2. Pole trójkąta

R7MSLZX669O3G

Trójkąt jest figurą, która „cieszy się szczególnymi względami” wśród autorów programów szkolnych. Pomyślcie bowiem, gdy nauczyciel w szkole poprosi o podanie wzoru na pole prostokąta jest niemal pewne, że przywołany zostanie tylko jeden – ten, w którym liczymy iloczyn długości boków: $a \cdot b$ . Raczej nikt nie powie, że pole prostokąta wyraża się np. wzorem $\frac{1}{2} \cdot d^{2} \cdot \sin φ$ , gdzie $d$ jest długością przekątnej, a $φ$ kątem między przekątnymi. Tymczasem swoistym elementarzem, w odniesieniu do trójkąta, jest nie tylko wzór, w którym liczymy połowę iloczynu długości podstawy i wysokości, ale także ten, często przywoływanym przy konstruowaniu zadań zamkniętych na maturę z matematyki, gdzie wykorzystujemy kąt między bokami, tj.: $\frac{1}{2} a b \cdot \sin ∢ (a, b)$ , czy ten najkrótszy i często nieuświadomiony: $p \cdot r$ , który łączy promień okręgu wpisanego i obwód trójkąta. Ale teraz nadszedł czas, by te wzory wykorzystać.

Twoje cele

Zastosujesz najważniejsze wzory na pole trójkąta.
Dobierzesz wzór do danych zawartych w zadaniu.
Wykorzystasz fakt, że bez względu na wykorzystany wzór, pole trójkąta jest wartością stałą.

Pole trójkąta możemy obliczyć za pomocą szeregu dostępnych wzorów. Wybór wzoru jest uzależniony od danych zawartych w zadaniu.

RXLXNOLFAVA7G

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C z zaznaczonymi kątami alfa, beta oraz gamma, kąt alfa znajduje się przy wierzchołu A, kąt beta przy wierzchołku B, natomiast kąt gamma przy wierzchołku C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A F o długości h indeks dolny a koniec indeksu. Odcinek F C ma długość a. Z wierzchołka B upuszczono wysokość B D o długości h indeks dolny b koniec indeksu. Odcinek D C ma długość c. Z wierzchołka C upuszczono wysokość C E o długość h indeks dolny c koniec indeksu. Odcinek A E ma długość c.

W przypadku, gdy dysponujemy długością boku trójkąta oraz długością wysokościwysokość trójkątawysokości opuszczonej na ten bok, to możemy wykorzystać bardzo dobrze znany wzór:

P = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

Oczywiście wzór ten możemy zastosować dla innych boków trójkąta, bowiem:

P = \frac{1}{2} a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} c \cdot h_{c}

Zauważmy, że z definicji funkcji sinus mamy $\sin α = \frac{h_{b}}{c}$ , a stąd po przekształceniu $h_{b} = c \cdot \sin α$ . Zatem wzór na pole trójkąta możemy zapisać jako

P = \frac{1}{2} h_{b} \cdot b = \frac{1}{2} b c \sin α

Naturalnie, możemy to uczynić dla każdego z kątów.

P = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin γ = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin β = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin α

Pole trójkąta możemy obliczyć też wykorzystując informacje o długościach boków i długości promienia okręgu opisanego na trójkącie. Wzór ten ma postać:

P = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R}

Przyjrzyjmy się teraz sytuacji, gdy dany mamy promień okręgu wpisanego w trójkąt i długości jego boków.

RN852UOQCGH6H

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg ośrodku O. Bok AB podpisano literą a. Bok BC podpisano literą b. Bok AC podpisano literą c. Z punktu O poprowadzono odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami trójkąta. Ze środka okręgu poprowadzono odcinki na każdy z boków trójkąta, odcinki te podpisano literą r.

Jeżeli w trójkącie $A B C$ poprowadzimy odcinki łączące wierzchołki ze środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, to otrzymamy trzy mniejsze trójkąty: $A B O$ , $B C O$ , $C A O$ . Łatwo zauważyć, że wysokość każdego z nich jest równa długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Sumując pola trzech powstałych trójkątów, otrzymujemy pole trójkąta $A B C$ :

$P_{△ A B C} = P_{△ A B O} + P_{△ B C O} + P_{△ C A O} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = r \cdot \frac{1}{2} \cdot (a + b + c) = r p$ ,

gdzie $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta: $p = \frac{a + b + c}{2}$ ,

Tym samym otrzymaliśmy jeszcze jeden wzór na pole trójkąta.

P = \frac{1}{2} r (a + b + c) = p r

Ważne!

Pole trójkąta możemy obliczyć korzystając ze wzoru Herona:

P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

gdzie $p = \frac{a + b + c}{2}$ oraz $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta. Dowód na prawdziwość tego wzoru znajdziesz na następnej stronie.

Przykład 1

Rozważmy trójkąt taki, jak na rysunku,

R1B8951AXOZVH

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka B upuszczono wysokość trójkąta B D o długości cztery pierwiastki z trzech. Odcinek A B ma długość osiem, natomiast odcinek C D ma długość jedenaście przecinek pięć.

gdzie kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $60 °$ . Niestety żaden z zaproponowanych wzorów nie pozwala na obliczenie pola trójkąta $A B C$ w bezpośredni sposób. Zauważmy jednak, że pole trójkąta $A B C$ jest równe sumie pól trójkątów $A B D$ oraz $B C D$ .

Obliczmy zatem pole trójkąta $A B D$ .

REPJ62DMSHGJA

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B D. odcinek A B ma długość osiem, natomiast odcinek B D ma odcinek cztery pierwiastki z trzech. Na rysunku zaznaczono również dwa kąty, kąt 60 stopni przy wierzchołku A oraz kąt 30 stopni przy wierzchołku B.

Wiemy, że kąt $A B D$ ma miarę $30 °$ , bowiem suma kątów w trójkącie wynosi $180 °$ . Możemy teraz łatwo obliczyć pole trójkąta $A B D$ korzystając ze wzoru

$P = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin γ$ .

Podstawiamy dostępne wartości i dostajemy

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 8 \sqrt{3}$ .

Z kolei do obliczenia pola trójkąta $B D C$ możemy wykorzystać podstawowy, znany ze szkoły podstawowej wzór

$P = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}$

bowiem bok $B D$ jest wysokością opuszczoną na bok $C D$ . Mamy zatem

$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 11, 5 = 23 \sqrt{3}$ .

Ostatecznie pole trójkąta $A B C$ wynosi $P = 23 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} = 31 \sqrt{3}$ .

Uwaga!

Do obliczenia pola trójkąta $A B D$ można było również wykorzystać podstawowy wzór, jednak niezbędne byłoby wyznaczenie długości odcinka $A D$ ze wzoru Pitagorasa.

Przykład 2

Dany jest trójkąt $A B C$ , w którym $|A C| = 17$ i $|B C| = 12$ . Na boku $A B$ leży punkt $D$ taki, że $|A D| : |D B| = 1 : 4$ oraz $|D C| = 12$ . Obliczymy pole trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Stworzymy odpowiedni rysunek.

R1JSEV4ABDPQX

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, gdzie odcinek A C ma długość 17, natomiast odcinek C B ma długość dwanaście. Z wierzchołka C na podstawę A B upuszczono wysokość C E o długości h oraz odcinek C D o długości dwanaście. Odcinek A D ma długość x, odcinek D E ma długość dwa x, natomiast odcinek E B ma długość dwa x.

Z podanego stosunku w treści zadania wiemy, że istnieje taka liczba $x$ , że $|A D| = x$ oraz $|D B| = 4 x$ . Zauważmy, że trójkąt $D B C$ jest równoramienny zatem wysokość podzieli odcinek $D B$ równo na połowę. Oznaczymy spodek wysokości literą $E$ . Zatem $|D E| = |E B| = 2 x$ .

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $D E C$ oraz $A E C$ . Otrzymujemy wówczas

$h^{2} + 4 x^{2} = 144$ oraz $h^{2} + 9 x^{2} = 289$ .

Przekształcamy obydwa równania

$h^{2} = 144 - 4 x^{2}$ oraz $h^{2} = 289 - 9 x^{2}$ .

Stąd otrzymujemy, że

$144 - 4 x^{2} = 289 - 9 x^{2}$ ,

$5 x^{2} = 145$ ,

$x^{2} = 29$ ,

$x^{} = \sqrt{29}$ .

Wyznaczymy długość podstawy $|A B| = 5 x = 5 \sqrt{29}$ oraz wysokość $h^{} = \sqrt{144 - 4 \cdot 29} = \sqrt{144 - 116} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ .

Zatem $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{29} \cdot 2 \sqrt{7} = 5 \sqrt{203}$ .

Przykład 3

W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Punkt styczności dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości $x$ oraz $y$ . Wykaż, że pole trójkąta jest równe $x y$ .

Rozwiązanie

Na podstawie treści zadania stworzymy odpowiedni rysunek.

R1APUO5HKHBU5

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Wewnątrz trójkąta wpisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu r, styczny do odcinka A C w punkcie F, do odcinka C B w punkcie D oraz do odcinka A B w punkcie E. Punkt D dzieli odcinek C B na dwie części, pierwsza C D o długości x oraz druga D B o długości y. Wewnątrz trójkąta powstał kwadrat A E O F o długości ścian r.

Z podobieństwa trójkątów $C F O$ oraz $C O D$ wynika, że $|C F| = x$ . Podobnie z podobieństwa trójkątów $E B O$ oraz $B D O$ wynika, że $|E B| = y$ . Zatem $|A C| = x + r$ oraz $|A B| = y + r$ .

Możemy zapisać pole trójkąta jako $P = \frac{1}{2} \cdot (x + r) \cdot (y + r)$ oraz $P = p r = (x + y + r) \cdot r$ .

Przyrównujemy otrzymane wyrażenia i dostajemy w ten sposób równanie $(x + y + r) \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (x + r) \cdot (y + r)$ .

Przekształcamy je w następujący sposób

$2 x r + 2 y r + 2 r^{2} = x y + x r + y r + r^{2}$ ,

$x r + y r + r^{2} = x y$ ,

$(x + y + r) \cdot r = x y$ ,

$P = x y$ .

Zatem udowodniliśmy tezę z treści zadania.

Przykład 4

W trójkącie $A B C$ : $|A C| = 9$ , $|B C| = 12$ , miara kąta przy wierzchołku kąta $C$ wynosi $90 °$ . Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie

R1TOLJNERM16Q

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, w którym AB to przeciwprostokątna, a AC i BC to przyprostokątne. W trójkąt wpisano okrąg o środku O.

Użyjemy wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:

$P = r \cdot p$ , zatem $r = \frac{P}{p}$ .

Znane są długości dwu przyprostokątnych. Możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej oraz pole trójkąta.

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

$|A B| = \sqrt{{|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}} = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Wyznaczymy teraz pole trójkąta $A B C$ :

$P = \frac{1}{2} \cdot |A C| \cdot |B C| = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ .

Następnie obliczymy połowę obwodu trójkąta:

$p = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ .

W ten sposób długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ jest równa:

$r = \frac{P}{p} = \frac{54}{18} = 3$ .

Przykład 5

W prostokątny trójkąt równoramienny o polu $8$ wpisano koło. Wyznaczymy długość promienia tego koła.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RUD1UF665MR15

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne podpisano literami x.

Wiemy, że pole w prostokątnym trójkącie równoramiennym jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych. Zatem: $\frac{1}{2} \cdot x \cdot x = 8$ stąd $x^{2} = 16$ .

Zatem $x = 4$ lub $x = - 4$ .

Ponieważ długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną, zatem $x = 4$ .

Długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, albo zauważyć, że nasz trójkąt jest połową kwadratu, a przeciwprostokątna jest przekątną tego kwadratu. Zatem przeciwprostokątna ma długość $4 \sqrt{2}$ .

Możemy zatem obliczyć obwód naszego trójkąta, który wynosi $8 + 4 \sqrt{2}$ .

Wstawiając dostępne dane do wzoru $r = \frac{P}{p}$ mamy $r = \frac{8}{4 + 2 \sqrt{2}} = \frac{4}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{8 - 4 \sqrt{2}}{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$ .

Zatem długość promienia koła wynosi $4 - 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 6

W trójkąt równoramienny o bokach długości $4$ , $4$ , $6$ wpisano okrąg. Wyznacz stosunek pola koła ograniczonego tym okręgiem do pola trójkąta.

Rozwiązanie

Musimy wyznaczyć zarówno pole trójkąta, jak też pole kołapole kołapole koła. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1JHD56FS223C

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o wierzchołkach A B C. W trójkąt wpisano okrąg o środku O. Z wierzchołka B opuszczono wysokość na bok AB i podpisano ją literą h. Spodek wysokości podpisano D, równa się, sześć. Boki AB i BC mają długość cztery.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ${(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = b^{2}$ .

Stąd:
$3^{2} + h^{2} = 4^{2}$
$9 + h^{2} = 16$ ,
czyli:
$h^{2} = 7$
i ostatecznie:
$h = \sqrt{7}$ .

Po zastosowaniu znanego wzoru na pole trójkąta: $P_{t} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ mamy $P_{t} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3 \sqrt{7}$ .

Zauważmy ponadto, że połowa obwodu naszego trójkąta wynosi $p = \frac{4 + 4 + 6}{2} = 7$ .

Stąd, po zastosowaniu wzoru: $r = \frac{P_{t}}{p}$ mamy $r = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Pole koła o promieniu długości r zadane jest wzorem $P_{k} = π r^{2}$ .

Zatem, w naszym przypadku: $P_{k} = π {(\frac{3 \sqrt{7}}{7})}^{2} = \frac{9}{7} π$ .

Ostatecznie, stosunek pola koła do pola trójkąta wynosi: $\frac{P_{k}}{P_{t}} = \frac{\frac{9}{7} π}{3 \sqrt{7}}$ .

Co po usunięciu niewymierności z mianownika daje: $\frac{P_{k}}{P_{t}} = \frac{9 \sqrt{7} π}{147}$ .

Przykład 7

W trójkącie równoramiennym $A B C$ o obwodzie $120$ , gdzie $|A B| = |B C|$ , stosunek długości boków $A B$ i $A C$ wynosi $3 : 2$ . Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta jak na rysunku poniżej:

R9AMNA1113P1H

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Podstawa trójkąta AC ma długość dwa x. Bok AB i BC mają długość trzy x. Z wierzchołka B na podstawę AC opuszczono wysokość.

Wówczas obwód tego trójkąta można wyrazić w następujący sposób: $3 x + 3 x + 2 x = 120$ , czyli $8 x = 120$ , skąd $x = 15$ .

Zatem boki naszego trójkąta mają długości $|A B| = |B C| = 45$ , $|A C| = 30$ .

Wysokość tego trójkąta można łatwo obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, a mianowicie $45^{2} = h^{2} + 15^{2}$ , czyli $h^{2} = 1800$ . Stąd $h = \sqrt{1800} = 30 \sqrt{2}$ .

Możemy teraz obliczyć pole trójkąta, które wynosi $P = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 \sqrt{2} = 450 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie długość promienia okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru $r = \frac{P}{p} = \frac{450 \sqrt{2}}{60} = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$ .

Przykład 8

Obliczymy pole trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna ma długość $4$ , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi $6$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt oraz opisany na nim okrąg i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R15V1BJTZTRFH

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i 4 oraz przeciwprostokątnej c wpisany w okrąg o promieniu sześć. Przeciwprostokątna to dwa promienie okręgu.

Niech $R$ będzie długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zatem

$c = 2 R = 2 \cdot 6 = 12$

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, utworzone na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + 4^{2} = 12^{2}$

$a^{2} + 16 = 144$

$a^{2} = 128$ , czyli $a = 8 \sqrt{2}$

Wobec tego pole trójkąta wynosi:

$P = \frac{8 \sqrt{2} \cdot 4}{2} = 16 \sqrt{2}$

Galeria zdjęć interaktywnych

Zapoznaj się z przykładami w galerii zdjęć interaktywnych i na ich podstawie wykonaj polecenia poniżej.

R47Q1V3U5LKAQ

R1PQ2BKLRJSN4

REG5RMH8OVTUR

R18AB9XUTCBOC

R19124N5LU4GZ

RJOO1EL2A8SZ5

Ilustracja interaktywna numer sześć. P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, nawias, dwa x, zamknięcie nawiasu, razy, x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka. Lewa strona P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, r, razy, nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu oraz prawa strona P, równa się, początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R, koniec ułamka. Następnie podstawiamy P, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście do wzorów na pole trójkąta zawierających informacje o promieniu okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt. Lewa strona, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, r, razy, dziesięć x, r, równa się, początek ułamka, x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka. Prawa strona, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery R, koniec ułamka, R, równa się, początek ułamka, osiem x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, piętnaście, koniec ułamka. początek ułamka, x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, osiem x pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, równa się, pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, początek ułamka, x, mianownik, pięć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, osiem x, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, równa się, jeden, x, równa się, początek ułamka, piętnaście, mianownik, jedenaście, koniec ułamka. Zatem podstawa tego trójkąta ma długość dwa x, równa się, początek ułamka, trzydzieści, mianownik, jedenaście, koniec ułamka.

Polecenie 1

Oblicz długość podstawy trójkąta równoramiennego, w którym stosunek długości podstawy do długości ramienia wynosi $2 : 3$ , jeśli pole trójkąta równoramiennego wynosi $\sqrt{20}$ .

Korzystamy ze wzoru otrzymanego w Przykładzie $1$ przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych, czyli:

$x$ – długość podstawy

$P = \frac{x^{2} \sqrt{2}}{2}$ ,

wstawiając znane pole otrzymujemy

$20 = \frac{x^{2} \sqrt{2}}{2}$ ,

stąd

$40 = x^{2} \sqrt{2}$ ,

dzieląc obie strony przez $\sqrt{2}$ i usuwając niewymierność otrzymujemy

$x^{2} = 20 \sqrt{2}$ .

Następnie pierwiastkując obie strony otrzymujemy rozwiązanie:

$x = \sqrt{20 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{5} \sqrt[4]{2}$ .

Polecenie 2

Oblicz pole oraz długość ramienia i podstawy w trójkącie równoramiennym, w którym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy, jeśli suma długości promienia okręgu opisanego i długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi $\sqrt{30}$ .

Wykorzystamy otrzymane w przykładzie $2$ przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych równania

$r = \frac{x \sqrt{15}}{5}$

oraz

$R = \frac{8 x \sqrt{15}}{15}$ .

Stąd podstawiając dane z polecenia mamy

$\frac{x \sqrt{15}}{5} + \frac{8 x \sqrt{15}}{15} = \sqrt{30}$ .

Mnożąc obie strony przez $15$ i dzieląc przez $\sqrt{15}$ otrzymujemy

$3 x + 8 x = 15 \sqrt{2}$ .

Stąd

$x = \frac{15 \sqrt{2}}{11}$ .

Ostatecznie

$P = x^{2} \sqrt{15} = \frac{450}{121} \sqrt{15}$ ,

natomiast długość podstawy i ramienia wynoszą odpowiednio $2 x$ i $4 x$ , czyli $\frac{30 \sqrt{2}}{11}$ i $\frac{60 \sqrt{2}}{11}$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji, a następnie wykonaj polecenia.

RDAP9PFMB825X

Polecenie 4

Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt o bokach $4$ , $6$ , $8$ .

Skorzystamy w tym miejscu z przedstawionego na filmie wzoru na długość promienia, czyli $r = \frac{P}{p}$ , gdzie $P$ oznacza pole trójkąta, zaś $p$ połowę jego obwodu.

Rozpoczniemy od wyznaczenia połowy obwodu, mamy zatem $p = \frac{4 + 6 + 8}{2} = 9$ .

Najprostszym sposobem na wyznaczenie pola tego trójkąta jest zastosowanie wzoru Herona $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , czyli w naszym przypadku mamy $P = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = 3 \sqrt{15}$ .

Możemy teraz obliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt $r = \frac{P}{p} = \frac{3 \sqrt{15}}{9} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Ostatecznie pole koła wynosi $P = π r^{2} = π {(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{2} = \frac{5}{3} π$ .

Polecenie 5

W trójkąt, którego boki są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi, wpisano okrąg o polu równym $\frac{8}{3} π$ . Wyznacz boki tego trójkąta jeśli wiadomo, że jego pole wynosi $6 \sqrt{6}$ .

Na początku wyznaczmy długość promienia okręgu wpisanego w nasz trójkąt korzystając ze wzoru na pole koła $P = π r^{2}$ .

Mamy zatem $\frac{8}{3} π = π r^{2}$ , stąd $r = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

Możemy teraz wyznaczyć połowę obwodu naszego trójkąta ze wzoru $p = \frac{P}{r}$ , czyli $p = \frac{6 \sqrt{6}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ .

Wiemy jednak, że długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, czyli możemy je oznaczyć jako $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ .

Stąd obwód trójkąta wynosi $3 n + 3$ , z drugiej jednak strony wiemy, że obwód wynosi $18$ . Zatem rozwiązując otrzymane równanie liniowe $3 n + 3 = 18$ otrzymujemy $n = 5$ .

Ostatecznie stwierdzamy, że boki trójkąta mają długości $5$ , $6$ , $7$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RJ85A8VF66Z6V

R1OGMQQL5AR6B

Uzupełnij luki odpowiednimi oznaczeniami. W trójkącie A B C zaznaczono nazwy boków, kąty oraz poprowadzono wysokości.
Bok 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a znajduje się na przeciwko wierzchołka A.
Bok 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a znajduje się na przeciwko wierzchołka B.
Bok 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a znajduje się na przeciwko wierzchołka C.
Wysokość upuszczoną na bok a oznaczamy 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Wysokość upuszczoną na bok b oznaczamy 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Wysokość upuszczoną na bok c oznaczamy 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Kąt przy wierzchołku A oznaczamy jako 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Kąt przy wierzchołku B oznaczamy jako 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.
Kąt przy wierzchołku A oznaczamy jako 1. c, 2. GAMMA, 3. h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, 4. b, 5. h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, 6. h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, 7. BETA, 8. alfa, 9. a.

R1X5RS94H9MEV1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wartości pól trójkątów z danymi w trójkącie, gdzie a, b, c oznaczają długości boków w trójkącie , a alfa, BETA, GAMMA oznaczają miary kątów pomiędzy ramionami w trójkącie. a, równa się, trzy, b, równa się, cztery, GAMMA, równa się, trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy a, równa się, sześć, b, równa się, cztery, c, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy a, równa się, trzy, b, równa się, cztery, alfa, równa się, dziewięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy a, równa się, trzy, alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, BETA, równa się, sześćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, a, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. P, równa się, dziewięć, 2. P, równa się, trzy, 3. P, równa się, sześć, 4. P, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, 5. P, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy

R1CZKUK2CFZQK1

Ćwiczenie 3

Dopasuj promień okręgu opisanego na trójkącie do danego trójkąta, gdzie a, b, c oznaczają długości boków w trójkącie , a alfa, BETA, GAMMA oznaczają miary kątów pomiędzy ramionami trójkąta. a, równa się, b, równa się, c, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka alfa, równa się, BETA, równa się, GAMMA, a, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka a, równa się, b, równa się, dziesięć, c, równa się, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka a, równa się, trzy, BETA, równa się, alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka a, równa się, trzy, b, równa się, cztery, c, równa się, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z trzy, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. jeden, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka

Ćwiczenie 4

Dla danego trójkąta oblicz brakujące wartości, a następnie przenieś je w odpowiednie miejsca.

R7FQHENTLXMBX

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C z zaznaczonymi kątami alfa oraz gamma. Kąt alfa znajduje się przy wierzchołku A natomiast kąt gamma przy wierzchołku C. Odcinek B C ma długość dwanaście, natomiast odcinek A B ma długość pięć.

R1KL8H497UVL8

Wstaw podane wartości w odpowiednie miejsca.

b, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus alfa, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus GAMMA, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
r, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
R, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
P, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka

Wstaw podane wartości w odpowiednie miejsca.

b, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus alfa, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus GAMMA, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
r, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
R, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka
P, równa się 1. dwa, 2. trzydzieści, 3. trzynaście, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sześćdziesiąt, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka

RX4ASCCFPNABA2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny o polu $54$ .

R1QQD913JCGKZ

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Obie przyprostokątne wraz z przyprostokątna są średnicami trzech półokręgów.

Podaj pole sumy półkoli.

Oznaczmy przez $x$ długość ramienia, wówczas pole wynosi

$\frac{1}{2} x \cdot x = 54$

czyli

$x = \sqrt{108} = 2 \sqrt{27}$ .

Stąd promienie mniejszych półokręgów wynoszą $r_{1} = r_{2} = \sqrt{27}$ , zaś większego $r_{3} = \sqrt{54}$ .

Ostatecznie obliczamy pola półkoli ze wzoru

$P = \frac{1}{2} π r^{2}$

$P_{1} = P_{2} = \frac{27}{2} π$

$P_{3} = 27 π$

Zatem suma pól półkoli wynosi $54 π$ .

$P = 54 π$ .

R6Q87K1PSHF7P1

Ćwiczenie 7

RLDN7Q6FT8L6Q1

Ćwiczenie 8

R1RMPNLBQ2G8A2

Ćwiczenie 9

R9FT8NGZL1O9K3

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Wyznacz pole koła opisanego na trójkącie o bokach długości $8$ , $10$ i $12$ .

Niech

$a = 8$

$b = 10$

$c = 12$

Ponieważ pole trójkątach o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ obliczamy ze wzoru

$P = \frac{a b c}{4 R}$ , zatem $R = \frac{a b c}{4 P}$

Do wyznaczenia wartości pola użyjemy wzoru Herona:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p = \frac{a + b + c}{2}$

Zatem $p = \frac{8 + 10 + 12}{2} = 15$ .

Wobec tego $P = \sqrt{15 \cdot (15 - 8) \cdot (15 - 10) \cdot (15 - 12)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = 15 \sqrt{7}$ .

Zatem

$R = \frac{8 \cdot 10 \cdot 12}{15 \sqrt{7}} = \frac{64}{\sqrt{7}} = \frac{64 \sqrt{7}}{7}$

Pole koła opisanego na tym trójkącie wynosi:

$P = π \cdot {(\frac{64 \sqrt{7}}{7})}^{2} = \frac{4096}{7} π$

ROEMHJ7QULV9E1

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Na podstawie rysunku zaznacz zdania, które są prawdziwe.

RVH2F52JBX5DJ

Zaznaczono trójkąt o podstawie 12 wpisany w okrąg. Promienie okręgu mają długość dziewięć.

RK9VAJO9V55E5

Ćwiczenie 14

RX3BOBK5J5SPH

R1BDBTG9RPA8Z

Ćwiczenie 15

Oblicz pole trójkąta prostokątnego równoramiennego, jeżeli promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $16$ .

Narysujmy okrąg opisany na trójkącie prostokątnym równoramiennym i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1HUCMUL28E9U

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o ramieniu a oraz podstawie c wpisany w okrąg o promieniu R. Podstawa c jest równa dwóm promieniom.

Jeżeli $16$ , to $c = 32$ .

Ponieważ $c = a \sqrt{2}$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$32 = a \sqrt{2}$ , czyli $a = 16 \sqrt{2}$ .

Wobec tego pole rozpatrywanego trójkąta jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 16 \sqrt{2} \cdot 16 \sqrt{2} = 256$

Ćwiczenie 16

Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie o bokach długości $3$ , $4$ i $6$ .

Niech

$a = 3$

$b = 4$

$c = 6$

Ponieważ pole trójkątach o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ obliczamy ze wzoru

$P = \frac{a b c}{4 R}$ , zatem $R = \frac{a b c}{4 P}$

Do wyznaczenia wartości pola użyjemy wzoru Herona:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p = \frac{a + b + c}{2}$

Zatem $p = \frac{3 + 4 + 6}{2} = \frac{13}{2}$ .

Wobec tego

$P = \sqrt{\frac{13}{2} \cdot (\frac{13}{2} - 3) \cdot (\frac{13}{2} - 4) \cdot (\frac{13}{2} - 6)} = \sqrt{\frac{13}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{455}}{4}$

Zatem

$R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 6}{4 \cdot \frac{\sqrt{455}}{4}} = \frac{72}{\sqrt{455}} = \frac{72 \sqrt{455}}{455}$

Obwód koła opisanego na tym trójkącie wynosi:

$L = 2 π \cdot \frac{72 \sqrt{455}}{455} = \frac{144 \sqrt{455}}{455} π$

Ćwiczenie 17

W trójkącie dane są:

pole $P = 2$ ,

promień okręgu opisanego na tym trójkącie $R = \frac{1}{2}$ ,

długość jednego boku $c = 2$ ,

obwód trójkąta $L = 6$ .

Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.

W zadaniu wykorzystamy wzór na pole trójkąta, gdy dane są boki oraz promień okręgu na nim opisanego $P = \frac{a b c}{4 R}$ oraz wzór na obwód trójkąta $L = a + b + c$ .

Wobec tego rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 = \frac{a \cdot b \cdot 2}{4 \cdot \frac{1}{2}} \\ a + b + 2 = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 = a \cdot b \\ a + b = 4 \end{cases}$

$a \cdot (4 - a) - 2 = 0$

$- a^{2} + 4 a - 2 = 0$

$a^{2} - 4 a + 2 = 0$

$a_{1} = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$

$a_{2} = \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$

Zatem

$b_{1} = 4 - (2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}$

$b_{2} = 4 - (2 + \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}$

Długości dwóch pozostałych boków trójkąta wynoszą $2 + \sqrt{2}$ oraz $2 - \sqrt{2}$ .

Słownik

wysokość trójkąta

to odcinek poprowadzony z wierzchołka opuszczony pod kątem prostym na prostą zawierającą przeciwległy bok

okrąg wpisany w trójkąt

to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Środek tego okręgu leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta

okrąg opisany na trójkącie

to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta

pole koła

pole koła o promieniu $r > 0$ zadane jest wzorem $P = π r^{2}$

1. Pole figury płaskiej

3. Pole trójkąta - wzór Herona