• Dowiesz się, w jaki sposób powstaje stożek.

• Poznasz definicje składowych stożka.

• Opiszesz siatkę stożka.

• Wykorzystasz znane ci techniki do obliczenia długości promienia podstawy, wysokości lub tworzącej stożka.

Mamy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość $\sqrt{7}$ oraz $\frac{8}{3}$. Obliczymy pole podstawy stożkapodstawa stożkapodstawy stożka otrzymanego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół:

a) dłuższej przyprostokątnej,

b) krótszej przyprostokątnej.

Obliczymy długość tworzącej w obydwu przypadkach.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $\frac{8}{3}>\sqrt{7}$.

a) Jeśli stożek powstaje w wyniku obrotu wokół dłuższej przyprostokątnej, to jego wymiary są takie jak na rysunku poniżej.

RUwmAcLi1YDV5

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości $r=\sqrt{7}$ oraz jego wysokość o długości $h=\frac{8}{3}$.

Pole podstawy $P_p$ jest wówczas równe:

$P_p=\pi r^2=\pi {\left(\sqrt{7}\right)}^2=7\pi$.

Z kolei długość tworzącej $l$ wynosi:

$l^2={\left(\sqrt{7}\right)}^2+{\left(\frac{8}{3}\right)}^2$

$l^2=7+\frac{64}{9}$

$l^2=\frac{127}{9}$

$l=\sqrt{\frac{127}{9}}=\frac{{\displaystyle \sqrt{127}}}{{\displaystyle 3}}$.

b) W tym przypadku nasz stożek wygląda tak:

R1ZjydutYRBRb

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości $r=\frac{8}{3}$ oraz jego wysokość o długości $h=\sqrt{7}$.

Zatem nasze pole podstawy wynosi:

$P_p=\pi r^2={\left(\frac{8}{3}\right)}^2\pi =\frac{64}{9}\pi$.

Z kolei długość naszej tworzącej się nie zmienia, więc ponownie wynosi $\frac{{\displaystyle \sqrt{127}}}{{\displaystyle 3}}$.

Rozważmy trójkąt prostokątny. Pola podstaw stożków powstałych w wyniku obrotu tego trójkąta wokół jego przyprostokątnych wynoszą $25\pi$ oraz $9\pi$. Obliczymy długość tworzących obu stożków.

RODE4WN2S6naw

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczona została długość jego podstawy o długości a oraz długość jego wysokości o długości b.

R14Cn9R3h5fDb

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczona została długość jego podstawy o długości b oraz długość jego wysokości o długości a.

Rozwiązanie

Z pierwszego rysunku widzimy, że:

$\pi a^2=25\pi$

$a^2=25$.

Z drugiego mamy:

$\pi b^2=9\pi$

$b^2=9$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy tworzącątworzącatworzącą równą:

$a^2+b^2=l^2$

$l^2=25+9$

$l=\sqrt{34}$.

Zauważmy, że długość tworzącej nie zależy od wyboru przyprostokątnej wokół której obracamy trójkąt prostokątny.

Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego, którego ramię ma długość $10$, wokół osi symetrii. Kąt pomiędzy ramionami wynosi $90°$. Obliczymy promień podstawy oraz wysokośćwysokośćwysokość tego stożka.

RZFXBCXliTyG6

Ilustracja przedstawia przekrój stożka A B C D, gdzie odcinek A C to średnica podstawy stożka, punkt B jest górnym wierzchołkiem stożka, a odcinek B D jest wysokością upuszczoną na odcinek A C. Kąt rozwarcia stożka wynosi 90 stopni natomiast długość tworzącej jest równa 10.

Rozwiązanie

Widzimy, że trójkąt $ABD$ jest trójkątem o stopniach $45°$, $45°$, $90°$. Niech $\left|AD\right|=\left|BD\right|=a$. Wtedy z prostej trygonometrii wiemy, że:

$a\sqrt{2}=10$

$a=\frac{10}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$a=\frac{10\sqrt{2}}{2}$

$a=5\sqrt{2}$.

Zatem mamy, że wysokość i promień mają taką samą długość wynoszącą $5\sqrt{2}$.

Promień wycinka kołowego o kącie $120°$ jest równy $3$. Wycinek zwinięto i utworzono w ten sposób powierzchnię boczną stożka. Obliczymy wysokość i promień podstawy stożka.

R1X7E4VkK4z0s

Ilustracja przedstawia siatkę stożka. Składa się z ona z koła o promieniu r będącym podstawą bryły oraz z wycinka koła o promieniu $l=3$ i o długości łuku $2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}$. Zaznaczony został także kąt alfa jako promień łuku.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wycinek kołowy o kącie $120°$ jest $\frac{1}{3}$ całego koła. Zatem ze wzoru na obwód okręgu mamy:

$2\pi l·\frac{1}{3}=2\pi r$

$2\pi ·3·\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}=2\pi r$

$2\pi =2\pi r$

$r=1$.

Zwinąwszy powierzchnie w stożek, można przypuszczać, że będzie on wyglądał tak:

R1MBx1tFUhUTK

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości $r=1$ oraz długość tworzącej stożka $l=3$. Na rysunku zaznaczono także wysokość o długości h.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy wysokość:

$h^2+r^2=l^2$

$h^2=l^2-r^2$

$h=\sqrt{l^2-r^2}$

$h=\sqrt{3^2-1^2}$

$h=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Podstawą stożka jest koło o promieniu $r=16 \mathrm{cm}$. Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu $18 \mathrm{cm}$. Obliczymy miarę kąta środkowego wyznaczającego ten wycinek.

Obliczamy obwód podstawy stożka.

$L=2\pi r$

$L=2\pi \cdot 16$

$L=32\pi \mathrm{cm}$

Oznaczmy:

$\alpha$ – miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek, będący powierzchnią boczną stożka.

Obliczamy długość łuku wyznaczającego wycinek koła.

$L_W=\frac{\alpha }{360°}\cdot 2\pi ·18$

$L_W=\frac{\alpha }{10°}\pi \mathrm{cm}$

Porównujemy obwód podstawy stożka i długość łuku wycinka koła i wyznaczamy $\alpha$.

$32\pi =\frac{\alpha }{10°}\cdot \pi$

$\alpha =320°$

Miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek koła, będący powierzchnią boczną stożka, jest równa $320°$.

prosta, wokół której obracamy trójkąt

koło wykreślone przez bok trójkąta prostopadły do osi obrotu

powierzchnia zakreślona przez tworzącą podczas obrotu wokół osi obrotu, po rozwinięciu przyjmuje kształt wycinka koła

punkt wspólny tworzącej i wysokości stożka

odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek stożka, a drugim dowolny punkt okręgu podstawy

odcinek (a także jego długość), którego jednym końcem jest wierzchołek, a drugim rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy