2. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jego rozwiązanie

R99B7T5LZ6AON

Kilka tysięcy lat temu, między Eufratem, a Tygrysem, rozwijała się prawdopodobnie najstarsza cywilizacja na świecie. To właśnie tam, w starożytnym Babilonie, żyli matematycy, którzy pierwsi rozwiązywali układy równań.

RETXB8ERKNT3H

Zdjęcie przedstawia pozostałości po starożytnych budowlach. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Podczas wykopalisk archeologicznych odnaleziono gliniane tabliczki. Układy równań zapisane są na nich pismem klinowym, nie przypominają używanych przez nas symboli matematycznych. Jednak używane przez starożytnych Babilończyków metody rozwiązywania układów równań są bardzo zbliżone do tych, które stosujemy obecnie.

Twoje cele

Wyjaśnisz czym jest układ równań.
Sprawdzisz, czy dane liczby są rozwiązaniem układu równań.
Sformułujesz definicję rozwiązania układu równań.

Ważne!

Układem równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (lub układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi) nazywamy dwa równania pierwszego stopnia z co najwyżej dwiema niewiadomymi, połączone spójnikiem „i”, który symbolizuje klamra.

Na przykład

$\{\begin{cases} 2 x = 8 \\ 2 x + y = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 a + 5 b = 8 \\ a + 2 b = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 6 x - t = 12 \\ x = 5 t \end{cases}$

Układy równań wykorzystujemy do zapisywania i rozwiązywania takich zadań, w których należy zastosować więcej niż jedną niewiadomą.

Aby rozwiązać układ równań, należy znaleźć wszystkie pary liczb spełniające jednocześnie oba równania składowe danego układu równań lub wykazać, że takich par liczb nie ma.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem układu równań z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniających każde równanie danego układu równań.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy pary liczb $(6, 4)$ oraz $(4, 6)$ są rozwiązaniami układu równańrozwiązaniami układu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Sprawdzamy wartości liczbowe wyrażeń znajdujących się po lewej stronie kolejnych równań składowych i porównujemy je z wartościami liczbowymi znajdującymi się po prawej stronie tych równań.

Rozpatrzmy parę $(6, 4)$ . Wtedy $\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 4 \end{cases}$ .

$L_{1} = x + y = 6 + 4 = 10 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = 2 x - 3 y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} = P_{2}$

A zatem para liczb $(6, 4)$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Sprawdźmy teraz parę liczb $(4, 6)$ . Wiemy, że $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases}$ .

$L_{1} = x + y = 4 + 6 = 10 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = 2 x - 3 y = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 6 = - 10 \neq 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} \neq P_{2}$

Aby para liczb była rozwiązaniem układu równań, musi spełniać jednocześnie każde równanie układu.

Para liczb $(4, 6)$ spełnia pierwsze równanie, ale nie spełnia drugiego z nich, a zatem nie jest rozwiązaniem układu równańukładu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Przykład 2

Znajdziemy dwie liczby naturalne, takie, że ich suma wynosi $10$ , a ich różnica $4$ .

Zapiszemy warunki podane w treści zadania za pomocą dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Pierwszą z liczb oznaczymy $x$ , a drugą $y$ .

Wtedy $x + y = 10$ i $x - y = 4$ .

Warunki te możemy zapisać w postaci układu równań liniowych z dwiema niewiadomymiukładu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$ .

Łatwo odgadnąć, że szukane liczby to $x = 7$ i $y = 3$ .

Sprawdzimy, czy spełniają one nasze równania, czyli czy po podstawieniu wartości $x = 7$ i $y = 3$ do równań w miejsca niewiadomych otrzymamy tożsamości.

Pierwsze równanie.

$L_{1} = x + y = 7 + 3 = 10 = P_{1}$

A zatem para $(7, 3)$ spełnia to równanie.

Drugie równanie.

$L_{2} = x - y = 7 - 3 = 4 = P_{2}$

A zatem para $(7, 3)$ spełnia to równanie.

Para $(7, 3)$ spełnia każde z równań, a więc spełnia układ tych równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, która para liczb $(2, 3)$ , $(- 6, 9)$ jest rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = 3 \\ \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y + \frac{2}{7} = 2 \end{cases}$ .

W przypadku takiego układu trudno jest odgadnąć rozwiązanie.

Musimy więc sprawdzić wartości liczbowe wyrażeń uzyskanych po prawej i lewej stronie każdego z równań układu, po podstawieniu w miejsce niewiadomych odpowiednich liczb.

Jeśli lewa strona równania będzie równa prawej $(L = P)$ , w każdym z dwóch równań, to para spełnia układ równań, a więc jest jego rozwiązaniem.

Para $(2, 3)$ .

Pierwsze równanie.

$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot 3 = 1 + 2 = 3 = P_{1}$

A zatem para $(2, 3)$ spełnia to równanie.

Drugie równanie.

$L_{2} = \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y + \frac{2}{7} = \frac{1}{7} \cdot 2 + \frac{2}{7} \cdot 3 + \frac{2}{7} = \frac{2 + 6 + 2}{7} = \frac{10}{7} \neq 2 = P_{2}$

A zatem para $(2, 3)$ nie spełnia tego równania.

Nie jest więc rozwiązaniem układu równańrozwiązaniem układu równań.

Para $(- 6, 9)$ .

Pierwsze równanie.

$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = \frac{1}{2} \cdot (- 6) + \frac{2}{3} \cdot 9 = - 3 + 6 = 3 = P_{1}$

A zatem para $(- 6, 9)$ spełnia to równanie.

Drugie równanie.

$L_{2} = \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y + \frac{2}{7} = \frac{1}{7} \cdot (- 6) + \frac{2}{7} \cdot 9 + \frac{2}{7} = \frac{- 6 + 18 + 2}{7} = \frac{14}{7} = 2 = P_{2}$

A zatem para $(- 6, 9)$ spełnia to równanie.

Para $(- 6, 9)$ spełnia każde z równań, a więc jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = 3 \\ \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y = \frac{2}{7} = 2 \end{cases}$ .

Przykład 4

Bartek i Tomek mają razem $780 zł$ oszczędności. Jednak Tomek ma o $250 zł$ więcej od Bartka. Jak policzyć ile oszczędności ma każdy z chłopców? Czy jest tylko jedna prawidłowa odpowiedź na to pytanie?

Oznaczymy przez $x$ oszczedności Bartka, a przez $y$ oszczędności Tomka.

Warunki wynikające z treści zadania możemy zapisać w postaci układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} x + y = 780 \\ y = x + 250 \end{cases}$ .

Możemy łatwo zapisać układ równań w postaci jednego równania z jedną niewiadomą.

$x + x + 250 = 780$

$2 x = 780 - 250$

$x = 265$

A wtedy korzystając z drugiego równania obliczmy $y$ .

$y = x + 250 = 265 + 250 = 515$ .

Możemy zatem odpowiedzieć na pytanie:

Bartek ma $265 zł$ oszczędności, a Tomek ma $515 zł$ .

Animacja

Przeanalizuj animację, a następnie wykonaj umieszczone pod nią polecenia.

RNSVGF3VM75ZM

Polecenie 1

Uzupełnij układ równań

$\{\begin{cases} \dots x + 3 y = 5 \\ 2 x - \dots y = 7 \end{cases}$ ,

wpisując w wykropkowanych miejscach liczby tak, aby para $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ była jego rozwiązaniem.

$\{\begin{cases} 7 x + 3 y = 5 \\ 2 x - 1 y = 7 \end{cases}$

Polecenie 2

Sprawdź, czy para liczb $(- 100, 250)$ jest rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} 4 x + 0, 2 y = - 350 \\ - \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y = 75 \end{cases}$ .

$L_{1} = 4 x + 0, 2 y = - 400 + 50 = - 350 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = - \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y = 25 + 50 = 75 = P_{2} \Rightarrow L_{2} = P_{2}$

A zatem para liczb $(- 100, 250)$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} 4 x + 0, 2 y = - 350 \\ - \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y = 75 \end{cases}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1JKAD5T2QVZN1

Ćwiczenie 1

R1G6HBG5VNH151

Ćwiczenie 2

RNH53HFSRCFD52

Ćwiczenie 3

R1RSRQLSPGLM12

Ćwiczenie 4

Połącz w pary zadania treść zadania z odpowiednim układem równań liniowych. Koty i kanarki mają razem dwanaście głów i trzydzieści cztery nogi. Ile jest kotów, a ile kanarków? Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań Znajdź liczbę dwucyfrową, w której suma cyfr wynosi dwanaście, wiedząc dodatkowo, że jeśli przestawimy cyfry w szukanej liczbie, to otrzymamy liczbę o osiemnaście większą od początkowej. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań Obwód trójkąta równobocznego jest o dwanaście cm mniejszy od obwodu kwadratu. Znajdź długości boków trójkąta i kwadratu, wiedząc, że bok kwadratu jest o jeden cm mniejszy od boku trójkąta. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań Na szkolnym konkursie matematycznym było dwanaście zadań. Za każde dobrze zrobione zadanie uczeń otrzymywał 2 punkty, a za złą odpowiedź tracił jeden punkt. Ile zadań uczeń rozwiązał prawidłowo, a ile błędnie, jeśli uzyskał osiemnaście punktów. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań

R1OX3XX7DRKV53

Ćwiczenie 5

R12JOAMDPD7X71

Ćwiczenie 6

R1GMB354V2AXM2

Ćwiczenie 7

REOZZSG14EMKQ2

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Sprawdź, która z par liczb $(- 2, 3)$ , $(2, - 3)$ jest rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} \frac{x + y}{3} + \frac{2 \cdot (x - 2)}{5} = - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{3} \cdot (y - x) + \frac{1}{15} = - 1 \end{cases}$ .

Para $(- 2, 3)$ .

$\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 \end{cases}$

$L_{1} = \frac{x + y}{3} + \frac{2 \cdot (x - 2)}{5} = \frac{- 2 + 3}{3} + \frac{2 \cdot (- 2 - 2)}{5} = \frac{1}{3} + \frac{- 8}{5} = \frac{5 - 24}{15} =$

$= - \frac{19}{15} \neq - \frac{1}{3} = P_{1}$

Para $(- 2, 3)$ nie jest rozwiązaniem tego układu równań.

Para $(2, - 3)$ .

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$

$L_{1} = \frac{x + y}{3} + \frac{2 \cdot (x - 2)}{5} = \frac{2 - 3}{3} + \frac{2 \cdot (2 - 2)}{5} = \frac{- 1}{3} + \frac{0}{5} = - \frac{1}{3} = P_{1}$

$L_{2} = \frac{1}{5} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{3} \cdot (y - x) + \frac{1}{15} = \frac{1}{5} \cdot (4 - 1) + \frac{1}{3} \cdot (- 3 - 2) + \frac{1}{15} =$

$= \frac{3}{5} + \frac{- 5}{3} + \frac{1}{15} = \frac{9 - 25 + 1}{15} = - \frac{15}{15} = - 1 = P_{2}$

Para $(2, - 3)$ jest rozwiązaniem tego układu równań.

Ćwiczenie 10

Oblicz wartości parametrów $a$ i $b$ , występujących w układzie równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} \cdot (x + y) - (a - 1) y = 4 \\ a (x - y) + b (x + 2 y) = b + 3 \end{cases}$

wiedząc, że rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = - 0, 5 \\ y = \frac{3}{2} \end{cases}$ .

Wstaw do każdego z równań podane wartości niewiadomych $x$ i $y$ .

$\frac{1}{2} \cdot (x + y) - (a - 1) y = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (a - 1) = 4 \Rightarrow a = - \frac{4}{3}$

$a (x - y) + b (x + 2 y) = b + 3 \Rightarrow - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) + b (- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2}) =$

$= b + 3 \Rightarrow b = \frac{2}{9}$

$\{\begin{cases} a = - \frac{4}{3} \\ b = \frac{2}{9} \end{cases}$ .

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

dwa równania pierwszego stopnia z co najwyżej dwiema niewiadomymi, połączone spójnikiem „i”, który symbolizuje klamra.

układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

inna nazwa układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

para liczb spełniających jednocześnie każde z równań składowych w tym układzie

1. Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

3. Geometryczna interpretacja układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi