• Dowiesz się, czym jest oś obrotu walca.

• Rozpoznasz siatkę walca spośród zaprezentowanych rysunków.

• Przeanalizujesz własności walca na podstawie jego siatki.

• Określisz różnicę między wysokością a tworzącą walca.

• Odczytasz długości wysokości i promienia podstawy walca z siatki.

• Wykorzystasz znane ci techniki do obliczenia długości promienia podstawy lub wysokości walca.

Mamy prostokąt o wymiarach $\sqrt{2}$ oraz $\frac{7}{5}$. Obliczymy pole podstawy walca otrzymanego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół:

1. dłuższego boku,

2. krótszego boku.

Obliczymy długość tworzącej w obydwu przypadkach.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $\sqrt{2}>\frac{7}{5}$.

1. Jeśli walec powstaje w wyniku obrotu wokół dłuższego boku, to jego wymiary są takie jak na rysunku poniżej.

   R1cXyCkpVZDOW

   Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono także długość promienia podstawy walca r o długości siedem piątych. Promień podstawy jest jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość h będąca jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Odcinek ten ma długość $\sqrt{2}$.

   

   Pole podstawy $P_p$ jest wówczas równe:
   $P_p=\pi r^2=\pi \frac{7^2}{5^2}=\frac{49}{25}\pi$.
   Z kolei tworząca ma taką samą długość jak wysokość, czyli $\sqrt{2}$.

2. W tym przypadku nasz walec wygląda tak:

   RRV2SHu50VdPl

   Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono także długość promienia podstawy walca r o długości $\sqrt{2}$. Promień podstawy jest jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość h będąca jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Odcinek ten ma długość siedem piątych.

   

   Zatem nasze pole podstawy wynosi:
   $P_p=\pi r^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2\pi =2\pi$
   Tworząca ponownie ma taką samą długość jak wysokość, czyli $\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 5}}$.

Pola podstaw walców powstałych w wyniku obrotu prostokąta wokół jego boków wynoszą $36\pi$ i $16\pi$ ${\mathrm{cm}}^2$. Obliczymy długość przekątnej tego prostokąta.

Rozwiązanie:

RjDvhtGwKKLs3

Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono promień podstawy walca oznaczony jako a, będący jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość bryły oznaczona poprzez literkę b, będąca jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Literką c, zaznaczono przekątną prostokąta.

R136E83Sw95kC

Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono promień podstawy walca oznaczony jako b, będący jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość bryły oznaczona poprzez literkę a, będącą jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Literką c, zaznaczono przekątną prostokąta.

Z pierwszego rysunku widzimy, że:

$\pi a^2=16\pi \Rightarrow a^2=16$,

z drugiego mamy:

$\pi b^2=36\pi \Rightarrow b^2=36$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

$a^2+b^2=c^2\Rightarrow c^2=16+36\Rightarrow c=\sqrt{52}$.

Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta wokół krótszego boku, który ma długość $7$. Kąt między przekątnymi tego prostokąta znajdujący się naprzeciwko dłuższego boku ma $120°$. Obliczymy promień podstawy tego walca.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od sporządzenia rysunku.

RcT1Z3LCU0Q9j

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi przecinającymi się w punkcie E. Wewnątrz figury został zaznaczony kąt A E B o mierze stu dwudziestu stopni. Przez bok B C poprowadzona została przerywana prosta, będącą osią obrotu.

Wiadomo, że $\left|AD\right|=\left|BC\right|=7$ oraz $\left|\sphericalangle AEB\right|=120°$.

Poprowadźmy wysokość trójkąta $ABE$. Oznaczmy ją poprzez odcinek $\left|EF\right|$, który ma długość $\frac{7}{2}$.

R5Hvj8TCSaRmv

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi przecinającymi się w punkcie E. Powstał trójkąt równoramienny A B E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość na bok A B w punkcie F. Wewnątrz nowego trójkąta prostokątnego A F E zaznaczony został kąt F E A o mierze sześćdziesięciu stopni. Przez bok B C poprowadzona została przerywana prosta, będącą osią obrotu.

Wówczas trójkąt $AFE$ jest trójkątem o kątach $30°$, $60°$ i $90°$. Zatem odcinek $\left|AF\right|$ ma długość $\frac{7\sqrt{3}}{2}$. Wtedy odcinek $\left|AB\right|$, będący promieniem, ma długość $7\sqrt{3}$.

Narysujemy siatkę walca o promieniu podstawy $3$ i wysokości $5$.

Rozwiązanie

Przyjmujemy jedną kratkę jako jedną jednostkę. Powierzchnia boczna będzie więc prostokątem o wymiarach $6\pi \times 5$. Czyli około $18,86 \times 5$. Narysujmy tę siatkę:

R1dJcfmc8NEGv

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z prostokąta o wymiarach sześć pi na pięć oraz dwóch kół o promieniu równym 5 stycznych do dwóch dłuższych przeciwległych boków prostokąta.

Ustalimy, czy na kartce papieru w rozmiarze A4 możemy narysować siatkę walca o promieniu podstawy $4,5 \mathrm{cm}$ i wysokości $5 \mathrm{cm}$ tak, aby aby boki powierzchni bocznej były równoległe do krawędzi kartki. Sprawdzimy, czy narysujemy siatkę tego walca na kartce w rozmiarze B4.

Rozwiązanie

Długość prostokąta będącego powierzchnią boczną wynosi $9\pi \approx 28,3 \mathrm{cm}$, a zatem możemy go narysować wzdłuż dłuższej krawędzi kartki A4, która ma $297 \mathrm{mm}$.

Druga krawędź kartki ma długość $210 \mathrm{mm}$, a my potrzebujemy $4r+h=18+5=23 \mathrm{cm}$.

A zatem na kartce A4 nie wykonamy takiej siatki.

Kartka B4 ma wymiary $250\mathrm{m}\mathrm{m}\times 353\mathrm{m}\mathrm{m}$. Tak więc siatka ta zmieści się na kartce B4.

Wysokość walca jest dwukrotnie dłuższa od promienia jego podstawy. Pole podstawy walca wynosi $2,25\pi$. Narysujemy siatkę tego walca.

Rozwiązanie

Najpierw obliczymy promień podstawy tego walca. Mamy, że $\pi r^2=2,25\pi$. A zatem $r^2=2,25$, co daje $r=1,5$. Mamy więc $h=3$.

Długość tego okręgu wynosi $2·1,5\pi =3\pi \approx 9,42$.

Narysujmy siatkę tego walca:

RsUsOvpZjYtNc

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z prostokąta oraz dwóch kół stycznych do dwóch dłuższych przeciwległych boków prostokąta.

prosta, wokół której obracany jest prostokąt w celu otrzymania walca

dwa koła wykreślone przez prostopadłe do osi obrotu boki prostokąta

powierzchnia wykreślana przez równoległe do osi obrotu boki prostokąta

każdy odcinek równoległy do osi obrotu i łączący brzegi obu podstaw walca

każdy odcinek (oraz jego długość), którego końce są zawarte w płaszczyznach zawierających podstawy, będący prostopadły do tych płaszczyzn

bryła obrotowa powstała przez obrót pewnego prostokąta wokół jednego z boków

długość najkrótszego odcinka łączącego podstawy walca