Ilustracja przedstawia pięć szklanych butelek w nieregularnych kształtach wypełnionymi kolorowymi płynami.
Ilustracja przedstawia pięć szklanych butelek w nieregularnych kształtach wypełnionymi kolorowymi płynami.
Stereometria - bryły obrotowe
Źródło: dostępny w internecie: pixnio.com, domena publiczna.
1. Bryły obrotowe - podstawowe pojęcia
Bryły obrotowe są obecne w życiu każdego człowieka od najmłodszych lat. Miski, kubki, piłka do gry, wiaderko do piasku, dmuchane koło do pływania – to pierwsze bryły obrotowe, z którymi się stykamy. Opływowy, regularny kształt walca, stożka, kuli jest idealny w konstrukcji rur, naczyń, pojemników, kloszy i innych przedmiotów codziennego użytku.
Twoje cele
Rozpoznasz bryły obrotowe.
Rozpoznasz figurę geometryczną, przez obrót której powstała bryła obrotowa.
Przeanalizujesz jaka bryła obrotowa powstanie przez obrót danej figury wokół wskazanej osi obrotu.
Bryła obrotowa
Definicja: Bryła obrotowa
Bryła obrotowa jest bryłą powstałą z obrotu figury płaskiej wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie.
Prostą wokół, której obracamy figurę nazywamy osią obrotuoś obrotuosią obrotu.
R1BZkgJenxTFo
Ilustracja przedstawia pionek do szachów oraz jego przekrój osiowy. Przekrojem osiowym pionka jest płaska figura z zaznaczoną osią obrotu przechodzącą przez jej najdłuższej ścianę boczną.
Ważne!
Obracając tę samą figurę wokół różnych osioś obrotuosi, możemy otrzymać różne bryły obrotowebryła obrotowabryły obrotowe.
Przykład 1
Weźmy trójkąt prostokątny jak na rysunku:
R1SOiPuyLRieK
Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a oraz c i przeciwprostokątnej b.
Obrócimy go wokół prostych zawierających boki tego trójkąta i naszkicujemy tak powstałe bryły.
Obrót wokół prostej zawierającej bok .
RsjBOFIgBFkFo
Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o ramionach długości b i podstawie c. Z górnego wierzchołka trójkąta upuszczona została wysokość a. Odcinek ten jest jednocześnie osią obrotu tworzącą stożek.
Obrót wokół prostej zawierającej bok .
RQDtqam9DGCi1
Ilustracja przedstawia bryłę obrotową utworzoną poprzez obrót trójkąta prostokątnego. Przyprostokątne trójkąta zostały oznaczone jako a oraz c, natomiast przeciwprostokątna została oznaczona jako b. Przeciwprostokątna trójkąta jest jednocześnie osią obrotu tworzącą bryłę.
Obrót wokół prostej zawierającej bok .
RaHhl2DQrcLqF
Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o ramionach długości b i podstawie a. Z górnego wierzchołka trójkąta upuszczona została wysokość a. Odcinek ten jest jednocześnie osią obrotu tworzącą stożek.
Najczęściej spotykanymi bryłami obrotowymi (zarówno w matematyce, jak i w rzeczywistości) są walec, stożek i kula.
Przykład 2
Walec powstaje z obrotu prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z jego boków lub przechodzącej przez środek równoległych boków.
R1Z1yBbs7W5gK
Ilustracja przedstawia walec w kolorze niebieskim.
Stożek powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych lub trójkąta równoramiennego wokół prostej zawierającej wysokość trójkąta opuszczoną na podstawę.
R1FrZdsaWIshR
Ilustracja przedstawia stożek w kolorze różowym.
Kula powstaje w wyniku obrotu koła lub półkola wokół prostej zawierającej średnicę.
RPAhCJFJdKXWE
Ilustracja przedstawia kulę o środku w punkcie S.
W wyniku obrotu niektórych figur powstają bryły obrotowe, które są „sklejeniem” podstawami walca i stożka lub „wydrążeniem” jednego w drugim.
Przykład 3
W wyniku obrotu równoległoboku wzdłuż boku powstaje nam stożek o wspólnej podstawie z walcem, w którym „wydrążony” jest stożek.
RUWynccU3BtnS
Ilustracja przedstawia bryłę obrotową utworzoną poprzez obrót równoległoboku wzdłuż jego dłuższego boku. Powstał stożek o wspólnej podstawie z walcem. W dolej podstawie walca wydrążony jest taki sam stożek jaki znajduje się na górnej podstawie bryły.
Bryła, która ma własność, że każdy odcinek, którego końce leżą na tej bryle w całości się w niej zawiera nazywamy bryłą wypukłą. Kula, walec i stożek są bryłami wypukłymi. Nie każda bryła obrotowa jest wypukła.
Na przykład bryła powstała w wyniku obrotu trójkąta rozwartokątnego wokół prostej zawierającej jeden z boków będącym ramieniem kąta rozwartego nie jest wypukła.
RVeLHasqkgLJn
Ilustracja przedstawia bryłę obrotową utworzoną poprzez obrót trójkąta rozwartokątnego wokół jednego z jego ramion tworzących kąt rozwarty.
Symulacja interaktywna
Uruchom poniższą symulację. Wybierz przykład i zobacz jak powstaje bryła.
RWNIDh5M31cFW
Aplet przedstawia siatkę pięciu figur obrotowych. Pierwszą figura jest trójkąt prostokątny. Drugą figurą jest prostokąt. Trzecią figurą jest prostokąt z wyciętym trójkątem równoramiennym z dłuższego boku. Czwartą figurą jest półkole. Piątą figurą jest figura utworzona z dwóch prostokątnych do siebie odcinków połączonych ze sobą z drugiej strony delikatnym łukiem. Osie obrotu we wszystkich figurach znajdują zawierają się w najdłuższych bokach danych figur. Poniżej ilustracji znajdują się dwa suwaki. Pierwszy dotyczy długości podstawy a i ma zakres od jeden do dwa. Drugi suwak dotyczy wysokości h figury, jego zakres zawiera się od jeden do cztery. W dwóch ostatnich figurach nie ma możliwości zmiany wysokości. Poniżej dwóch suwaków znajduje się trzeci ostatni suwak, którego zmiana wartości powoduje zwinięcie się figury w bryłę obrotową. Zakres tego suwaka zawiera się od zero stopni do trzysta sześćdziesiąt stopni.
Aplet przedstawia siatkę pięciu figur obrotowych. Pierwszą figura jest trójkąt prostokątny. Drugą figurą jest prostokąt. Trzecią figurą jest prostokąt z wyciętym trójkątem równoramiennym z dłuższego boku. Czwartą figurą jest półkole. Piątą figurą jest figura utworzona z dwóch prostokątnych do siebie odcinków połączonych ze sobą z drugiej strony delikatnym łukiem. Osie obrotu we wszystkich figurach znajdują zawierają się w najdłuższych bokach danych figur. Poniżej ilustracji znajdują się dwa suwaki. Pierwszy dotyczy długości podstawy a i ma zakres od jeden do dwa. Drugi suwak dotyczy wysokości h figury, jego zakres zawiera się od jeden do cztery. W dwóch ostatnich figurach nie ma możliwości zmiany wysokości. Poniżej dwóch suwaków znajduje się trzeci ostatni suwak, którego zmiana wartości powoduje zwinięcie się figury w bryłę obrotową. Zakres tego suwaka zawiera się od zero stopni do trzysta sześćdziesiąt stopni.
Narysuj bryłę powstałą w wyniku obrotu narysowanego pięciokąta wokół zaznaczonej osi. Sprawdź odpowiedź z symulacją interaktywną.
Opisz kształt bryły powstałej w wyniku obrotu narysowanego poniżej pięciokąta wokół zaznaczonej osi. Sprawdź odpowiedź z opisem symulacji interaktywnej.
R15aUx1s12G2W
Ilustracja przedstawia figurę utworzoną poprzez wycięcie z dłuższej ściany prostokąta trójkąta równoramiennego. Na ilustracji zaznaczono również oś obrotu zawierającą się dłuższym nienaruszonym boku prostokąta.
Polecenie 2
Narysuj figurę wyjściową, z której w wyniku obrotu, której powstała bryła obrotowa jak na rysunku, jeżeli narysowana prosta jest osią obrotu figury.
Opisz kształt figury wyjściowej, z której w wyniku obrotu powstała bryła obrotowa jak na rysunku, jeżeli narysowana prosta jest osią obrotu figury.
R1SjzYCpXXV6B
Ilustracja przedstawia bryłę obrotową składającą się z walca oraz ściętego stożka. Walec jest umiejscowiony na dole, natomiast stożek jest obrócony do górny nogami tak, że jego ścięta powierzchnia przylega do części górnej podstawy walca.
RODlhSbUQAmO1
Ilustracja przedstawia figurę płaską utworzoną poprzez połączenie prostokąta oraz trapezu prostokątnego obróconego do góry nogami. Przedłużenie ramienia trapezu będącego prostopadłym do jego podstawy, staje się ścianą boczną prostokąta.
Zestaw ćwiczeń interaktywnych
1
Pokaż ćwiczenia:
1
Ćwiczenie 1
R1M9kH7PbOW3T
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
R1IF5XIx9E7ht
Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z uciętą górną częścią bryły., 2. Ilustracja przedstawia połowę walca., 3. Ilustracja przedstawia dwa stożki o wspólnych podstawach. Stożek w dolnej podstawie posiada uciętą górną część., 4. Ilustracja przedstawia bryłę składającą się z dwóch spłaszczonych sfer. Każda sfera posiada dwa spłaszczenia będące do siebie równoległe. Obie bryły posiadają wspólną spłaszczoną podstawę, bryła ta przypomina kształtem bałwana.
RoLtYLvZ26DVS1
Ćwiczenie 2
Łączenie par. Wybierz P jeśli zdanie jest prawdziwe i F jeśli jest fałszywe. Obracając trójkąt wokół dowolnego boku otrzymamy stożek.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Obracając prostokąt wokół jednego z boków otrzymamy walec.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Każda bryła obrotowa jest wypukła.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Obracając tę samą figurę wokół różnych prostych otrzymujemy różne bryły obrotowe.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ
Łączenie par. Wybierz P jeśli zdanie jest prawdziwe i F jeśli jest fałszywe. Obracając trójkąt wokół dowolnego boku otrzymamy stożek.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Obracając prostokąt wokół jednego z boków otrzymamy walec.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Każda bryła obrotowa jest wypukła.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Obracając tę samą figurę wokół różnych prostych otrzymujemy różne bryły obrotowe.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ
2
Ćwiczenie 3
Dany jest trapez oraz proste, będące różnymi osiami obrotu.
RO31VA863c1NO
Ilustracja przedstawia trapez równoramienny. Na ilustracji poprowadzono także trzy proste. Pierwsza prosta h pokrywa się z dłuższą dolną podstawą figury. Druga prosta f pokrywa się z krótszą górną podstawą. Trzecia prosta g, przechodzi przez środki obu podstaw trapezu.
RLtk2i0GVIuOD1
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
R19W8gYos2s9o
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
R1C21Hvqmt75i2
Ćwiczenie 4
Trapez prostokątny niebędący prostokątem obracamy wokół dłuższej podstawy. Wybierz wszystkie zdania prawdziwe: Możliwe odpowiedzi: 1. Powstałą bryłę obrotową można podzielić na stożek i walec., 2. Powstała bryła obrotowa jest walcem wewnątrz, którego wydrążono stożek, 3. Powstała bryła obrotowa nie jest wypukła., 4. Powstała bryła obrotowa ma podstawę.
2
Ćwiczenie 5
Bryłę obrotową na rysunku poniżej nazywamy stożkiem ściętym.
RpvBOKRpBVCKk
Ilustracja przedstawia ścięty stożek.
R1cH6JiEx52xH
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
RVv73O844TbEp2
Ćwiczenie 6
Uzupełnij zdania wybierając prawidłową odpowiedź: 1) Trójkąt o bokach 5,12, 13 obracamy wokół najkrótszego boku. Bryła obrotowa powstała w wyniku takiego obrotu jest 1. stożkiem, 2. walcem, 3. dwoma stożkami, 4. dwoma stożkami stożkami sklejonymi podstawą, 5. walcem i stożkiem sklejonymi podstawami, 6. walcem z wydrążonym stożkiem.
2) Kwadrat obracamy wokół prostej zawierającej przekątną tego kwadratu. Bryła obrotowa powstała w wyniku takiego obrotu jest 1. stożkiem, 2. walcem, 3. dwoma stożkami, 4. dwoma stożkami stożkami sklejonymi podstawą, 5. walcem i stożkiem sklejonymi podstawami, 6. walcem z wydrążonym stożkiem.
3) Trapez prostokątny obracamy wokół krótszej podstawy. Bryła obrotowa powstała w wyniku takiego obrotu jest 1. stożkiem, 2. walcem, 3. dwoma stożkami, 4. dwoma stożkami stożkami sklejonymi podstawą, 5. walcem i stożkiem sklejonymi podstawami, 6. walcem z wydrążonym stożkiem.
Uzupełnij zdania wybierając prawidłową odpowiedź: 1) Trójkąt o bokach 5,12, 13 obracamy wokół najkrótszego boku. Bryła obrotowa powstała w wyniku takiego obrotu jest 1. stożkiem, 2. walcem, 3. dwoma stożkami, 4. dwoma stożkami stożkami sklejonymi podstawą, 5. walcem i stożkiem sklejonymi podstawami, 6. walcem z wydrążonym stożkiem.
2) Kwadrat obracamy wokół prostej zawierającej przekątną tego kwadratu. Bryła obrotowa powstała w wyniku takiego obrotu jest 1. stożkiem, 2. walcem, 3. dwoma stożkami, 4. dwoma stożkami stożkami sklejonymi podstawą, 5. walcem i stożkiem sklejonymi podstawami, 6. walcem z wydrążonym stożkiem.
3) Trapez prostokątny obracamy wokół krótszej podstawy. Bryła obrotowa powstała w wyniku takiego obrotu jest 1. stożkiem, 2. walcem, 3. dwoma stożkami, 4. dwoma stożkami stożkami sklejonymi podstawą, 5. walcem i stożkiem sklejonymi podstawami, 6. walcem z wydrążonym stożkiem.
3
Ćwiczenie 7
W wyniku obrotu prostokąta wokół pewnej prostej powstaje bryła obrotowa taka, jak na rysunku. A zatem osią obrotu jest prosta:
RCmyvqYVWbcFr
Ilustracja przedstawia trójwymiarowy pierścień, czyli rurę o pewnej grubości.
R1d3QaKkYkZ5j
Osią obrotu jest prosta... Możliwe odpowiedzi: 1. zawierająca krótszy bok tego prostokąta., 2. zawierająca dłuższy bok tego prostokąta., 3. przecinająca równoległe boki prostokąta., 4. równoległa do dwóch boków prostokąta i nie przecinająca jego boków.
3
Ćwiczenie 8
Bryłę na rysunku nazywamy torusem.
RgHanB0jcVp7J
Ilustracja przedstawia torus. Jest to bryła w kształcie symetrycznego pączka z dziurką lub też koła ratunkowego.
R6zUd4t0i5FYH
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
Słownik
bryła obrotowa
bryła obrotowa
bryła powstała w wyniku obrotu figury płaskiej wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie
oś obrotu
oś obrotu
prosta wokół, której obraca się figura płaska, aby otrzymać bryłę obrotową
