1. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda graficzna - Rozwiązywanie układów równań liniowych

R1XU2SE3CE5BJ

1. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda graficzna

Na rysunku obok przedstawiono zbiór płaszczyzn, będący ilustracją graficzną układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

RG7KVT45VF8GB1

Ilustracja przedstawia sześcian, którego ściany są przeźroczyste. Wewnątrz sześcianu umieszczone zostały trzy płaszczyzny, zostały one umieszczone pod różnymi kątami.

W tym materiale zajmiemy się najprostrzym układem równań – układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Interpretacją geometryczną układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi są dwie proste. Dzięki niej możemy graficznie rozwiązać układ równań. Ta metoda, choć nie zawsze dokładna, często pomaga nam radzić sobie nie tylko z matematycznymi problemami.

Twoje cele

Przedstawisz graficzną ilustrację układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Określisz liczbę rozwiązań układu równań na podstawie jego ilustracji graficznej.
Odczytasz rozwiązanie układu równań liniowych na podstawie jego interpretacji geometrycznej.
Potrafisz rozpoznać problemy prowadzące do wykorzystania interpretacji geometrycznej układów równań liniowych.

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Aby rozwiązać graficznie układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi należy narysować obie proste i odczytać współrzędne ich punktów wspólnych (o ile istnieją).

Przykład 1

Korzystając z metody graficznej, znajdziemy rozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równańrozwiązanie układu równań $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ - 4 x = - 9 + y \end{cases}$ .

Przekształcamy każde z równań do postaci kierunkowej.

$2 x + y = 5$ oraz $- 4 x = - 9 + y$

$y = - 2 x + 5$ oraz $y = - 4 x + 9$

Aby wyznaczyć współrzędne punktów, przez które przechodzą proste będące wykresami równań, możemy skorzystać z tabelek.

$x$	$0$	$1$
$y = - 2 x + 5$	$5$	$3$

oraz

$x$	$0$	$1$
$y = - 4 x + 9$	$9$	$5$

Rysujemy wykresy równań i odczytujemy współrzędne punktu ich przecięcia.

R1EE9BHSESMQ9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nich dwie proste. Pierwsza o wzorze dwa x, plus, y, równa się, pięć. Druga o wzorze minus, cztery x, równa się, minus, dziewięć, plus, y. Wykresy funkcji liniowej przecinają się w punkcie nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Ważne!

Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, to para liczb będąca rozwiązaniem układu równań opisujących te proste.

Przykład 2

Znajdziemy współrzędne wierzchołków trójkąta, o którym wiadomo, że jego ramiona zawierają się w prostych:

$k : y - 2 = 0$ ,

$l : - x + 2 y = 0$ ,

$m : - 3 x + 2 y = 4$ .

Rysujemy wykresy tych równań w jednym układzie współrzędnych.

R9GPF1L796O8U

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim trzy proste. Prosta m wyrażona wzorem minus, trzy x, plus, dwa y, równa się, cztery. Prosta k wyrażona wzorem y, minus, dwa, równa się, zero. Oraz prosta l wyrażona wzorem minus, x, plus, dwa y, równa się, zero. Proste m oraz k przecinają się w punkcie nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu. Proste k oraz l przecinają się w punkcie nawias, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu. Proste m oraz l przecinają się w punkcie nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

Na rysunku widzimy, że proste parami się przecinają, tworząc trójkąt. Współrzędne punktów przecięcia prostych $A$ , $B$ oraz $C$ , to odpowiednio rozwiązania układów równań:

współrzędne punktu $A$ – rozwiązanie układu $\{\begin{cases} - x + 2 y = 0 \\ - 3 x + 2 y = 4 \end{cases}$ ,

współrzędne punktu $B$ – rozwiązanie układu $\{\begin{cases} - x + 2 y = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$ ,

współrzędne punktu $C$ – rozwiązanie układu $\{\begin{cases} y - 2 = 0 \\ - 3 x + 2 y = 4 \end{cases}$ .

R16ZQPXQPZJNM

Odczytujemy z wykresu współrzędne punktów $A$ , $B$ oraz $C$ .

RFO6UAOZSLFGA

A zatem współrzędne wierzchołków trójkąta to $A = (- 2, - 1)$ , $B = (4, 2)$ oraz $C = (0, 2)$ .

Przykład 3

Interpretacja graficzna pomaga nam przy rozwiązywaniu problemów praktycznych.

Kasia wyszła rano na spacer. Szła z prędkością $4 \frac{km}{h}$ . Godzinę później Magda, tą samą trasą, pobiegła z prędkością $8 \frac{km}{h}$ . Po jakim czasie od wyjścia Kasi, dziewczynki się spotkają?

Możemy narysować sytuację opisaną w zadaniu na wykresie. Na osi odciętych zaznaczamy czas $[t]$ , na osi rzędnych – pokonaną drogę $[s]$ .

RMJ1PKVMP9ATJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Na osi odciętych zaznaczono czas wyrażony w godzinach, a na osi rzędnych pokonaną drogę wyrażoną w kilometrach. Droga pokonana przez kasie została wyrażona prostą liniową mającą miejsce zerowe w punkcie nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu oraz przechodzi przez punkt nawias, jeden przecinek cztery, zamknięcie nawiasu. Droga pokonana przez Magdę ma miejsce zerowe równe 1. Proste przecinają się w punkcie nawias, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu

Korzystając z interpretacji geometrycznej możemy odczytać, że dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od początku spaceru Kasi. Widzimy również, że pokonają w tym czasie $8 km$ .

Możemy też, korzystając ze wzoru na prędkość $v = \frac{s}{t}$ , zapisać równania prostych, w których zawierają się powyższe wykresy.

R13TPBB8ZXZR8

Sprawdzimy jeszcze, czy prawidłowo odczytaliśmy rozwiązanie układu.

$4 t = 8 \cdot (t - 1) | : 4$

$t = 2 t - 2$

$t = 2$

$s = 4 t = 8$

A zatem dziewczynki spotkają się po dwóch godzinach od wyjścia Kasi na spacer i pokonają w tym czasie $8$ kilometrów.

Przykład 4

Wyznaczymy parametry $m$ oraz $n$ , dla których układ równańukład równańukład równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest układem:

a) oznaczonym,

b) nieoznaczonym,

c) sprzecznym.

Do rozwiązania zadania wykorzystamy interpretację geometryczną układu równań.

Równanie $x + 2 y = 6$ zapisujemy w innej postaci i rysujemy jego wykres.

$x + 2 y = 6$

$2 y = - x + 6 | : 2$

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

R1NNF76X2CSJU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na niej prostą o wzorze y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy Funkcja przecina oś rzędnych w punkcie 3 oraz oś odciętych w punkcie 6.

Drugie równanie również przekształcamy.

$m x + y = n$

$y = - m x + n$

Aby układ był oznaczony, prosta $y = - m x + n$ musi mieć punkt wspólny z prostą $y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

Przykłady takich prostych przedstawiono na rysunku.

R139AKPD89TU6

A zatem proste $y = - \frac{1}{2} x + 3$ oraz $y = - m x + n$ nie mogą być równoległe, więc ich współczynniki kierunkowe nie mogą być równe.

$- m \neq - \frac{1}{2}$

$m \neq \frac{1}{2}$

Współczynnik $n$ może być dowolny, ponieważ prosta $y = - m x + n$ może przeciąć oś $Y$ w dowolnym punkcie.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest oznaczony dla $\{\begin{cases} m \neq - \frac{1}{2} \\ n \in ℝ \end{cases}$ .

Aby układ był nieoznaczony, prosta $y = - m x + n$ musi mieć nieskończenie wiele punktów wspólnych z prostą $y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

R1ZP9SNFJ1MS2

Proste te muszą się pokrywać, a więc współczynniki muszą być sobie odpowiednio równe.

A zatem układ równańukład równańukład równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest nieoznaczony dla $\{\begin{cases} m = - \frac{1}{2} \\ n = 3 \end{cases}$ .

Aby układ był sprzeczny, prosta $y = - m x + n$ nie może mieć żadnego punktu wspólnego z prostą $y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

R5R1RHOBKS7DR

Proste te muszą być równoległe i nie mogą mieć punktów wspólnych, a więc współczynniki kierunkowe muszą być takie same, ale wyrazy wolne muszą się różnić.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} x + 2 y = 6 \\ m x + y = n \end{cases}$ jest sprzeczny dla $\{\begin{cases} m = - \frac{1}{2} \\ n \neq 3 \end{cases}$ .

Animacja multimedialna

Przeanalizuj animację, a następnie wykonaj polecenie zamieszczone pod nią.

R18NMOQEKPLJ6

Polecenie 1

Rozwiąż graficznie układ równań $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 8 \\ 2 \cdot (x - 3) + y = y - 2 \end{cases}$ .

$\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 8 \\ 2 \cdot (x - 3) + y = y - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} 2 y = - 3 x + 8 \\ 2 x - 6 = - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - \frac{3}{2} x + 4 \\ x = 2 \end{cases}$

R3HPDDSQJZHRM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste. Pionową o wzorze x, równa się, dwa oraz drugą y, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, cztery. Przecinają się w punkcie nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R12BAJhICwqVS

R15Z7HFN6xoNC

Ćwiczenie 2

Na rysunku jest przedstawiona rozwiązanie graficzne układu równań liniowych.

R19D63H2AfoHF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa wykresy funkcji liniowej. Przecinają się w punkcie dwa i jeden. Jeden z nich ma miejsce zerowe równe pięć.

R2MSGSC5JXG9D

Ćwiczenie 3

Rozwiąż metodą graficzną układ równań:

Wyznacz równania prostych w postaci kierunkowej odpowiadające każdemu z równań. Opisz ich wykresy w układzie współrzędnych.

$\{\begin{cases} y + 3 x = 1 \\ y + x = - 1 \end{cases}$ .

Rysujemy w układzie współrzędnych proste: $y = - 3 x + 1$ oraz $y = - x - 1$ .

Szukane proste mają równania postaci: $y = - 3 x + 1$ oraz $y = - x - 1$ . Zauważmy, że dwie proste nie są do siebie równoległe, a więc będą się przecinać w jednym punkcie. Aby go wyznaczyć można rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników lub metodą podstawiania. Zatem $x = 1$ oraz $y = - 2$ .

R1QegMsBp6Qn7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 3 do czterech oraz osią poziomą od minus 3 do czterech. Zaznaczono dwie proste malejące. przecinające się w punkcie P w czwartej ćwiartce układu.

Proste przecinają się w punkcie $(1, - 2)$ .

R1czzurudsqLE1

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Zapisz układy równań, których rozwiązania graficzne są przedstawione na rysunkach:

RSgbRy0r7dD76

Ilustracja przedstawia trzy układy współrzędnych z pionową osią od minus 2 do czterech oraz poziomą osią od minus 3 do trzech. Układ a. zaznaczono dwie proste przecinające się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Układ b. zaznaczono dwie proste. Jedna z nich jest stała. Przecinające się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Układ c. zaznaczono dwie proste przecinające się na osi Y w punkcie jeden.

a) $\{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} \\ y = - x \end{cases}$
b) $\{\begin{cases} y = 3 x - 7 \\ y = 2 \end{cases}$
c) $\{\begin{cases} y = 3 x + 1 \\ y = - 2 x + 1 \end{cases}$

Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R1JFJA1AF1MZT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery proste, które przecinając się, tworzą na płaszczyźnie czworokąt. Proste te są następujące: pierwsza x dodać 2 równa się 0, druga minus x dodać 4 y równa się 10, trzecia 5 x odjąć 2 y równa się 22 oraz czwarta x odjąć 3 y równa się siedem. Punkty przecięcia prostych tworzące czworokąt mają następujące współrzędne: nawias minus 2 średnik 2 zamknięcie nawiasu oraz nawias minus 2 średnik minus 3 zamknięcie nawiasu oraz nawias 4 średnik minus 1 zamknięcie nawiasu oraz nawias 6 średnik 4 zamknięcie nawiasu.

R1NPP6T6G6PDU

R11E3H4BCV92Q2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Boki czworokąta zawierają się w prostych $k : x + 3 y = 9$ , $l : 2 x - 3 y = - 9$ , $m : x - 2 y = 4$ , $n : x + y = - 2$ . Korzystając z graficznej metody rozwiązywania układów równań, wyznacz współrzędne wierzchołków tego czworokąta.

$(0, 3)$ , $(6, 1)$ , $(- 3, 1)$ , $(0, - 2)$ .

Ćwiczenie 9

Wyznacz wartości parametrów $m$ oraz $n$ , wiedząc, że układ równań przedstawiony na rysunku jest sprzeczny.

R1BRPETDDQC58

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwie proste równoległe. Wyrażone wzorem. x, plus, trzy y, równa się, trzy przecinek x, minus, nawias m, minus, jeden zamknięcie nawiasu y, równa się, pięć nawias dwa n, plus, sześć zamknięcie nawiasu, gdzie m jest różne od minus jeden.

Pierwsze równanie:

$x + 3 y = 3$

$3 y = - x + 3$

$y = - \frac{1}{3} x + 1$

Drugie równanie:

$x - (m - 1) y = 5 \cdot (2 n + 6)$ , $m \neq 1$

$- (m - 1) y = - x + 5 \cdot (2 n + 6) | : [- (m - 1)]$

$y = \frac{1}{m - 1} x - \frac{10 n + 30}{m - 1}$

$\frac{1}{m - 1} = - \frac{1}{3}$ oraz $- \frac{10 n + 30}{m - 1} \neq 1$

$m = - 2$ oraz $- \frac{10 n + 30}{- 2 - 1} \neq 1$

$m = - 2$ oraz $n \neq - 2, 7$

$m = - 2 \land n \neq - 2, 7$ .

Słownik

koniunkcja

zdanie złożone postaci „ $p \land q$ ” (czytamy: $p$ i $q$ ); iloczyn logiczny; część wspólna

układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

rozwiązanie układu równań

układ liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

układ równań oznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

układ równań nieoznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb

układ równań sprzeczny

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań

2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania

Rozwiązywanie układów równań liniowych