymi $x$ i $y$ przyjmuje postać

a x + b y + c = 0

gdzie:
$a, b, c \in ℝ$ i $a^{2} + b^{2} \neq 0$ .

Przykład 1

Opisz równaniem sytuację przedstawioną na rysunku.

RlDrDb14dLPkn

Grafika przedstawia wagę szalkową. Na lewej szalce stoją dwie butelki soku i odważnik o masie 1 kg. Na prawej szalce leży arbuz oraz dwa odważniki, o masie 2 kg każdy. Szalki są w równowadze.

Przyjmijmy, że $x$ – to masa soku, a $y$ – to masa arbuza.

Wtedy sytuację przedstawioną na rysunku możemy zapisać w postaci równania $2 x + 1 = 4 + y$ .

Takie równanie też nazwiemy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymirównaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Przenosząc wyrażenia występujące po prawej stronie równania na lewą i dokonując redukcji otrzymamy równanie w postaci podanej w definicji.

Przykład 2

Za pomocą równania z dwiema niewiadomymi opiszemy sytuacje przedstawione w zadaniach tekstowych.

a) Motorówka płynie z prądem rzeki z prędkością $20 \frac{km}{h}$ . Zapisz odpowiednie równanie.

Wprowadzamy oznaczenia:
$x$ – prędkość prądu rzeki,
$y$ – prędkość własna motorówki.

Zapisujemy równanie.

$x + y = 20$

b) Tomek ma w skarbonce $71 zł$ w monetach $5 zł$ i $2 zł$ . Zapisz odpowiednie równanie.

Wprowadzamy oznaczenia:
$x$ – liczba monet $2 zł$ ,
$y$ – liczba monet $5 zł$ .

Zapisujemy równanie.

$2 x + 5 y = 71$

c) Za $3 kg$ jabłek i $1, 5 kg$ czereśni zapłacono $15 zł$ . Zapisz odpowiednie równanie.

Wprowadzamy oznaczenia:
$x$ – cena $1 kg$ jabłek,
$y$ – cena $1 kg$ czereśni.

Zapisujemy równanie.

$3 x + 1, 5 y = 15$

Para liczb

(x, y)

spełniająca równanie

a x + b y + c = 0

Definicja: Para liczb

(x, y)

spełniająca równanie

a x + b y + c = 0

Para liczb $(x, y)$ spełnia równanie $a x + b y + c = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu tych liczb w miejsca niewiadomych, otrzymamy zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja: Rozwiązanie równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Każdą parę liczb, która spełnia równanie $a x + b y + c = 0$ nazywamy rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład 3

Znajdziemy trzy pary liczb spełniających równanie $3 x + y = 5$ .

Łatwo jest odgadnąć, że jedną z takich par, jest para $(1, 2)$ .

Żeby wyznaczyć inne pary, możemy przekształcić równanie, tak aby wyznaczyć z niego niewiadomą $y$ .

$y = - 3 x + 5$

Wtedy przyjmując za $x$ dowolną liczbę rzeczywistą, podstawiamy ją do wyznaczonego wzoru i obliczamy $y$ .

Dowolnie wybrany $x$	$y = - 3 x + 5$	Para liczb spełniająca równanie $3 x + y = 5$
$x = - 3$	$y = - 3 \cdot (- 3) + 5 = 9 + 5 = 14$	$(x, y) = (- 3, 14)$
$x = 3$	$y = - 3 \cdot 3 + 5 = = - 9 + 5 = - 4$	$(x, y) = (3, - 4)$

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 4

Wśród rozwiązań równania $x + y = 4$ są pary liczb $(- 2, 6)$ , $(0, 4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ .

Możemy je zaznaczyć w układzie współrzędnych.

R1Yi4EDtUxA81

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery następujące punkty: A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, zero, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że wszystkie punkty leżą na jednej prostej. Wiemy, że takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Współrzędne punktów leżących na tej prostej, to pary liczb, które są rozwiązaniami tego równania.

R1KcvxMD4e0GH

Wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja: Wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$ nazywamy zbiór wszystkich punktów, których współrzędne $(x, y)$ spełniają to równanie.

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

Mówimy, że prosta jest ilustracją graficzną równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w filmie, a następnie rozwiąż polecenia poniżej.

R7jRrEM0NRJAy

Polecenie 1

Podaj wszystkie rozwiązania równania $3 \cdot (x + 2 y) = 9 y + 3$ , w których $x$ jest liczbą naturalną mniejszą od $4$ .

$3 \cdot (x + 2 y) = 9 y + 3$

$3 x + 6 y = 9 y + 3$

$3 x - 3 y = 3 |: 3$

$x - y = 1$

$x = 0 \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow$ rozwiązaniem jest para liczb $(0, - 1)$ ,
$x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow$ rozwiązaniem jest para liczb $(1, 0)$ ,
$x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow$ rozwiązaniem jest para liczb $(2, 1)$ ,
$x = 3 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow$ rozwiązaniem jest para liczb $(3, 2)$ .

Rozwiązaniami równania są pary liczb:

$(0, - 1)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(3, 2)$ .

Polecenie 2

Obwód trójkąta równoramiennego o podstawie $a$ i ramieniu $b$ jest równy $15$ . Podaj długości boków tego trójkąta, jeśli wiemy, że $a, b \in ℕ$ .

RA9xBtQFzV0HD

Grafika przedstawia trójkąt równoramienny o ramionach b i podstawie a.

$a + 2 b = 15$

$a = 15 - 2 b$

$b$	$a$	Czy spełniona jest nierówność trójkąta?	Rozwiązanie
$1$	$15 - 2 = 13$	nie	–
$2$	$15 - 4 = 11$	nie	–
$3$	$15 - 6 = 9$	nie	–
$4$	$15 - 8 = 7$	tak	$\{\begin{matrix} a = 7 \\ b = 4 \end{matrix}$
$5$	$15 - 10 = 5$	tak	$\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 5 \end{matrix}$
$6$	$15 - 12 = 3$	tak	$\{\begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \end{matrix}$
$7$	$15 - 14 = 1$	tak	$\{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 7 \end{matrix}$

Długości boków trójkąta:

$\{\begin{matrix} a = 7 \\ b = 4 \end{matrix}$ lub $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 5 \end{matrix}$ lub $\{\begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \end{matrix}$ lub $\{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 7 \end{matrix}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1C3TjVsU6NLZ1

Ćwiczenie 1

R1A81kaucV7Lp1

Ćwiczenie 2

R1MUCv4rtgzFD2

Ćwiczenie 3

Przeciągnij równania do właściwych sekcji. Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa x, minus, pięć zet, 2. x, plus, pięć y, minus, trzy, równa się, dwa y, minus, x, minus, cztery, 3. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, równa się, zero, 4. początek ułamka, c, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a, równa się, trzy, razy, nawias, c, plus, a, zamknięcie nawiasu, minus, cztery, 5. x, plus, y, plus, zet, równa się, dwa zet, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, y, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, równa się, piętnaście, minus, x Równania pierwszego stopnia z trzema niewiadomymi Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa x, minus, pięć zet, 2. x, plus, pięć y, minus, trzy, równa się, dwa y, minus, x, minus, cztery, 3. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, równa się, zero, 4. początek ułamka, c, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a, równa się, trzy, razy, nawias, c, plus, a, zamknięcie nawiasu, minus, cztery, 5. x, plus, y, plus, zet, równa się, dwa zet, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, y, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, równa się, piętnaście, minus, x Pozostałe równania Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa x, minus, pięć zet, 2. x, plus, pięć y, minus, trzy, równa się, dwa y, minus, x, minus, cztery, 3. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, równa się, zero, 4. początek ułamka, c, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a, równa się, trzy, razy, nawias, c, plus, a, zamknięcie nawiasu, minus, cztery, 5. x, plus, y, plus, zet, równa się, dwa zet, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, y, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, plus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, równa się, piętnaście, minus, x

Ćwiczenie 4

RZXkPZP2UjKsA

R1Qysiumr2MM4

R1e6JL3jZx2oM

Ćwiczenie 5

Rjeue9QEnsgkb2

Ćwiczenie 6

Ro8Wu5DAqfztx3

Ćwiczenie 7

R1U6VVZMN7HKa1

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Wyznacz z równania niewiadomą $x$ , a następnie $y$ .

a) $5 y + 3 x = 12$

b) $\frac{1}{2} x + \frac{y}{12} = x - 12$

c) $\frac{y}{2} + \frac{y}{5} - x + 2 y = x - y$

Wyznaczając niewiadomą $x$ traktuj $y$ tak, jakby to była liczba.

a) $x = \frac{12 - 5 y}{3}$ , $y = \frac{12 - 3 x}{5}$

b) $x = \frac{y + 144}{6}$ , $y = 6 x - 144$

c) $x = \frac{37}{20} y$ , $y = \frac{20}{37} x$

Ćwiczenie 10

Hania kupiła $b$ bombek na choinkę i $10$ łańcuchów i zapłaciła $270$ zł. Bombka kosztuje $8$ zł i jest o $z$ zł tańsza od łańcucha. Ile bombek kupiła Hania?

Zapisz równanie opisujące sytuację przedstawianą w zadaniu.

Wyznacz z niego wskazaną niewiadomą.

Określ, czy otrzymane równanie jest równaniem pierwszego stopnia.

Wyznacz niewiadomą $b$ oznaczającą liczbę bombek.

Zapisujemy odpowiednie równanie.

$8 b + 10 \cdot (8 + z) = 270$

Wyznaczamy wskazaną niewiadomą.

$b = \frac{270 - 10 \cdot (8 + z)}{8}$

Otrzymane równanie jest równaniem pierwszego stopnia.

Słownik

równanie z dwiema lub trzema niewiadomymi

równanie, w którym występują dwie lub trzy niewiadome

równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

równanie, w którym występują dwie niewiadome i obie występują w pierwszej potędze

2. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jego rozwiązanie

Układ równań liniowych