2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania - Rozwiązywanie układów równań liniowych

RS6GAJCPQ68JZ

2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania

Pierwsze układy równań rozwiązywali już kilka tysięcy lat temu matematycy żyjący w starożytnym Babilonie. Na znalezionych glinianych tabliczkach, archeolodzy odkryli układy równań zapisane pismem klinowym. Nie przypominają używanych przez nas symboli matematycznych, jednak metody ich rozwiązywania, używane przez starożytnych Babilończyków, są bardzo zbliżone do tych, które stosujemy obecnie.

Twoje cele

Przekształcisz równoważnie układ równań tak, aby otrzymać układ równań postaci
$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} . \end{cases}$
Wyznaczysz jedną z niewiadomych z dowolnego równania składowego.
Rozwiążesz układ równań liniowych metodą podstawiania.

Aby rozwiązać układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi możemy skorzystać z kilku metod. Możemy zastosować metodę graficzną lub algebraiczną. Bardzo często stosujemy algebraiczną metodę polegającą na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z jednego z równań tego układu i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego równania w miejsce wyznaczonej niewiadomej.

Taką metodę nazywamy metodą podstawiania.

równoważne układy równań

Definicja: równoważne układy równań

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

równoważny układ równań

Twierdzenie: równoważny układ równań

Jeśli z jednego układu równań wyznaczymy jedną niewiadomą i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważnyrównoważny danemu.

Ważne!

Rozwiazywanie układów równań metodą podstawianiametoda podstawianiametodą podstawiania polega na:

wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania,
podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej,
rozwiązaniu otrzymanego równania z jedną niewiadomą,
podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do pierwszego równania.

Przed rozwiązaniem równania, warto zastanowić się, którą z niewiadomych wyznaczyć. Ma to wpływ na stopień trudności rozwiązywanego równania z jedną niewiadomą.

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań liniowychukład równań liniowych metodą postawiania.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ x + 2 y = 0 \end{cases}$

Rozwiązanie

Wybieramy niewiadomą, którą możemy najłatwiej wyznaczyć. W tym układzie równań taką niewiadomą jest $x$ w drugim równaniu.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} 2 (- 2 y) + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 4 y + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \cdot 1 \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań. (Sprawdź)

Przykład 2

Rozwiążemy metodą podstawiania układ równań

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z drugiego równania.

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 \cdot (- 2 x + 4) = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 3 x - 4 x + 8 = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 7 x = - 3 | : (- 7) \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $x$ podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{7} \\ y = - 2 \cdot \frac{3}{7} + 4 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{7} \\ y = \frac{22}{7} \end{cases}$ .

Przykład 3

Dany jest układ równań $\{\begin{cases} x - 2 y = 10 \\ 5 x + y = 6 \end{cases}$ .

Rozwiążemy ten układ stosując metodę podstawiania.

Wyznaczamy niewiadomą $x$ z pierwszego równania.
(Moglibyśmy też wyznaczyć $y$ z drugiego równania. Spróbuj samodzielnie rozwiązać układ w ten sposób).

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 5 x + y = 6 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 5 \cdot (2 y + 10) + y = 6 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 10 y + 50 + y = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 11 y = - 44 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ y = - 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x = 2 \cdot (- 4) + 10 \\ y = - 4 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 4 \end{cases}$ .

Przykład 4

Korzystając z metody postawiania, rozwiążemy układ równań liniowych.

$\{\begin{cases} - 15 x + 3 y = 21 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Wybieramy niewiadomą, którą możemy najłatwiej wyznaczyć. W tym układzie nie ma niewiadomej, którą możemy wyznaczyć wykonując jedno przekształcenie. Łatwo jednak zauważyć, że w pierwszym równaniu wszystkie współczynniki są podzielne przez $3$ , a zatem możemy z tego równania wyznaczyć niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} 3 y = 15 x + 21 ∣ : 3 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 2 (5 x + 7) + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 10 x - 14 + 5 x = - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 5 x = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $x$ podstawiamy do pierwszego równania.

$\{\begin{cases} y = 5 \cdot (- 2) + 7 \\ x = - 2 \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań.

Przykład 5

Zauważmy, że układ równań liniowych z Przykładu 2 możemy rozwiązać metodą podstawienia wykorzystując inne podstawienie.

$\{\begin{cases} - 15 x + 3 y = 21 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Dzielimy obie strony pierwszego równania przez $3$ .

$\{\begin{matrix} - 15 x + 3 y = 21 ∣ : 3 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} - 5 x + y = 7 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Możemy zauważyć, że w każdym z równań występuje wyrażenie $5 x$ . A zatem wyznaczamy to właśnie wyrażenie np. z drugiego równania.

$\{\begin{matrix} - 5 x + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{matrix}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce wyrażenia $5 x$ .

$\{\begin{cases} - (2 y - 4) + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 2 y + 4 + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = 3 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $x$ .

$\{\begin{matrix} y = - 3 \\ 5 x = 2 \cdot (- 3) - 4 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ 5 x = - 10 ∣ : 5 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań.

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ x = - 2 \end{cases}$

Przykład 6

Rozwiążemy kolejny układ równań liniowych.

$\{\begin{cases} \frac{x + 3 y}{2} - \frac{2 x - y}{3} = 2 \\ 4 (x - 2) + 5 (2 - y) = 7 x \end{cases}$

Rozwiązanie

Aby móc zastosować metodę podstawiania, musimy doprowadzić układ równań do najprostszej postaci. Możemy w tym celu pomnożyć obie strony pierwszego równania przez $6$ (wspólny mianownik ułamków występujących w równaniu).

$\{\begin{cases} 3 (x + 3 y) - 2 (2 x - y) = 2 \cdot 6 \\ 4 (x - 2) + 5 (2 - y) = 7 x \end{cases}$

Teraz w każdym z równań usuwamy nawiasy, redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy układ.

$\{\begin{cases} 3 x + 9 y - 4 x + 2 y = 12 \\ 4 x - 8 + 10 - 5 y = 7 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} - x + 11 y = 12 \\ - 3 x - 5 y = - 2 \end{cases}$

Możemy teraz zastosować metodę postawiania, wyznaczając z pierwszego równania niewiadomą $x$ .

$\{\begin{cases} - x + 11 y = 12 \\ - 3 x - 5 y = - 2 \end{cases}$

$\{\begin{matrix} x = 11 y - 12 \\ - 3 (11 y - 12) - 5 y = - 2 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 11 y - 12 \\ - 33 y + 36 - 5 y = - 2 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} x = 11 y - 12 \\ - 38 y = - 38 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 11 y - 12 \\ y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$ , będącą rozwiązaniem tego układu równań.

Przykład 7

Rozwiążemy układ równań.

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} y = 10 \sqrt{2} \\ \sqrt{2} x + y = 7 \end{cases}$

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę podstawiania. Wyznaczymy $y$ z drugiego równania i otrzymane wyrażenie podstawimy do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} y = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} (7 - \sqrt{2} x) = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 21 \sqrt{2} - 6 x = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} (\sqrt{3} - 6) x = - 11 \sqrt{2} ∣ : (\sqrt{3} - 6) \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{array}{r} x = \frac{- 11 \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 6} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{array}$

Usuwamy niewymierność z mianownika w otrzymanym rozwiązaniu.

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{(\sqrt{3} - 6) (\sqrt{3} + 6)} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{3 - 36} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{- 33} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \frac{2 \sqrt{3} + 12}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{3} \end{cases}$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb niewymiernych $\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{3} \end{cases}$ .

Przykład 8

Rozwiążemy układ równań.

$\{\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Tym razem zastosujemy najpierw podstawienie $\{\begin{cases} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{cases}$ i otrzymamy układ równań

$\{\begin{cases} 2 a + b = 5 \\ 3 a - 2 b = 4 \end{cases}$ .

Stosujemy teraz metodę podstawiania: wyznaczamy $b$ z pierwszego równania i postawiamy otrzymaną wartość do drugiego równania. Następnie rozwiązujemy układ równań liniowych z niewiadomymi $a$ i $b$ .

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 3 a - 2 (5 - 2 a) = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 3 a - 10 + 4 a = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 7 a = 14 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ a = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 1 \\ a = 2 \end{cases}$

A więc wracając do początkowego podstawienia otrzymujemy:

$a = \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ oraz $b = \frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 1 \end{cases}$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z przykładami zastosowania metody podstawiania do rozwiązywania układów równań przedstawionymi w animacji. Następnie wykonaj samodzielnie polecenie poniżej animacji.

R1Z5171TGG7H8

Polecenie 1

Rozwiąż układ równań $\{\begin{cases} 3 x + 5 y = - 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$ .

Wybierz takie podstawianie, aby otrzymać najprostszą postać równania z jedną niewiadomą.

$\{\begin{cases} 3 x + 5 y = - 10 \\ x = y + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 0 \\ y = - 2 \end{cases}$ .

Zapoznaj się z kolejnymi przykładami zastosowania metody podstawiania do rozwiązywania układów równań.

R1HLSPDN56EDO

Polecenie 2

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 y = 4 \sqrt{6} \\ \frac{x}{\sqrt{3}} + \sqrt{2} y = \frac{6 + \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \sqrt{2} \\ y = \sqrt{6} \end{cases}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R2ZC2TE15ZSEQ1

Ćwiczenie 1

R14919UFQ3FZR1

Ćwiczenie 2

RL8BONTF4RCKD2

Ćwiczenie 3

Ułóż karteczki z układami równań, ilustrujące rozwiązanie układu nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, dwanaście y, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, siedem x, minus, dwa y, równa się, minus, trzy, koniec równania, koniec układu równań w odpowiedniej kolejności. Elementy do uszeregowania: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, sześćdziesiąt x, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, zero przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, sześć przecinek pięć, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, zero przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem, razy, zero przecinek pięć, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, sześć, razy, nawias, siedem x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, dwanaście y, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, sześć, razy, nawias, dwa y, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, zero przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, trzy przecinek dwa pięć, koniec równania, koniec układu równań, 8. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, czterdzieści dwa x, plus, osiemnaście, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań

R47XMQC9KR44T1

Ćwiczenie 4

R5AZ5OKGKMR9A1

Ćwiczenie 5

R9NH1PO8TBUF52

Ćwiczenie 6

R1XL8XNGDUOT32

Ćwiczenie 7

R1O8ES15M3OSB1

Ćwiczenie 8

R83X5TEXTX5AH2

Ćwiczenie 9

Połącz w pary równoważne układy równań. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, minus, dwa y, równa się, osiem, koniec równania, drugie równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, drugie równanie, trzy x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, zero przecinek pięć x, plus, trzy przecinek pięć y, równa się, dwa przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwanaście, minus, x, minus, y, równa się, zero, koniec równania, drugie równanie, zero, równa się, dziesięć, plus, dwa x, plus, y, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań

R9EJHPV3F67RU2

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Na wykresie przedstawiono ilustrację graficzną układu równań. Korzystając z metody podstawiania, znajdź współrzędne punktu przecięcia się prostych.

R1Q6BB38MTCLG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do siedmiu i z pionową osią Y od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji będące ukośnymi prostymi przecinającymi się w jednym punkcie leżącym w pierwszej ćwiartce. Wykresy tych funkcji to cztery x, minus, dwa y, równa się, osiem oraz trzy x, plus, y, równa się, siedem.

$\{\begin{cases} 3 x + y = 7 \\ 4 x - 2 y = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 4 x - 2 \cdot (7 - 3 x) = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 4 x - 14 + 6 x = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 10 x = 22 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ x = 2 \frac{1}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \frac{1}{5} \\ y = 7 - 3 \cdot 2 \frac{1}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \frac{1}{5} \\ y = \frac{2}{5} \end{cases}$

Współrzędne punktu przecięcia prostych: $(2 \frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ .

Ćwiczenie 12

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania $\{\begin{cases} 4 x - 2 y = 12 \\ 1, 5 y + 2 x = 1 \end{cases}$ .

Zauważ, że współczynniki przy niewiadomych i wyraz wolny w pierwszym równaniu są liczbami parzystymi. Podziel równanie przez 2 i wyznacz niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} 4 x - 2 y = 12 | : 2 \\ 1, 5 y + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - y = 6 \\ 1, 5 y + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x - 6 \\ 1, 5 \cdot (2 x - 6) + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x - 6 \\ 3 x - 9 + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x - 6 \\ x = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 \cdot 2 - 6 \\ x = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 2 \end{cases}$ .

Ćwiczenie 13

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania $\{\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = - 11 \\ \frac{2}{x} - \frac{10}{y} = 6 \end{cases}$ .

Zastosuj podstawienie: $\{\begin{cases} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{cases}$ . Ułatwi to w znaczący sposób rozwiązywanie układu.

$\{\begin{cases} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 a + 3 b = - 11 \\ 2 a - 10 b = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 a + 3 b = - 11 \\ 2 a = 6 + 10 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 a + 3 b = - 11 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 (3 + 5 b) + 3 b = - 11 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} 12 + 20 b + 3 b = - 11 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = - 1 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = - 1 \\ a = 3 + 5 \cdot (- 1) \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} b = - 1 \\ a = - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} \frac{1}{y} = - 1 \\ \frac{1}{x} = - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = - 1 \end{cases}$

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

równoważne układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań

metoda podstawiania

metoda polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej

1. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda graficzna

3. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda przeciwnych współczynników