2. Układy równań liniowych - zadania o liczbach - Zastosowanie układów równań liniowych

R1UJMHVRXQUNN

2. Układy równań liniowych - zadania o liczbach

Jak znaleźć dwie liczby, gdy znasz ich sumę i różnicę? Jaka liczba dwucyfrowa o sumie cyfr równej $6$ jest o $18$ większa od liczby powstałej przez zamianę kolejności jej cyfr? Na te i inne podobne pytania zapewne bez problemu odpowiesz, po zapoznaniu się z tym materiałem. Dowiesz się, jak zapisać podane informacje o liczbach w postaci układu równań liniowych.

Twoje cele

Skorzystasz z własności dziesiątkowego systemu liczbowego.
Zapiszesz zależności pomiędzy liczbami w postaci układu równań liniowych.
Zapiszesz zależności pomiędzy liczbą a jej cyframi w postaci układu równań liniowych.
Rozwiążesz zadania o liczbach, prowadzące do układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Czy wiesz, co oznacza zapis $357$ ? Odpowiesz na pewno, że oznacza liczbę trzysta pięćdziesiąt siedem. Odpowiesz tak dlatego, że na co dzień posługujesz się systemem dziesiętnym. To znaczy, że zapis $357$ rozumiesz w następujący sposób:

357 = 3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7

Przypomnij sobie definicję dziesiętnego systemu liczbowego.

Dziesiętny system liczbowy

Definicja: Dziesiętny system liczbowy

Dziesiętny system liczbowy, to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba $10$ , a do zapisu liczb stosuje się $10$ cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ .
Każdą $n$ –cyfrową liczbę naturalną możemy jednoznacznie zapisać w systemie dziesiętnym jako

a_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + a_{n - 2} \cdot 10^{n - 2} + . . . + a_{2} \cdot 10^{2} + a_{1} \cdot 10 + a_{0}

gdzie:
$a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $. . .$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ , to cyfry ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ . Przy czym pierwsza cyfra (z lewej strony) tej liczby, czyli cyfra $a_{n - 1}$ nie może być zerem.

W szczególności każdą liczbę dwucyfrowąliczbę dwucyfrową można zapisać jako

10 x + y

gdzie:
$x$ i $y$ są cyframi; $x$ – nazywamy wtedy cyfrą dziesiątek (jest ona różna od zera), a $y$ – cyfrą jedności.

Podobnie, każdą liczbę trzycyfrowąliczbę trzycyfrową można zapisać jako

100 x + 10 y + z

gdzie:
$x$ – jest cyfrą setek (cyfra ta jest różna od zera), $y$ – cyfrą dziesiątek, a $z$ – cyfrą jedności.

Zobacz, jak wykorzystać znajomość systemu dziesiętnego do rozwiązywania zadań o liczbach naturalnych.

Przykład 1

Jaka liczba dwucyfrowaliczba dwucyfrowa o sumie cyfr równej $6$ jest o $18$ większa od liczby powstałej przez zamianę kolejności jej cyfr?

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności szukanej liczby. Szukana liczba ma wartość $10 x + y$ . Jeśli przestawisz jej cyfry, to $y$ stanie się cyfrą dziesiątek, a $x$ cyfrą jedności tak otrzymanej liczby. Będzie ona miała w takim razie wartość $10 y + x$ .

Zapiszmy zależności opisane w zadaniu w formie układu równań:

$\{\begin{cases} x + y = 6 \\ 10 x + y = 10 y + x + 18 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 6 \\ 9 x - 9 y = 18 | : 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań otrzymujemy $2 x = 8$ , a więc $x = 4$ , a stąd $y = 2$ .

Zatem szukaną liczbą jest liczba $42$ , która rzeczywiście jest większa o $18$ od liczby $24$ .

Przykład 2

W pewnej liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest dwa razy większa do cyfry jedności. Jeśli od cyfry dziesiątek odejmiemy cyfrę jedności, a od cyfry jedności odejmiemy dwa, to otrzymamy liczbę o połowę mniejszą. Jaka to liczba?

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności szukanej liczby. Szukana liczba ma wartość $10 x + y$ . Jeśli od cyfry dziesiątek odejmiesz cyfrę jedności, a od cyfry jedności odejmiesz $2$ , to otrzymasz liczbę $10 (x - y) + y - 2$ .

Zapiszmy zależności opisane w zadaniu w formie układu równań:

$\{\begin{cases} x = 2 y \\ 10 (x - y) + y - 2 = \frac{1}{2} (10 x + y) \end{cases}$

Zastosujmy metodę podstawiania do rozwiązania tego układu równań:

$\{\begin{cases} x = 2 y \\ 10 (2 y - y) + y - 2 = \frac{1}{2} (10 \cdot 2 y + y) \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y \\ 11 y - 2 = \frac{21 y}{2} | \cdot 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y \\ 22 y - 4 = 21 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 8 \\ y = 4 \end{cases}$

Odpowiedź:

Szukaną liczbą jest $84$ .

Nie wszystkie zadania o liczbach wykorzystują dziesiętny system liczbowypozycyjny dziesiętny system liczbowydziesiętny system liczbowy. Układy równań mogą pomóc w wyznaczaniu dwóch różnych liczb, które spełniają pewne warunki. Zapoznaj się z kolejnym przykładem.

Przykład 3

Znajdź dwie liczby, których suma jest równa $71$ , a różnica $19$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy pierwszą liczbę przez $x$ , a drugą przez $y$ i zapiszmy odpowiedni układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 71 \\ x - y = 19 \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami, otrzymujemy $2 x = 90$ , a więc $x = 45$ , a stąd $45 + y = 71$ , czyli $y = 26$ .

Odpowiedź:

Szukanymi liczbami są $45$ i $26$ .

Innym typem zadań o liczbach, których rozwiązanie wymaga zastosowania układu równań, są zadania o ułamkach zwykłych, w których niewiadomymi są licznik i mianownik tego ułamka. Przeanalizuj przykład.

Przykład 4

Jeśli licznik pewnego nieskracalnego ułamka zwykłego pomnożymy przez $2$ , a od mianownika odejmiemy $4$ , to otrzymamy liczbę $1$ . Jeśli natomiast do licznika dodamy $12$ , a od mianownika odejmiemy $5$ , to otrzymamy liczbę $3$ . Znajdź ten ułamek.

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza licznik, a $y$ mianownik szukanego ułamka. Szukaną liczbą jest $\frac{x}{y}$ . Zapisujemy układ równań, które odpowiadają zależnościom opisanym w zadaniu:

$\{\begin{cases} \frac{2 x}{y - 4} = 1 \\ \frac{x + 12}{y - 5} = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x = y - 4 \\ x + 12 = 3 (y - 5) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x = y - 4 \\ x + 12 = 3 y - 15 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - y = - 4 \\ x - 3 y = - 27 | \cdot (- 2) \end{cases}$

Stosujemy metodę przeciwnych współczynników:

$\{\begin{cases} 2 x - y = - 4 \\ - 2 x + 6 y = 54 \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami, otrzymujemy $5 y = 50$ , a więc $y = 10$ . Stąd $2 x - 10 = - 4$ , a zatem $x = 3$ .

Odpowiedź:

Szukanym ułamkiem jest $\frac{3}{10}$ .

Prezentacja multimedialna

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zadania, a następnie sprawdź poprawność rozwiązania, analizując poszczególne slajdy.

RJH5TC9Z3N94G

Polecenie 1

W myślach wybierz liczbę trzycyfrową i spróbuj opisać ją koledze lub koleżance z ławki na wzór opisu liczby Maćka. Po odgadnięciu Twojej liczby, zamieńcie się rolami.

Polecenie 2

Znajdź liczbę trzycyfrową, której cyfra setek jest równa $7$ , cyfra jedności jest o $3$ mniejsza od cyfry dziesiątek, a liczba powstała przez zamianę miejscami cyfry dziesiątek z cyfrą setek jest o $180$ mniejsza od danej liczby.

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności szukanej liczby. Szukana liczba ma więc wartość

$7 \cdot 100 + x \cdot 10 + y = 10 x + y + 700$

Gdy zamienimy miejscami cyfrę setek z cyfrą jedności, to otrzymamy liczbę:

$x \cdot 100 + 7 \cdot 10 + y = 100 x + y + 70$

Zapiszmy i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{cases} y = x - 3 \\ 100 x + y + 70 = 10 x + y + 700 - 180 \end{cases}$

Zastosujmy metodę podstawiania:

$\{\begin{cases} y = x - 3 \\ 100 x + x - 3 + 70 = 10 x + x - 3 + 700 - 180 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = x - 3 \\ 101 x + 67 = 11 x + 517 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = x - 3 \\ 90 x = 450 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 \\ x = 5 \end{cases}$

Odpowiedź:

Szukaną liczbą jest $752$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RRORZXNB3JQAK1

Ćwiczenie 1

R166A8O77UJZV1

Ćwiczenie 2

R1P834GOQQ9D411

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Malwina zapisała dwie liczby. Gdy policzyła różnicę podwojonej pierwszej liczby i drugiej liczby, to otrzymała wynik $4$ . Gdy od podwojonej drugiej liczby odjęła potrojoną pierwszą liczbę, to otrzymała $17$ . Jakie liczby zapisała Malwina?

Oznacz jako $x$ pierwszą, a jako $y$ drugą liczbę. Zapisz zależności podane w zadaniu w formie układu równań.

Niech $x$ oznacza pierwszą, a $y$ drugą liczbę. Zapiszmy zależności podane w zadaniu w formie układu równań:

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ 2 y - 3 x = 17 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ - 3 x + 2 y = 17 \end{cases}$

Pomnóżmy pierwsze równanie stronami przez $2$ w celu skorzystania z metody przeciwnych współczynników.

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 | \cdot 2 \\ - 3 x + 2 y = 17 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x - 2 y = 8 \\ - 3 x + 2 y = 17 \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań otrzymamy: $x = 25$ oraz $50 - y = 4$ , a stąd $y = 46$ .

Malwina zapisała liczby $25$ i $46$ .

Ćwiczenie 5

Dane są dwie liczby, z których druga jest o $20 %$ większa od pierwszej. Jeśli od drugiej liczby dodamy $18$ , to otrzymamy liczbę o $50 %$ większą od pierwszej liczby pomniejszonej o $5$ . Znajdź sumę tych liczb.

Niech $x$ oznacza pierwszą, a $y$ drugą liczbę. Zauważ, że jeśli druga liczba powiększona o $18$ jest o $50 %$ większa od pierwszej liczby pomniejszonej o $5$ , to

$y + 18 = 150 % (x - 5) = 1, 5 (x - 5)$ .

Ułóż drugie równanie na podstawie treści zadania. Rozwiąż powstały układ równań.

Niech $x$ oznacza pierwszą, a $y$ drugą liczbę.

Skoro druga liczba jest o $20 %$ większa od pierwszej, to

$y = 120 % x = 1, 2 x$ .

Jeśli druga liczba powiększona o $18$ jest o $50 %$ większa od pierwszej liczby pomniejszonej o $5$ , to

$y + 18 = 150 % (x - 5) = 1, 5 (x - 5)$ .

Zapiszmy i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ y + 18 = 1, 5 (x - 5) \end{cases}$

Zastosujmy metodę podstawiania:

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ 1, 2 x + 18 = 1, 5 (x - 5) | \cdot 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ 12 x + 180 = 15 (x - 5) \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ 12 x + 180 = 15 x - 75 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ - 3 x = - 255 | : (- 3) \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 102 \\ x = 85 \end{cases}$

Szukanymi liczbami są $85$ i $102$ . Suma tych liczb jest równa $187$ .

Ćwiczenie 6

Jeśli od licznika pewnego nieskracalnego ułamka zwykłego odejmiemy $3$ , a do jego mianownika dodamy $2$ , to otrzymamy $\frac{1}{2}$ . Jeśli od licznika tego ułamka odejmiemy $1$ , a mianownik pomnożymy przez $2$ , a następnie odejmiemy od niego $8$ , to otrzymamy $\frac{1}{3}$ . Jaki to ułamek?

Jeśli przyjmiemy, że $x$ oznacza licznik, a $y$ mianownik tego ułamka, to jedną z informacji zamieszczonych w treści zadania możemy zapisać jako:

\frac{x - 1}{2 y - 8} = \frac{1}{3}

Niech $x$ oznacza licznik, a $y$ mianownik tego ułamka. Zapiszmy i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = \frac{1}{2} \\ \frac{x - 1}{2 y - 8} = \frac{1}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (x - 3) = y + 2 \\ 3 (x - 1) = 2 y - 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - 6 = y + 2 \\ 3 x - 3 = 2 y - 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 3 x - 2 y = - 5 \end{cases}$

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

\{\begin{cases} 2 x - y = 8 | \cdot (-2) \\ 3 x - 2 y = - 5 \end{cases}

\{\begin{cases} -4 x + 2 y = -16 \\ 3 x - 2 y = - 5 \end{cases} | +

Dodając równania stronami otrzymujemy:

- x = - 21

stąd

x = 21

Podstawiamy obliczoną wartość $x$ do pierwszego z równań:

2 \cdot 21 - y = 8

- y = 8 - 42

- y = - 34

y = 34

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

${\begin{cases} x = 21 \\ y = 34 \end{cases}$

Szukanym ułamkiem jest $\frac{21}{34}$ .

Ćwiczenie 7

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi $14$ . Jeśli zamienimy jej cyfr miejscami, to otrzymamy liczbę o $36$ mniejszą. Jaka to liczba?

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności tej liczby. Szukaną liczbę można więc zapisać jako $10 x + y$ , a liczbę powstałą z przestawienia cyfr jako $10 y + x$ .

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności tej liczby. Szukaną liczbę można więc zapisać jako $10 x + y$ . Suma cyfr tej liczby jest równa $14$ , a więc $x + y = 14$ . Ponieważ po zamianie cyfr miejscami otrzymamy liczbę o $36$ mniejszą, więc $10 y + x = 10 x + y - 36$ .

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 14 \\ 10 y + x = 10 x + y - 36 \end{cases}$

${\begin{cases} x + y = 14 \\ 9 y - 9 x = - 36 | : 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 14 \\ y - x = - 4 \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami otrzymujemy $2 y = 10$ , a więc $y = 5$ .

Stąd $x + 5 = 14$ , a więc $x = 9$ .

Szukaną liczbą jest $95$ .

Ćwiczenie 8

Jeśli pomiędzy cyfry pewnej liczby dwucyfrowej wstawimy $6$ , to otrzymamy liczbę $11$ razy większą. Jeśli zamienimy jej cyfry miejscami, to otrzymamy liczbę o $6$ większą od trzykrotności tej liczby. Jaka to liczba?

Jeśli $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności szukanej liczby, to liczbę w której wstawimy pomiędzy cyfry $6$ można zapisać jako $100 x + 60 + y$ .

Oznaczmy przez $x$ cyfrę dziesiątek, a przez $y$ cyfrę jedności szukanej liczby. Liczba ta da się więc zapisać jako $10 x + y$ . Jeśli wstawimy pomiędzy jej cyfry liczbę $6$ , to $x$ stanie się cyfrą setek, $6$ będzie cyfrą dziesiątek, a $y$ cyfrą jedności. Tak otrzymaną liczbę można więc zapisać jako $100 x + 60 + y$ . Zapiszmy i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{cases} 100 x + 60 + y = 11 (10 x + y) \\ 10 y + x = 3 (10 x + y) + 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 100 x + 60 + y = 110 x + 11 y \\ 10 y + x = 30 x + 3 y + 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 10 x + 10 y = 60 | : 6 \\ 29 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 6 | \cdot 7 \\ 29 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 7 x + 7 y = 42 \\ 29 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań otrzymujemy $36 x = 36$ , więc $x = 1$ , a $y = 5$ .

Szukaną liczbą jest $15$ .

Słownik

pozycyjny dziesiętny system liczbowy

to system, którego podstawą jest liczba $10$ ; liczby zapisane w tym systemie są sumą potęg liczby $10$ pomnożonych przez jedną z cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$

dwucyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnym

dwucyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnym, której cyfrą dziesiątek jest $x$ , a cyfrą jedności jest $y$ , ma wartość

10 x + y

trzycyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnym

trzycyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnym, której cyfrą setek jest $x$ , cyfrą dziesiątek jest $y$ , a cyfrą jedności jest $z$ , ma wartość

100 x + 10 y + z

1. Zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych

3. Układy równań liniowych - zadania z geometrii