3. Geometryczna interpretacja układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

R1JR5KAJ3Z4Z4

Równanie liniowe, w którym występują dwie zmienne można zapisać jako równanie prostej i narysować ją w układzie współrzędnych. Postępując tak z równaniami występującymi w układzie równań tzn. rysując te proste, możemy odpowiednio zinterpretować ich zachowanie względem siebie.

Jest to geometryczna interpretacja układów równań.

Twoje cele

Przedstawisz graficzną ilustrację układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Odczytasz liczbę rozwiązań układu równań na podstawie jego ilustracji graficznej.
Odczytasz rozwiązanie układu równań liniowych na podstawie jego interpretacji geometrycznej.
Dopiszesz drugie równanie tak, aby otrzymać układ równań oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny.

Ważne!

Ilustracją geometryczną układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi są dwie proste.

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:

proste przecinają się w jednym punkcie,

proste pokrywają się (są równoległe),

proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

W zależności od położenia prostych układ równań może mieć:

jedno rozwiązanie - taki układ nazywamy oznaczonym,
nieskończenie wiele rozwiązań - taki układ nazywamy nieoznaczonym,
brak rozwiązań - taki układ nazywamy sprzecznym.

R1R24SM9WD8Ja1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Układ równań oznaczony

Oznaczony układ równań

Definicja: Oznaczony układ równań

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym (układem równań niezależnych).

Przykład 1

Dany jest układ równań

$\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 3 \cdot (x - 1) + y = 2 y \end{cases}$ .

Narysujemy wykres każdego z równań.

Dla ułatwienia przekształcamy każde z równań do najprostszej postaci.

$2 x - y = 0$ i $3 \cdot (x - 1) + y = 2 y$

$y = 2 x$ i $3 x - 3 + y = 2 y$

$y = 2 x$ i $y = 3 x - 3$

R6CJ6N274RFN9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 3 do siedmiu oraz z osią poziomą od minus 3 do sześciu. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza posiada miejsce zerowe w początku układu współrzędnych, a druga w punkcie jeden i przecina oś Y w punkcie minus trzy. Proste przecinają się w punkcie nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Wykresy tych równań przecinają się w jednym punkcie $A = (3, 6)$ .

Współrzędne tego punktu tworzą parę liczb, która spełnia oba równania: $2 x - y = 0$ oraz $3 \cdot (x - 1) + y = 2 y$ .

Para $(3, 6)$ jest jedynym rozwiązaniem układu.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 3 \cdot (x - 1) + y = 2 y \end{cases}$ ma jedno rozwiązanie. Taki układ nazywamy układem oznaczonym lub układem równań niezależnych.

Przykład 2

Jedną z par spełniających równanie liniowe z dwiema niewiadomymi $3 x - 5 y = 9$ jest $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ .

Znajdziemy równanie, które będzie wraz z danym tworzyło układ równań, którego rozwiązaniem jest również para liczb $(- 2, - 3)$ .

R14HBHPEDCCP7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 5 do trzech oraz osią poziomą od minus 5 do sześciu. Zaznaczono na nim prostą mającą miejsce zerowe w punkcie trzy. Zaznaczono punkt na prostej o współrzędnych nawias, minus, dwa, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Na rysunku przedstawiliśmy wykres równania $3 x - 5 y = 9$ oraz zaznaczyliśmy punkt o współrzędnych $(- 2, - 3)$ .

Ponieważ przez ten punkt możemy przeprowadzić nieskończenie wiele prostych, więc nasze zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Możemy np. dopisać równania: $x = - 2$ , $y = - 3$ , czy też $y = \frac{3}{2} x$ .

Możemy też do równania kierunkowego prostej $y = a x + b$ podstawić $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ oraz dowolnie wybrany współczynnik $b$ , np. $b = 3$ i wyznaczyć równanie.

Otrzymujemy wtedy:

$y = a x + b$

$- 3 = - 2 a + 3$

$2 a = 3 + 3$

$a = 3$

A zatem układem równań spełniającym warunki zadania będzie również układ równań $\{\begin{cases} 3 x - 5 y = 9 \\ y = 3 x + 3 \end{cases}$ .

Układ równań nieoznaczony

Nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

Definicja: Nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy układem nieoznaczonym lub układem równań zależnych.

Przykład 3

Dany jest układ równań

$\{\begin{cases} - 3 x + y = 1 \\ 6 x - 2 y = - 2 \end{cases}$ .

Narysujemy wykresy równań składowych tego układu.

Przekształcamy każde z równań.

$- 3 x + y = 1$ i $6 x - 2 y = - 2$

$y = 3 x + 1$ i $- 2 y = - 6 x - 2 | : (- 2)$

$y = 3 x + 1$ i $y = 3 x + 1$

Otrzymaliśmy takie same równania. Oznacza to, że równania, które pojawiły się w tym układzie, są równaniami równoważnymi.

Narysujemy ich wykresy – są to pokrywające się proste.

Wybieramy dowolny $x \in ℝ$ i korzystając z warunku zawartego w równaniu, obliczamy $y$ .

Otrzymujemy np. punkty o współrzędnych $(0, 1)$ , $(1, 4)$ .

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych, a następnie rysujemy wykresy tych równań.

R1N67N29P7T5N

Ilustracja przedstawiająca układ równań. Zaznaczono na nim prostą o równaniu y, równa się, trzy x, plus, jeden. Zaznaczono na niej punkty. nawias, zero przecinek jeden, zamknięcie nawiasu oraz nawias, jeden przecinek cztery, zamknięcie nawiasu

Wykresy tych równań, to proste równoległe, które się pokrywają. Mają więc nieskończenie wiele wspólnych punktów.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} - 3 x + y = 1 \\ 6 x - 2 y = - 2 \end{cases}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci

$\{\begin{cases} x = t \in ℝ \\ y = 3 t + 1 \end{cases}$

Przykład 4

Do równania $x + 2 y = 15$ dopiszemy drugie, tak aby równania tworzyły razem nieoznaczony układ równańnieoznaczony układ równań.

Oczywiście zadanie takie posiada nieskończenie wiele rozwiązańrozwiązań. Należy dopisać dowolne równanie równoważne, np. pomnożyć lub podzielić obie strony pierwszego równania przez dowolną liczbę.

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają na przykład postać:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 15 \\ - 3 x - 6 y = - 45 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x + 2 y = 15 \\ 0, 5 x + y = 7, 5 \end{cases}$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiona jest geometryczna interpretacja układu równań liniowych.

RGGGKMPGPK7JN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą. Przecinającą się z osią rzędnych w punkcie 4 oraz mająca miejsce zerowe w punkcie dwa

Na rysunku widoczna tylko jedna prosta. Zatem, jeśli w poleceniu podana została informacja, że jest to interpretacja geometryczna układu równań, to wiemy, że jest to układ nieoznaczony. Znajdźmy ten układ.

Odczytujemy współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej.

R1653N4AXKCR5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą. Przecinającą się z osią rzędnych w punkcie nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasuoraz z osią odciętych w punkcie nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu

Wiemy, że równanie kierunkowe prostej przedstawionej na rysunku ma postać $y = a x + b$ i należą do niej punkty $(0, 4)$ oraz $(2, 0)$ .

Postawimy więc ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a$ i $b$ .

Punkt $(0, 4)$ :
$4 = a \cdot 0 + b$
$b = 4$

Punkt $(2, 0)$ :
$0 = a \cdot 2 + b$
$2 a + 4 = 0$
$2 a = - 4$
$a = - 2$

Równanie prostej ma więc postać $y = - 2 x + 4$ .

Możemy zapisać nieskończenie wiele nieoznaczonych układów równań spełniających warunki tego zadania. Na przykład:

$\{\begin{cases} y = - 2 x + 4 \\ 2 x + y = 4 \end{cases} \lor \{\begin{cases} - 2 x - y = - 4 \\ x + 0, 5 y = 2 \end{cases} \lor \{\begin{cases} - 4 x - 2 y = - 8 \\ 3 y = - 6 x + 12 \end{cases}$ .

Układ równań sprzeczny

Sprzeczny układ równań

Definicja: Sprzeczny układ równań

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.

Przykład 6

Dany jest układ równań

${\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 2 x - y = - 2 \end{cases}$ .

Narysujemy wykres każdego z równań.

Dla ułatwienia przekształcamy każde z równań.

$2 x - y = 0$ i $2 x - y = - 2$

$y = 2 x$ i $y = 2 x + 2$

Wybieramy dowolny $x \in ℝ$ i korzystając z odpowiedniego równania, obliczamy $y$ .

$(0, 0)$ , $(1, 2)$ i $(0, 2)$ , $(1, 4)$

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych, a następnie rysujemy wykresy tych równań.

R1R4BUS89NXJL

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne równoległe proste. Biegnąca z lewej strony prosta opisana jest wzorem y, równa się, dwa x, plus, dwa i przechodzi przez dwa charakterystyczne punkty: nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Biegnąca z prawej strony prosta opisana jest wzorem y, równa się, dwa x i przechodzi przez początek układu współrzędnych. — Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

Wykresy tych równań to proste równoległe, które nie mają wspólnych punktów.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 2 x - y = 2 \end{cases}$ nie ma rozwiązań. Jest to układ sprzeczny.

Ważne!

Wykresy prostych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Wykresy prostych postaci $x = c_{1}$ oraz $x = c_{2}$ są równoległe dla dowolnych $c_{1} \in ℝ$ , $c_{2} \in ℝ$ .

Przykład 7

Na rysunku przedstawiona jest geometryczna interpretacja układu równań liniowych.

R161V8OAB6MND

Wykresy prostych są równoległe, a więc jest to interpretacja geometryczna sprzecznego układu równań. Znajdźmy ten układ.

Odczytujemy współrzędne dwóch punktów leżących na każdej z prostych.

R127XNB59X9XV

Na prostej $y = a_{1} x + b_{1}$ leżą punkty $(0, 1)$ oraz $(1, 2)$ . Postawimy ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a_{1}$ i $b_{1}$ .

$1 = a_{1} \cdot 0 + b_{1}$ i $2 = a_{1} \cdot 1 + b_{1}$

$b_{1} = 1$ i $a_{1} + 1 = 2$

$b_{1} = 1$ i $a_{1} = 1$

Równanie prostej ma więc postać $y = x + 1$ .

Na prostej $y = a_{2} x + b_{2}$ leżą punkty $(0, - 1)$ oraz $(1, 0)$ . Postawimy ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a_{2}$ i $b_{2}$ .

$- 1 = a_{2} \cdot 0 + b_{2}$ i $0 = a_{2} \cdot 1 + b_{2}$

$b_{2} = - 1$ i $a_{2} - 1 = 0$

$b_{2} = - 1$ i $a_{2} = 1$

Równanie prostej ma więc postać $y = x - 1$ .

Rysunek przedstawia więc ilustrację geometryczną sprzecznego układu równań

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ y = x - 1 \end{cases}$ .

Twierdzenie o liczbie rozwiązań układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Liczba rozwiązań układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Twierdzenie: Liczba rozwiązań układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

jest:

układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek:
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0$
jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy:

\{\begin{cases} a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0 \end{cases}

jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek:
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 (1)$
i gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków:
$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0 (2)$
lub
$a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} \neq 0 (3)$

Przykład 8

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} x + 2 y = 10 \\ - 3 x - 6 y = 2 \end{cases}$ .

Sprawdzimy, czy jest to układ sprzeczny.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ i wyrazów wolnych.

$a_{1} = 1$

$b_{1} = 2$

$c_{1} = 10$

$a_{2} = - 3$

$b_{2} = - 6$

$c_{2} = 2$

Sprawdzamy czy zachodzi warunek $(1) a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 1 \cdot (- 6) - 2 \cdot (- 3) = - 6 + 6 = 0$

Warunek $(1)$ jest spełniony, sprawdzamy więc, czy zachodzi warunek $(2) c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot (- 6) - 2 \cdot 2 = - 60 - 4 \neq 0$

Warunek $(2)$ jest spełniony, a zatem ten układ jest układem sprzecznym.

Przykład 9

Sprawdzimy, czy podany układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest układem oznaczonym.

$\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 5 \\ - 3 x + y = - 4 \end{cases}$
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$a_{1} = 3$
$b_{1} = 2$
$a_{2} = - 3$
$b_{2} = 1$
Sprawdzamy czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot (- 3) = 9 \neq 0$
A zatem ten układ jest układem oznaczonymukładem oznaczonym.
$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$a_{1} = 10$
$b_{1} = - 5$
$a_{2} = - 2$
$b_{2} = 1$
Sprawdzamy czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) = 0$
A zatem ten układ nie jest układem oznaczonym.

Przykład 10

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ - 6 x + 4 y = - 10 \end{cases}$ .

Sprawdzimy, czy jest to układ nieoznaczony.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 3$

$b_{1} = - 2$

$c_{1} = 5$

$a_{2} = - 6$

$b_{2} = 4$

$c_{2} = - 10$

Sprawdzamy czy współczynniki układu równań spełniają warunki powyższego twierdzenia

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 3 \cdot 4 - (- 6) \cdot (- 2) = 12 - 12 = 0$

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0$
$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 5 \cdot 4 - (- 2) \cdot (- 10) = 20 - 20 = 0$

$a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0$
$a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 3 \cdot (- 10) - 5 \cdot (- 6) = - 30 + 30 = 0$

Wszystkie warunki są spełnione, a zatem układ równań

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ - 6 x + 4 y = - 10 \end{cases}$

jest nieoznaczonym układem równań liniowych.

Przykład 11

Sprawdzimy, czy układ równań

$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$

jest układem równań zależnych.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 10$

$b_{1} = - 5$

$c_{1} = - 25$

$a_{2} = - 2$

$b_{2} = 1$

$c_{2} = 12$

Sprawdzamy, czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) = 10 - 10 = 0$

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi warunek $c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = - 25 \cdot 1 - 12 \cdot (- 5) = - 25 + 60 \neq 0$

Drugi z warunków nie jest spełniony. Nie musimy już zatem sprawdzać trzeciego z nich, ponieważ, aby układ był nieoznaczony, muszą zachodzić wszystkie trzy zależności.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$ nie jest układem równań zależnych.

(Jest to układ sprzeczny.)

Przykład 12

Ustalimy, jaką liczbę należy wpisać w miejsce $a$ , aby układ

$\{\begin{cases} (a - 1) x + 12 y = 25 \\ - 4 x + 3 y = 15 \end{cases}$

był układem sprzecznym.

Z twierdzenia zamieszczonego w materiale wiemy, że układ będzie sprzeczny, gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 (1)$ i gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków:

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0 (2)$ lub $a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} \neq 0 (3)$ .

W tym układzie równań mamy:

$a_{1} = a - 1$

$b_{1} = 12$

$c_{1} = 25$

$a_{2} = - 4$

$b_{2} = 3$

$c_{2} = 15$

Z warunku $(1)$ możemy zapisać równanie:

$3 \cdot (a - 1) + 12 \cdot 4 = 0$

$3 a - 3 + 48 = 0$

$3 a = - 45 | : 3$

$a = - 15$

Sprawdzamy jeszcze czy zachodzi warunek $(2)$ .

$25 \cdot 3 - 12 \cdot 15 = 75 - 180 \neq 0$

Warunek $(2)$ jest spełniony, a zatem układ równań jest sprzeczny dla $a = - 15$ .

Przykład 13

Do równania $- 3 x + 5 y = 10$ dopiszmy drugie, tak aby tworzyły razem sprzeczny układ równańsprzeczny układ równańsprzeczny układ równań.

Oczywiście zadanie takie posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Najprostszym z nich jest dopisanie oczywistej sprzeczności, np.: $- 3 x + 5 y = 2$ , czy $- 3 x + 5 y = - 6$ .

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają postać:

$\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 3 x + 5 y = 2 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 3 x + 5 y = - 6 \end{cases}$ .

Możemy też pomnożyć prawą stronę równania $- 3 x + 5 y = 10$ przez liczbę inną, niż lewą stronę tego równania. Otrzymamy wtedy np.: $- 6 x + 10 y = - 10$ lub $3 x - 5 y = 20$ .

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają postać:

$\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 6 x + 10 y = - 10 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ 3 x - 5 y = 20 \end{cases}$ .

(Sprawdź, czy układy są sprzeczne.)

Infografika

Zapoznaj się z poniższą planszą, a następnie wykonaj polecenia zawarte pod nią.

Rrj0ujn2hkMDI

Ilustracja przedstawia układ równań z dwiema niewiadomymi, równanie to ma postać: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec równania, koniec układu równań. Przy czym x i y znajdujące się w obu równaniach to niewiadome, natomiast a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego to współczynniki przy niewiadomej x, z kolei b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego to współczynniki przy niewiadomej y. Wyrazy wolne to c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Następnie przedstawione zostały rodzaje układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Jako pierwszy przedstawiono układ oznaczony.Wykresy równań a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden oraz a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa przecinają się w jednym punkcie.
Punkt przecięcia wykresów należy do zbioru rozwiązań każdego z równań – jest rozwiązaniem układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec równania, koniec układu równań. Graficzna interpretacja układu równań wygląda następująco: na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowane zostały dwie proste opisane równaniami: pierwsza a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i druga a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Proste przecinają się w jednym punkcie, który został zaznaczony zamalowaną kropką i podpisany literą A. Pod grafiką znajduje się napis: Jedno rozwiązanie postaci nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, y indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, koniec równania, koniec układu równań. Drugi rodzaj układu to układ nieoznaczony. Wykresy równań a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden oraz a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa pokrywają się.
Współrzędne każdego punktu leżącego na prostej są rozwiązaniem układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec równania, koniec układu równań. Graficzna interpretacja układu równań wygląda następująco: na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowane zostały dwie proste opisane równaniami: pierwsza a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i druga a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Proste pokrywają się. Pod grafiką znajduje się napis: Nieskończenie wiele rozwiązań postaci: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, średnik, x, należy do, liczby rzeczywiste, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, początek ułamka, minus, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, koniec równania, trzecie równanie, równa się, początek ułamka, minus, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, koniec równania, koniec układu równań. Trzeci rodzaj układu to układ sprzeczny. Wykresy równań a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden oraz a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa nie mają punktów wspólnych.
Układ równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, x, plus, b indeks dolny, jeden, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, dwa, x, plus, b indeks dolny, dwa, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec równania, koniec układu równań nie posiada rozwiązania. >. Graficzna interpretacja układu równań wygląda następująco: na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowane zostały dwie proste opisane równaniami: pierwsza a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i druga a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, x, plus, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, y, równa się, c indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Proste są do siebie równoległe i nie przecinają się w żadnym punkcie. Pod grafiką znajduje się napis: Brak rozwiązań.

Polecenie 1

Rysunek przedstawia interpretacje geometryczne trzech różnych układów równań.

RslTco9iTBXGs

R1RKg7xJ0PHTC

R9bPr1eVnK1GA

Pierwsza ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste o równaniach minus, trzy x, plus, y, równa się, pięć oraz x, minus, dwa y, równa się, zero. Proste przecinają się w jednym punkcie. Opisana ilustracja przedstawia 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony, którego rozwiązanie to 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony.
Druga ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste o równaniach trzy x, minus, y, równa się, minus, dwa oraz trzy x, minus, y, równa się, jeden. Proste są do siebie równoległe. Opisana ilustracja przedstawia 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony, którego rozwiązanie to 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony.
Trzecia ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do czterech i pionową osią y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste o równaniach dwa x, plus, y, równa się, trzy oraz cztery x, plus, dwa y, równa się, sześć. Proste nakładają się na siebie. Opisana ilustracja przedstawia 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony, którego rozwiązanie to 1. układ sprzeczny, 2. układ nieoznaczony, 3. nieskończenie wiele rozwiązań- pary postaci nawias, x, przecinek, minus, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. brak rozwiązań, 6. układ oznaczony.

Polecenie 2

Przedstaw interpretację graficzną układu równań liniowych $\{\begin{cases} - 3 x + y = - 3 \\ x + \frac{1}{2} y = 1 \end{cases}$ .

Odczytaj z rysunku rozwiązanie tego układu. Sprawdź poprawność wyniku.

$- 3 x + y = - 3$ i $x + \frac{1}{2} y = 1$

$y = 3 x - 3$ i $\frac{1}{2} y = - x + 1$

$y = 3 x - 3$ i $y = - 2 x + 2$

R1E2RPPRNVZ6J

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa wykresy funkcji liniowej. Pierwsza o wzorze y, równa się, minus, dwa x, plus, dwa, mająca miejsce zerowe w punkcie jeden oraz przecinająca się z osią y w punkcie dwa. Drugi wykres funkcji liniowej wyrażony został wzorem y, równa się, minus, trzy x, minus, trzy. Posiada miejsce zerowe w punkcie jeden oraz przecina się z osią y w punkcie minus trzy. Wykresy przecinają się w punkcie zero jeden.

$\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$

Sprawdzenie:

$L_{1} = - 3 x + y = - 3 \cdot 1 + 0 = - 3 = P_{1}$

$L_{2} = x + \frac{1}{2} y = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 1 = P_{2}$

Odczytana z wykresu para liczb jest rozwiązaniem układu równań.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rsi7PyVE78r5N

RFIL90L1C3ivL

Ćwiczenie 2

RTBt49rthxfAA

Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

RblSIDS1WkyBW

Ćwiczenie 3

R1PZUUFN8PRT3

RFMZSO5AA88QF

R1V8J8NAKH5CL1

Ćwiczenie 4

R6QP3NXNGF3CN2

Ćwiczenie 5

R1N4X9ABQ9O862

Ćwiczenie 6

R84KEP7J3P3SZ2

Ćwiczenie 7

R18A63R74R2ZV3

Ćwiczenie 8

R1HAENDX1PVOB1

Ćwiczenie 9

R11HSCHSNQ1SU1

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Wskaż układ równań, którego interpretacja jest przedstawiona na rysunku.

R2ZXH5PFZPEDQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą rosnącą. Prosta przecina oś rzędnych w punkcie minus dwa.

RB8LOAGLZLFC1

Ćwiczenie 12

R1AQ5VUEL3FH5

R154PJ1F738BZ

R231NE9GLDHEH21

Ćwiczenie 13

R1OCPOQ8VGHFA1

Ćwiczenie 14

RBMSUBFR5HGOB1

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

REDGATACPXJMO

Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

RJH414B3AL6V1

Ćwiczenie 17

Zapisz układ równań, którego interpretacja jest przedstawiona na rysunku.

RNNZGZOQBBSMJ

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne równoległe proste. Biegnąca z lewej strony prosta przechodzi przez wyróżnione punkty: nawias, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Biegnąca z prawej strony prosta biegnie przez następujące wyróżnione punkty: nawias, minus, dwa, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

$\{\begin{cases} - 2 x + y = 2 \\ - 2 x + y = - 1 \end{cases}$

Ćwiczenie 18

Przyciągnij w wyznaczone miejsce pod rysunkiem układ równań, którego interpretacja jest przedstawiona na wykresie.

R1712SH7HV7B2

Na układzie równań zaznaczono dwa wykresy funkcji liniowej. Jeden mający miejsce zerowe w punkcie dwa, a drugi mający przecięcie z osią y w punkcie pięć. Wykresy przecinają się w pierwszej ćwiartce w punkcie cztery przecinek cztery.

R1L9QKSJS9GG4

Ćwiczenie 19

RF2L6KMX5HUEU

RPEGM6VNDLGQQ

Połącz w pary oznaczony układ równań z jego opisem interpretacji graficznej. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, y, równa się, cztery, koniec równania, drugie równanie, minus, x, plus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, dwa y, równa się, cztery, koniec równania, drugie równanie, x, minus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, x, minus, dwa y, równa się, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, y, równa się, minus, cztery, koniec równania, drugie równanie, minus, x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia.

Ćwiczenie 20

Oblicz dla jakiego parametru $m$ , układ równań $\{\begin{cases} 6 x + (2 m - 5) y = 5 \\ - 3 x + 4 y = 10 \end{cases}$ jest sprzeczny.

Z $(1)$ :

$6 \cdot 4 - (- 3) (2 m - 5) = 0$

$24 + 3 \cdot (2 m - 5) = 0$

$24 + 6 m - 15 = 0$

$6 m = - 9$

$m = - 1, 5$

Sprawdzenie: z $(2)$ :

$5 \cdot 4 - (10) (2 \cdot (- 1, 5) - 5) = 20 + 8 \cdot 10 \neq 0$ .

(Warunek $(2)$ zachodzi.)

$m = - 1, 5$ .

R1DTFJXCE1KG52

Ćwiczenie 20

R8E7NNLUJJ74B1

Ćwiczenie 21

R18ES84PAGJMS2

Ćwiczenie 22

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

to każda para liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

oznaczony układ równań (układ równań niezależnych)

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań

sprzeczny układ równań

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania

2. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jego rozwiązanie

Układ równań liniowych