3. Pole trójkąta - wzór Herona - Pole trójkąta

R1AG3QU9MHEOF

3. Pole trójkąta - wzór Herona

Heron z Aleksandrii, zwany też Heronem Mechanikiem, żył ok. $I$ wieku n.e. Zajmował się geodezją, optyką, hydrostatyką. Opisał urządzenia poruszane siłą powietrza lub pary wodnej. Wynalazł m.in. mechanizm, dzięki któremu automatycznie otwierały się drzwi świątyni, gdy zapalano ogień na ołtarzu. Jego najważniejsze osiągnięciami w zakresie matematyki to: wzór na pole trójkąta, przybliżone obliczenia pierwiastków kwadratowych i sześciennych oraz wzory na objętość i pole wielu figur geometrycznych.

Twoje cele

Udowodnisz wzór Herona.
Zastosujesz wzór Herona do obliczania pola trójkąta.
Określisz pole trójkąta różnymi sposobami.
Znajdziesz wysokość trójkąta o bokach danej długości.

Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znane są długości jego boków.

Wzór ten ma duże znaczenie praktyczne, pozwala obliczyć pole trójkąta bez znajomości jego wysokości. Jest to bardzo przydatne przy wyznaczaniu pola powierzchni gruntów.

Wzór Herona:

P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

R1K391E24AFKT

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Odcinek AB długość c, odcinek BC długość a, odcinek AC długość b.

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta, $2 p = a + b + c$ , $P$ - pole trójkąta.

Wyprowadzenie wzoru Herona

Dany jest dowolny trójkąt $A B C$ :

R182M91O5S5JC

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC o bokach długości a b c oraz kącie alfa przy wierzchołku A. Z punktu C upuszczono wysokość h tworząc w podstawie punkt D. Odcinek AD ma miarę x.

$|A B| = c$ ,

$|B C| = a$ ,

$|A C| = b$ ,

$|A D| = x$ ,

$|C D| = h$ .

Wykorzystamy wzór na pole trójkąta postaci:

P = \frac{1}{2} c \cdot h

Trójkąt $A D C$ jest prostokątny, zatem:

\frac{x}{b} = \cos α

x = b \cdot \cos α

Z twierdzenia Pitagorasa:

x^{2} + h^{2} = b^{2}

h^{2} = b^{2} - x^{2}

P = \frac{1}{2} c \cdot h

2 P = c \cdot h

4 P^{2} = c^{2} h^{2}

Podstawiając $h^{2} = b^{2} - x^{2}$ do wzoru $4 P^{2} = c^{2} h^{2}$ otrzymujemy:

4 P^{2} = c^{2} (b^{2} - x^{2}) = c^{2} b^{2} - c^{2} x^{2}

Z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów, dla trójkąta $A B C$ :

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α

Ponieważ $x = b \cdot \cos α$ , to:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 c x

2 c x = b^{2} + c^{2} - a^{2}

Podnosimy obie strony tego wyrażenia do kwadratu:

4 c^{2} x^{2} = {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

4 P^{2} = c^{2} b^{2} - c^{2} x^{2}

Mnożąc stronami przez $4$ otrzymujemy:

16 P^{2} = 4 c^{2} b^{2} - 4 c^{2} x^{2}

Podstawiając:

4 c^{2} x^{2} = {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

otrzymujemy:

16 P^{2} = 4 c^{2} b^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

Zapiszmy prawą stronę tej równości w postaci różnicy kwadratów:

4 c^{2} b^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2} = {(2 c b)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:

{(2 c b)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2} = (2 c b - (b^{2} + c^{2} - a^{2})) (2 c b + (b^{2} + c^{2} - a^{2}))

Po podstawieniu:

16 P^{2} = (2 c b - (b^{2} + c^{2} - a^{2})) (2 c b + (b^{2} + c^{2} - a^{2}))

Pierwsze wyrażenie po prawej stronie zapiszemy jako:

2 c b - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 c b - b^{2} - c^{2} + a^{2} =

= a^{2} - (b^{2} - 2 c b + c^{2}) = a^{2} - {(b - c)}^{2}

Drugie wyrażenie po prawej stronie zapiszemy jako:

2 c b + (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 c b + b^{2} + c^{2} - a^{2} =

= (b^{2} + 2 b c + c^{2}) - a^{2} = {(b + c)}^{2} - a^{2}

Otrzymujemy zatem:

16 P^{2} = (a^{2} - {(b - c)}^{2}) ({(b + c)}^{2} - a^{2})

Przekształcamy do postaci:

a^{2} - {(b - c)}^{2} = (a - (b - c)) (a + (b - c)) = (a - b + c) (a + b - c)

{(b + c)}^{2} - a^{2} = ((b + c) - a) ((b + c) + a) = (b + c - a) (b + c + a)

Otrzymujemy:

16 P^{2} = (a - b + c) (a + b - c) (b + c - a) (b + c + a)

Ponieważ $2 p = a + b + c$ , zapisujemy wyrażenia w nawiasach następująco:

(a - b + c) = a + b + c - 2 b = 2 p - 2 b = 2 (p - b)

(a + b - c) = a + b + c - 2 c = 2 p - 2 c = 2 (p - c)

(b + c - a) = a + b + c - 2 a = 2 p - 2 a = 2 (p - a)

Po podstawieniu otrzymujemy:

16 P^{2} = 2 (p - b) \cdot 2 (p - c) \cdot 2 (p - a) \cdot 2 p

16 P^{2} = 16 p (p - a) (p - b) (p - c)

P^{2} = p (p - a) (p - b) (p - c)

Otrzymujemy ostateczny wzór:

P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Przy wyprowadzeniu wzoru skorzystaliśmy ze wzorów skróconego mnożenia:

v^{2} - z^{2} = (v - z) (v + z)

{(v - z)}^{2} = v^{2} - 2 v z + z^{2}

{(v + z)}^{2} = v^{2} + 2 v z + z^{2}

Przykład 1

Obliczmy pole trójkąta, którego boki mają długości $6$ , $8$ , $12$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

$a = 6$ , $b = 8$ , $c = 12$ .

Otrzymujemy:

$a + b + c = 2 p$ ,

$6 + 8 + 12 = 26$ ,

$2 p = 26$ , stąd $p = 13$ .

Podstawiamy do wzoru: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

$P = \sqrt{13 (13 - 6) (13 - 8) (13 - 12)} = \sqrt{13 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{455}$ .

Odpowiedź:

Pole trójkąta wynosi $\sqrt{455}$ .

Przykład 2

Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości $a = 15$ , $b = 17$ i $c = 20$ .

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru: $P = p \cdot r$ , gdzie:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ – pole trójkąta,

$p$ – połowa obwodu trójkąta, $r$ – długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Obliczymy najpierw obwód tego trójkąta:

$2 p = 15 + 17 + 20$ ,

$2 p = 52$ ,

$p = 26$ .

Wyznaczamy pole trójkąta:

$P = \sqrt{26 (26 - 15) (26 - 17) (26 - 20)} = \sqrt{26 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 6} = 6 \sqrt{429}$ .

Obliczamy długość promienia okręgu:

$r = \frac{P}{p}$ , zatem: $r = \frac{6 \sqrt{429}}{26} = \frac{3 \sqrt{429}}{13}$ .

Przykład 3

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości $a = 8$ , $b = 12$ i $c = 16$ .

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru: $P = \frac{a b c}{4 R}$ , gdzie: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ – pole trójkąta,

$p$ – połowa obwodu trójkąta,

$R$ – długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Obliczymy najpierw obwód tego trójkąta:

$2 p = 8 + 12 + 16$ ,

$2 p = 36$ ,

$p = 18$ .

Wyznaczamy pole trójkąta:

$P = \sqrt{18 (18 - 8) (18 - 12) (18 - 16)} = \sqrt{18 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 2} = 12 \sqrt{15}$ .

Obliczamy długość promienia:

$R = \frac{a b c}{4 P}$ , zatem: $R = \frac{8 \cdot 12 \cdot 16}{4 \cdot 12 \sqrt{15}} = \frac{32 \sqrt{15}}{15}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą wzoru Herona. Następnie rozwiąż zadania i sprawdź odpowiedzi.

R13G8PVSB5TAD

Polecenie 2

Oblicz pole trójkąta, którego boki mają długości $7$ , $8$ , $9$ .

Oznaczmy: $a = 7$ , $b = 8$ , $c = 9$ .

Wówczas: $a + b + c = 2 p$ .

$7 + 8 + 9 = 24$ .

$2 p = 24$ , stąd $p = 12$ .

Podstawiamy do wzoru: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

$P = \sqrt{12 (12 - 7) (12 - 8) (12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = 12 \sqrt{5}$ .

Pole trójkąta wynosi $12 \sqrt{5}$ .

Polecenie 3

Oblicz pole trójkąta, którego boki mają długości $10$ , $4$ , $12$ . Następnie oblicz długość najdłuższej wysokości tego trójkąta.

Oznaczmy: $a = 10$ , $b = 4$ , $c = 12$ .

Otrzymujemy:

$a + b + c = 2 p$ ,

$10 + 4 + 12 = 26$ ,

$2 p = 26$ , stąd $p = 13$ .

Podstawiamy do wzoru: $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

$P = \sqrt{13 (13 - 10) (13 - 4) (13 - 12)} = \sqrt{13 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 1} = 3 \sqrt{39}$ .

Najdłuższa jest wysokość poprowadzona na bok o długości $b = 4$ .

Wykorzystujemy wzór na pole $P = \frac{1}{2} b \cdot h$ , $h$ – szukana wysokość.

Oznaczmy:

$b = 4$ , $P = 3 \sqrt{39}$ .

Zatem $3 \sqrt{39} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h$ , stąd $h = \frac{3}{2} \sqrt{39}$ .

Pole trójkąta wynosi $P = 3 \sqrt{39}$ , a najdłuższa wysokość $h = \frac{3}{2} \sqrt{39}$ .

R23J3SJ6T71U91

Ćwiczenie 1

R1K465SN9TD6T1

Ćwiczenie 2

R1JNA32H7CHHT1

Ćwiczenie 3

R1K44E5TGXOSP2

Ćwiczenie 4

RSHZ2354NQOH12

Ćwiczenie 5

RSEMF5MO47G4D2

Ćwiczenie 6

R1LJAE1K2E41Z3

Ćwiczenie 7

R1C8K4LC36G513

Ćwiczenie 8

Słownik

twierdzenie cosinusów

jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, natomiast $α$ , $β$ , $γ$ odpowiednio miarami kątów leżących naprzeciw tych boków, to:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β

2. Pole trójkąta

4. Pola trójkątów podobnych

3. Pole trójkąta - wzór Herona

Słownik