• Określisz  niewiadome występujące w zadaniu tekstowym.

• Zapiszesz  zależności pomiędzy niewiadomymi w postaci równań.

• Rozwiążesz  zadania tekstowe prowadzące do układów równań.

Na podwórku bawią się kury i koty. W sumie jest $21$ zwierząt, które razem mają $54$ nogi. Ile kotów bawi się na podwórku?

Rozwiązanie

Przystępując do rozwiązania zadania tekstowego, najpierw zastanawiamy się, czego nie wiemy. W naszym przykładzie końcowe pytanie wskazuje na pierwszą niewiadomą: ile kotów bawi się na podwórku? Oznaczmy więc przez $x$ liczbę kotów. Skoro liczba kotów jest pierwszą niewiadomą, to drugą niewiadomą jest liczba kur. Oznaczmy ją przez $y$.

Pierwsza informacja płynąca z treści zadania, to że łączna liczba zwierząt jest równa $21$. Możemy więc ułożyć pierwszą zależność:

$x+y=21$.

Druga informacja dotyczy łącznej liczby nóg, liczba ta jest równa $54$.

Każdy kot ma cztery łapy, więc koty mają w sumie $4x$ „nóg”, a każda kura biega na dwóch nogach, więc kury mają w sumie $2y$ nóg.

Teraz możemy już zapisać drugą zależność:

$4x+2y=54$.

Pozostało już tylko zapisać układ równańukład dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań i go rozwiązać.

$\left\{\begin{array}{l}x+y=21\\ 4x+2y=54\end{array}\right.$

Użyjemy metody przeciwnych współczynników i pomnożymy pierwsze równanie stronami przez $\left(-2\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}x+y=21 |·\left(-2\right)\\ 4x+2y=54\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2x-2y=-42\\ 4x+2y=54\end{array}\right.$

Gdy dodamy do siebie pierwsze i drugie równanie, to wyeliminujemy zmienną $y$ i otrzymamy równanie z jedną niewiadomą:

$2x=12$,

którego rozwiązaniem jest $x=6$. Teraz podstawiamy do pierwszego równania w miejsce $x$ liczbę $6$ i otrzymamy równanie $6+y=21$, którego rozwiązaniem jest $y=15$.

Sprawdźmy nasz wynik: $6$ kotów i $15$ kur to łącznie $21$ zwierząt, które mają $6·4+15·2=24+30=54$ nogi. Wszystko się zgadza, więc możemy już sformułować odpowiedź:

Na podwórku bawi się $6$ kotów i $15$ kur.

Ola i Kuba znaleźli na strychu stary cylinder. Gdy Kuba założył cylinder, to był o $36 \mathrm{cm}$ wyższy od Oli. Gdy Ola włożyła cylinder, była wyższa od Kuby o $8 \mathrm{cm}$. Ile centymetrów wysokości miał znaleziony przez nich cylinder?

Rozwiązanie

1. Po przeczytaniu pytania końcowego, wiemy już na pewno, że jedną z niewiadomych jest wysokość cylindra. Nie znamy także wzrostu Oli i Kuby.

2. Oznaczmy przez $x$ wysokość cylindra, przez $y$ wzrost Kuby, a przez $z$ wzrost Oli.

3. Szukamy informacji w treści zadania, analizując zdanie po zdaniu:

   • Ola i Kuba znaleźli na strychu stary cylinder. Ta informacja nie przyda nam się przy rozwiązaniu.

   • Gdy Kuba założył cylinder, to był o $36 \mathrm{cm}$ wyższy od Oli. To zdanie zawiera pierwszą informację, którą możemy zapisać w formie równania:
     $y+x=z+36$.

   • Gdy Ola włożyła cylinder, była wyższa od Kuby o $8 \mathrm{cm}$. Druga informacja, z której możemy ułożyć równanie:
     $z+x=y+8$.

   • Ile centymetrów wysokości miał znaleziony przez nich cylinder? To już jest tylko pytanie, które nie zawiera żadnej informacji.

     W tej chwili mamy trzy niewiadome, a tylko dwa równania. Zastanówmy się, czy wszystkie niewiadome są nam potrzebne. Zróbmy rysunek pomocniczy i spróbujmy coś zauważyć.

     R3KM6OCPUPPA1

     Na ilustracji przedstawiono dwie postacie, chłopca i dziewczynkę. Chłopiec jest wyższy od dziewczynki o y. Cylinder ma wysokość x. Chłopiec z cylindrem na głowie, jest wyższy od dziewczynki o 36 cm, natomiast dziewczynka w cylindrze jest wyższa od chłopca o 8cm.

     

     Analizując powyższy rysunek, zwróćmy uwagę na fakt, że tak naprawdę nie musimy znać wzrostu Oli i Kuby. Wystarczy, że będziemy wiedzieć, o ile centymetrów  Kuba jest wyższy od Oli. Więc wracamy do Punktu 2 i oznaczamy przez $y$ różnicę wzrostu Kuby i Oli.

   2. Oznaczmy przez $x$ wysokość cylindra, przez $y$ różnicę wzrostu Kuby i Oli.

      Teraz musimy zapisać nowe równania w punkcie trzecim.

   3. Zamiast $y+x=z+36$, będzie $x+y=36$. Kuba jest wyższy od Oli o $y \mathrm{cm}$ plus dodatkowe $x \mathrm{cm}$ cylindra.

      Zamiast $z+x=y+8$, będzie $x-y=8$. Ola w cylindrze jest tylko o $8 \mathrm{cm}$ wyższa od Kuby, więc wysokość cylindra przewyższa różnicę wzrostu pomiędzy Olą i Kubą o $8 \mathrm{cm}$.

4. Zapiszmy układ równań:
   $\left\{\begin{array}{l}x+y=36\\ x-y=8\end{array}\right.$

5. Sam układ jest bardzo prosty do rozwiązania. Wystarczy, że dodamy do siebie równania stronami i otrzymamy
   $2x=44$, a stąd $x=22$.
   Potem podstawmy $x=22$ do pierwszego równania, a otrzymamy
   $22+y=36$, więc $y=14$.

6. Policzyliśmy, że Kuba jest o $14 \mathrm{cm}$ wyższy od Oli, a cylinder ma $22 \mathrm{cm}$ wysokości. W takim razie Kuba w cylindrze jest o $36 \mathrm{cm}$ wyższy od Oli, a Ola w cylindrze jest o $8 \mathrm{cm}$ wyższa od Kuby.

7. Możemy już napisać ostateczną odpowiedź:
   Cylinder ma $22 \mathrm{cm}$ wysokości.

Tata jest o $28$ lat starszy od swojego syna Kuby. Sześć lat temu tata był osiem razy starszy od syna. Ile lat ma tata?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ obecny wiek Kuby, a przez $y$ obecny wiek taty. Sześć lat temu Kuba miał $x-6$, a tata $y-6$ lat. Zapiszmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}y=x+28\\ y-6=8·\left(x-6\right)\end{array}\right.$

Zastosujemy metodę podstawiania i do drugiego równania w miejsce $y$ wstawimy $x+28$.

$\left\{\begin{array}{l}y=x+28\\ x+28-6=8·\left(x-6\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=x+28\\ x+22=8x-48 |-8x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=x+28\\ -7x+22=-48 |-22\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=x+28\\ -7x=-70 |:\left(-10\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=38\\ x=10\end{array}\right.$

Odpowiedź:

Kuba ma $10$ lat, a tata $38$.

Gdy Maciek miał tyle lat, co Artur ma teraz, to był od niego o połowę starszy. Gdy Artur będzie miał tyle lat, co Maciek teraz, to Maciek będzie miał $40$ lat. Jaka jest różnica wieku pomiędzy Maćkiem, a Arturem?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ obecny wiek Maćka, a przez $y$ obecny wiek Artura. Gdy Maciek miał $y$ lat, to był o połowę starszy od Artura, a więc Artur miał $\frac{2}{3}y$ lat. Uporządkujmy dane w tabeli:

Zauważmy, że w każdym okresie różnica wieku pomiędzy chłopcami zawsze jest taka sama, a więc równa $x-y$. Zapiszmy układ równańukład dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań:

$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{2}{3}y=x-y\\ 40-x=x-y\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-y=\frac{1}{3}y\\ 2x-y=40\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{4}{3}y=0\\ 2x-y=40\end{array}\right.$

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynnikówmetoda przeciwnych współczynnikówprzeciwnych współczynników i pomnóżmy pierwsze równanie stronami przez $\left(-2\right)$:

$\left\{\begin{array}{l}-2x+\frac{8}{3}y=0\\ 2x-y=40\end{array}\right.$

Po dodaniu do siebie równań stronami, otrzymamy:

$\frac{5}{3}y=40 |·\frac{3}{5}$

$y=24$, $x=\frac{4}{3}y=32$.

Odpowiedź:

Maciek ma $32$ lata, a Artur $24$, więc Maciek jest o $8$ lat starszy od Artura.

Ile kilogramów roztworów solnych o stężeniach odpowiednio  $10\%$ i $15\%$ należy zmieszać, aby otrzymać $10 \mathrm{kg}$ roztworu solnego o stężeniu $12\%$?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ ilość roztworu o stężeniu $10\%$, a przez $y$ – ilość roztworu o stężeniu $15\%$. W mieszaninie będzie $0,1x$ plus $0,15y$ soli, w sumie $1,2 \mathrm{kg}$ (tyle soli zawiera dziesięciokilowy roztwór o stężeniu $12\%$). Zapiszmy i rozwiążmy odpowiedni układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=10 |·\left(-1\right)\\ 0,1x+0,15y=1,2 |·10\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-x-y=-10\\ x+1,5y=12\end{array}\right.$

Gdy dodamy do siebie równania stronami otrzymamy: $0,5y=2$, a stąd $y=4$ i $x=6$.

Więc aby otrzymać $10 \mathrm{kg}$ roztworu solnego o stężeniu $12\%$ należy zmieszać $6 \mathrm{kg}$ roztworu dziesięcioprocentowego i $4 \mathrm{kg}$ roztworu piętnastoprocentowego.

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej, jeżeli wiadomo, że do prostej, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(5,-1\right)$, a funkcja przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów większych od $10$.

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od $10$, to do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(10,0\right)$.

Funkcję liniową określamy wzorem $f\left(x\right)=ax+b$, zatem do wyznaczenia wartości współczynników $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}-1=a·5+b\\ 0=a·10+b\end{array}\right.$

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy, że $a=\frac{1}{5}$ oraz $b=-2$ .

Funkcja jest określona wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{5}x-2$.

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej, jeżeli wiadomo, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(5,-2\right)$, a prosta, będąca wykresem tej funkcji przecina oś $X$ w punkcie o odciętej równej $3$.

Rozwiązanie:

Jeżeli prosta, będąca wykresem funkcji liniowej przecina oś $X$ w punkcie o odciętej równej $3$, to do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(3,0\right)$.

Funkcję liniową określamy wzorem $f\left(x\right)=ax+b$, zatem do wyznaczenia $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}-2=a·5+b\\ 0=a·3+b\end{array}\right.$

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy, że $a=-1$ oraz $b=3$.

Wobec tego funkcja liniowa wyraża się wzorem $f\left(x\right)=-x+3$.

układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x, y  nazywamy każdy układ równań, który da się doprowadzić do postaci:

nazywamy tak metodę rozwiązywania układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, w której z jednego z równań wyznaczamy jedną z niewiadomych i podstawiamy do drugiego równania wyznaczone wyrażenie  (w miejsce tej zmiennej).  Otrzymane w ten sposób drugie równanie jest  równaniem z jedną niewiadomą.

nazywamy tak metodę rozwiązywania układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, w której mnożymy obydwa (lub jedno z równań) stronami przez takie liczby, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki; wówczas po dodaniu do siebie  równań stronami jedna ze zmiennych się redukuje, a do rozwiązania pozostaje równanie z jedną niewiadomą