5. Pole powierzchni i objętość stożka

RW3uZXtu7Noll

RpCGF1dT4UwOs1

Zdjęcie przedstawia wysoki budynek na tle zachmurzonego nieba. Budynek ma kształt litery M oraz od przodu ma kolor złoty. Na samej górze budynku znajduje się odwrócony stożek, który wpasowany został w górną część budynku. — InTempo, Benidorm, Hiszpania
Źródło: Diego Delsa, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Kształt stożka w architekturze kojarzony jest przede wszystkim z dachami wież. Wbrew pozorom może on być również wykorzystany w inny sposób. Czy wiesz, że InTempo to piąty, co do wysokości budynek w Hiszpanii (a najwyższy poza Madrytem) i najwyższy budynek mieszkalny w tym kraju? Jego budowę rozpoczęto w $2007$ roku, ale z powodu kryzysu, bankructwa wykonawcy i innych problemów przerwano ją i dokończono dopiero w $2019$ roku. Budynek składa się z dwóch wież o wysokości $192 m$ stojących w odległości $20 m$ , które są połączone na wysokości $38$ – $44$ piętra łącznikiem w kształcie stożka – symbolizuje on wybicie się miasta Benidorm z kryzysu ekonomicznego.

Twoje cele

Wyprowadzisz wzór na pole powierzchni stożka.
Obliczysz pole powierzchni całkowitej stożka.
Wykorzystasz wzór na pole powierzchni całkowitej stożka do rozwiązywania problemów matematycznych.

Twoje cele

Przeanalizujesz własności stożka w sytuacjach realistycznych.
Wykorzystasz własności stożka do obliczania pola powierzchni, objętości, długości odcinków i innych wielkości w kontekście realistycznym.

Twoje cele

Obliczysz objętość stożka, gdy dany jest promień podstawy oraz wysokość.
Wyznaczysz objętość stożka, jeżeli dane są zależności pomiędzy odcinkami w stożku.
Wykorzystasz wzór na objętość stożka do rozwiązywania problemów matematycznych.

Pole powierzchni całkowitej stożka

R1UjmOwnT2n9h

Ilustracja przedstawia siatkę stożka składającą się z koła o promieniu r będącego podstawą bryły oraz z powierzchni bocznej stożka będącą wycinkiem koła o promieniu l. Utworzony łuk w wycinku ma długość dwa pi r.

Zauważmy, że podstawa stożka jest kołem o promieniu $r$ , a powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu $l$ .

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe sumie pola powierzchni jego podstawy oraz powierzchni bocznej.

Zatem:

P_{c} = P_{p} + P_{b}

Jeżeli promień podstawy stożka ma długość $r$ , wysokość stożka $h$ , a tworząca ma długość $l$ , to:

P_{c} = π r^{2} + π r l = π r (r + l)

Ważne!

Zauważmy, że po rozwinięciu powierzchnia boczna stożkapowierzchnia boczna stożkapowierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu $l$ , zatem jej pole możemy obliczyć ze wzoru:

P_{b} = \frac{α}{360 °} \cdot π \cdot l^{2}

R5QnOEqt7dUvl

Ilustracja przedstawia wycinek koła o promieniu l. Utworzony łuk w wycinku ma długość dwa pi r, natomiast kąt pomiędzy dwoma granicznymi krawędziami l ma miarę alfa.

Przykład 1

Obliczymy pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej stożka z rysunku.

R194rqFPwIlo8

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości cztery oraz wysokością o długości sześć. Na rysunku zaznaczono także dwie tworzące bryły l.

Rozwiązanie

Jeżeli przez $r$ oznaczymy długość promienia podstawy stożka, a przez $h$ długość wysokości stożka, to:

$r = 4$ oraz $h = 6$ .

Długość tworzącej stożka obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

$4^{2} + 6^{2} = l^{2}$

$16 + 36 = l^{2}$ , czyli $l^{2} = 52$ .

Zatem $l = 2 \sqrt{13}$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

$P_{c} = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot l$

$P_{c} = π \cdot 4^{2} + π \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{13} = 16 π + 8 \sqrt{13} π$ .

Przykład 2

Wiadomo, że pole powierzchni podstawy stożka jest równe $16 π$ , a pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej wynosi $36 π$ . Obliczymy długość tworzącej w tym stożku.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RJAykzozWlcbR

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będący trójkątem równoramiennym. Podstawa trójkąta ma długość dwa r natomiast jego ramiona mają długość l. Na rysunku zaznaczono także wysokość bryły i trójkąta o długości h.

Ponieważ pole podstawy stożka wynosi $16 π$ , zatem do obliczenia długości promienia podstawy rozwiązujemy równanie:

$16 π = π r^{2}$

$16 = r^{2}$ .

Wobec tego $r = 4$ .

Zauważmy, że pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru:

$P_{b} = P_{c} - P_{p}$

$P_{b} = 36 π - 16 π = 20 π$ .

Ponieważ $P_{b} = π r l$ , zatem do wyznaczenia długości tworzącej stożka rozwiązujemy równanie:

$20 π = π \cdot 4 \cdot l$ , czyli $l = 5$ .

Tworząca stożka ma długość $5$ .

Przykład 3

Stosowanie form walcowych i stożkowych dachów jest charakterystyczną cechą stylu romańskiego. Najsłynniejszym tego typu budynkiem w Polsce jest rotunda pw. $św.$ Mikołaja w Cieszynie, której wizerunek znalazł się na banknocie o nominale $20 zł$ .

RJzQirEe7jL3j

Ilustracja składa się z dwóch oddzielnych ilustracji. Lewa ilustracja przedstawia ceglany budynek w kształcie dwóch złączonych walców, jeden z nich jest mniejszy od drugiego. Dachy obu walcy są w kształcie stożków. Oba walce posiadają w górnej części dokładnie jedno mniejsze okno. Prawy rysunek przedstawia tył współczesnego, polskiego banknotu dwudziestozłotowego. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Paweł wykonał makietę rotundy z kartonu. Wymiary makiety składającej się z walca, połowy walca, stożka i połowy stożka bez podstaw (okna są narysowane), podane są na rysunku.

R1HsyoKAlV6BR

Ilustracja przedstawia makietę budynku składającego się z dwóch walców złączonych ze sobą, których dachy wykonane są ze stożków. Jeden walec jest większy od drugiego, to samo dotyczy stożków. Na ilustracji zaznaczone są następujące informacje: wysokość większego stożka wynosi 11,3 decymetra, wysokość mniejszego walca wynosi 6,8 decymetra, promień większego stożka wynosi 4,7 decymetra, promień mniejszego stożka wynosi 1,5 decymetra, wysokość większego walca razem ze stożkiem wynosi 15 decymetrów, wysokość mniejszego walca razem ze stożkiem wynosi 9 decymetrów.

Jaka jest powierzchnia kartonu zużytego do wykonania makiety? Na zakładki przyjmujemy dodatkowo $10 %$ uzyskanej powierzchni. Przyjmujemy $π = 3, 14$ .

Rozwiązanie:

Obliczamy długość tworzących stożka:

$4, 7^{2} + 3, 7^{2} = {l_{1}}^{2}$ , a stąd $l_{1} \approx 6 dm$ oraz $1, 5^{2} + 2, 2^{2} = {l_{2}}^{2}$ , a stąd $l_{2} \approx 2, 7 m$

$P = P_{b w 1} + \frac{1}{2} P_{b w 2} + P_{b s 1} + \frac{1}{2} P_{b s 2}$

Czyli

$P = 2 \cdot π \cdot 4, 7 \cdot 11, 3 + π \cdot 1, 5 \cdot 6, 8 + π \cdot 4, 7 \cdot 6 + 0, 5 \cdot π \cdot 1, 5 \cdot 2, 7 \approx$

$\approx 460, 5 {dm}^{2}$ .

Ostatecznie powierzchnia papieru będzie wynosić $460, 5 + 46, 05 = 506, 55 {dm}^{2}$ .

Przykład 4

Stojak do podawania frytek wykonany z drutu ma kształt stożka o wysokości $18 cm$ i średnicy $9 cm$ . Podstawa stojaka jest okręgiem o promieniu długości $4 cm$ . Jaką długość ma drut potrzebny do wykonania stojaka, jeżeli na powierzchni stożka są cztery tworzące oraz dwa okręgi w $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ wysokości, a w podstawie stojaka jest poprowadzona średnica. Przyjmij $π = 3, 14$ .

RG94vATFv68wR

Ilustracja przedstawia odwrócony stożek zbudowany z drutu, który stoi na okrągłej obręczy. Sam stożek zbudowany jest z trzech obręczy o coraz mniejszych rozmiarach, przy czym największa jest na górze, a najmniejsza na dole. Cztery druty wychodzą od wierzchołka, przylegają one do każdej z trzech obręczy, trzymając je od siebie w równych odległościach.

Rozwiązanie

Zauważmy, że skoro okręgi znajdują się w $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ wysokości, to korzystając z podobieństwa trójkątów (cecha kąt‑kąt‑kąt) mamy:

RD7wo4MISSHN9

Ilustracja przedstawia stożek, którego wysokość została podzielona na trzy równe części. Zaznaczono promienie koła wychodzące od wysokości oraz obrysowano na ścianie bocznej podstawę dla każdej części. Pierwsza część, która jest najbliżej wierzchołka ma promień równy 1,5, środkowa część ma promień równy 3, natomiast ostatnia, największa część ma promień równy 4,5.

Mamy zatem obwody czterech okręgów: $l_{okręgów} = 9 π + 6 π + 3 π + 8 π = 26 π \approx 81, 6 cm$ .

Obliczymy długość tworzącej z twierdzenia Pitagorasa: $18^{2} + 4, 5^{2} = l^{2}$ , czyli $l \approx 18, 6 cm$ .

A zatem na średnicę podstawki w kształcie okręgu i cztery tworzące potrzebujemy $l_{odcinków} = 8 + 4 \cdot 18, 6 = 82, 4 cm$ .

A zatem razem mamy $l = 81, 6 + 82, 4 = 164 cm$ .

Objętość stożka

RGl4NguOkAkjO

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h upuszczoną na promień podstawy stożka o długości r pod kątem prostym. Zaznaczone zostały także dwie tworzące stożka o długości l.

Objętość $V$ dowolnego stożka obliczamy ze wzoru:

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h

Ponieważ podstawa stożka jest kołem o promieniu długości $r$ , zatem:

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

Ważne!

Objętość walcawalecwalca jest równa objętości trzech stożków o tym samym promieniu podstawy i wysokości.

Przykład 5

Wyznaczymy objętość stożka, w którym wysokość jest trzy razy dłuższa niż promień podstawy, a tworząca ma długość $20$ .

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RYqOIMovRtssb

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości trzy r, promieniem podstawy stożka o długości r oraz tworzącą stożka o długości dwadzieścia.

Ponieważ promień podstawy, wysokość i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, układamy i rozwiązujemy równanie:

$r^{2} + {(3 r)}^{2} = 20^{2}$

$10 r^{2} = 400$

$r^{2} = 40$ , czyli $r = 2 \sqrt{10}$ .

Wysokość stożka jest równa $3 r = 6 \sqrt{10}$ , zatem objętość tego stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 \sqrt{10})}^{2} \cdot 6 \sqrt{10} = 80 π \sqrt{10}$ .

Ciekawostka

Na rysunku przedstawiono stożek ścięty, w którym $R$ i $r$ są promieniami podstaw, a $H$ jego wysokością.

R1EZJN7hEXDqX

Ilustracja przedstawia stożek ścięty, w którym promień dolnej podstawy ma długość R, promienia podstawy górnej ma długość r, natomiast jego wysokość upuszczona z środka górnej podstawy na środek podstawy dolnej ma długość H.

Objętość stożka ściętego z rysunku obliczamy ze wzoru:

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot H \cdot (r^{2} + r \cdot R + R^{2})

Przykład 6

Obliczymy długość promienia dolnej podstawy w stożku ściętym o objętości $30 π$ , jeżeli promień górnej podstawy ma długość $3$ , a wysokość stożka $9$ .

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że:

$V = 30 π$ ,

$r = 3$ ,

$H = 9$ .

Po podstawieniu tych danych do wzoru na objętość stożka ściętego:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot H \cdot (r^{2} + r \cdot R + R^{2})$ .

Do wyznaczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$30 π = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 9 \cdot (3^{2} + 3 \cdot R + R^{2})$ .

Równanie przekształcamy do postaci:

$R^{2} + 3 R - 1 = 0$ ,

$Δ = 9 + 4 = 13$ ,

$R_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2} < 0$ ,

$R_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2} > 0$ .

Zatem promień dolnej podstawy stożka ściętego jest równy $\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$ .

Przykład 7

Stopiono wosk ze świecy w kształcie walca o średnicy podstawy $8 cm$ i wysokości $12 cm$ i wykonano z niego komplet świec w kształcie stożka o średnicy podstawy $4 cm$ i wysokości $6 cm$ . Ile świec zawierał komplet?

R14CNkJToItnp

Ilustracja przedstawia dwie zapalone świece obok siebie na białym tle. Lewa świeca ma kształt stożka oraz jest koloru ciemnoniebieskiego. Prawa świeca jest nieco wyższa niż lewa, ma kształt walca oraz jest koloru fioletowego.

Rozwiązanie

Obliczamy objętość wosku powstałego ze świecy w kształcie walca:

$V_{w} = π \cdot 4^{2} \cdot 12 = 192 π {cm}^{3}$ .

Obliczamy objętość wosku potrzebnego do wykonania świecy w kształcie stożka:

$V_{s} = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot 6 = 8 π {cm}^{3}$ .

Teraz możemy już obliczyć ile świec zawiera komplet $192 π : 8 π = 24$ . A zatem w komplecie znajdują się $24$ świece w kształcie stożka.

Przykład 8

Do pucharka w kształcie stożka o wysokości $75 mm$ i średnicy $90 mm$ wlano sok napełniając go w $\frac{2}{3}$ objętości, a następnie wrzucono dwie kostki lodu w kształcie walca o średnicy podstawy $3 cm$ i wysokości $3 cm$ . Czy sok przeleje się?

RRvNInnoa0Qx0

Ilustracja przedstawia na białym tle dwie kostki lodu w kształcie walca oraz szklany kielich w kształcie odwróconego stożka, który został wypełniony ponad połowę pomarańczowym płynem.

Rozwiązanie

Obliczamy objętość naczynia, soku i kostek lodu. Mamy więc:

$V_{pucharka} = \frac{1}{3} π \cdot 4, 5^{2} \cdot 7, 5 = 50, 625 π {cm}^{3}$

$V_{soku} = \frac{2}{3} \cdot 50, 625 π = 33, 75 π {cm}^{3}$ , $V_{lodu} = 2 \cdot π \cdot 1, 5^{2} \cdot 3 = 13, 5 π {cm}^{3}$

A zatem $V_{soku} + V_{lodu} = 47, 25 π {cm}^{3} < V_{pucharka}$ . Co oznacza, że sok nie przeleje się.

Galeria zdjęć interaktywnych

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RzjJ8Ma2Evxnn

RzQXLopBHvvTA

RPlJH62k0eryN

Zdjęcie trzecie. Napis, obliczmy długość tworzącej stożka o objętości

9 \cdot π

, jeżeli promień podstawy stożka jest równy

\sqrt{3}

. Dane,

V = 9 \cdot π

r = \sqrt{3}

. Szukane, l. Rozwiązanie,

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

9 \cdot π = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{3})}^{2} \cdot h

h = 9

l^{2} = r^{2} + h^{2}

l^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 9^{2} = 3 + 81 = 84

l = 2 \cdot \sqrt{21}

RjMjecg2q6TPj

RVX2EmZtqboOX

Polecenie 1

Oblicz objętość stożka, w którym długość promienia podstawy jest o $2$ mniejsza od długości wysokości, a długość tworzącej stożka jest o $2$ większa od długości tej wysokości.

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RPGRtKvBUyPJS

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r.

Z warunków w zadaniu wynika, że:

$h = r + 2$ ,

$l = r + 4$ .

Do wyznaczenia wartości $r$ korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

$r^{2} + {(r + 2)}^{2} = {(r + 4)}^{2}$

$r^{2} + r^{2} + 4 r + 4 = r^{2} + 8 r + 16$

$r^{2} - 4 r - 12 = 0$ ,

$Δ = 16 + 4 \cdot 12 = 64$ ,

$r_{1} = \frac{4 - 8}{2} = - 2 < 0$ ,

$r_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6 > 0$ .

Zatem $h = r + 2 = 8$ .

Objętość tego stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 8 = 96 π$ .

Animacje multimedialne

Obejrzyj animację 3D, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R4Bz8QkiRGz4x

Polecenie 2

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, jeżeli promień podstawy oraz wysokość są równej długości, a tworząca ma długość $8$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1023Gd0kbRzF

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości r, wysokością o długości h oraz tworzącą o długości l.

Ponieważ $r = h$ oraz $l = 8$ , zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

$r^{2} + r^{2} = 8^{2}$

$2 r^{2} = 64$

$r^{2} = 32$

$r = 4 \sqrt{2}$ .

Zatem $h = 4 \sqrt{2}$ .

Jeżeli wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej stożka $P_{c} = π r^{2} + π r l$ , to:

$P_{c} = π \cdot {(4 \sqrt{2})}^{2} + π \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 8 = 32 π + 32 \sqrt{2} π$ .

Zapoznaj się z przykładem z animacji 3D, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone poniżej.

R1HKIfwtJSKmS

Polecenie 3

Stosując podobne rozumowanie rozwiąż zadanie. Dwa kieliszki w kształcie stożka jeden o średnicy $8 cm$ i wysokości $9 cm$ , a drugi o średnicy $8 cm$ i wysokości $12 cm$ są napełnione w połowie objętości i do połowy wysokości, odpowiednio. Chcemy przelać je do dzbanka w kształcie walca o promieniu $5 cm$ i wysokości $15 cm$ , tak, aby napełniony został maksymalnie do połowy objętości. Czy to możliwe?

Obliczymy objętość napoju

$V_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 9 π = 24 π$ , $V_{2} = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot 6 π = 8 π$

$V_{napoju} = 24 π + 8 π = 32 π {cm}^{3}$

Obliczymy objętość połowy dzbanka

$V_{d} = \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot 15 π = 187, 5 π {cm}^{3}$

Odpowiedź:

Jest to możliwe.

Polecenie 4

RNkEwoDdqPiRR

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1cLqgOcAikWp

Ćwiczenie 2

R1dNzi1UfncBS

Ćwiczenie 3

R1IE1ufXDK0LJ

R9lnpPFbGinpi

Ćwiczenie 4

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono stożki.

R1WmRIOEYfgDW

Ilustracja przedstawia dwa stożki, pierwszy z wysokością o długości trzy oraz tworzącą o długości sześć. Drugi z promieniem podstawy o długości trzy oraz tworzącą o długości sześć.

R174IKbvOV5HB

Ćwiczenie 5

Rmn5WiSlruPOK

Ćwiczenie 6

Tworząca stożka ma długość $30$ , a wysokość jest o $6$ dłuższa od promienia podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RMytaTVdWdFEB

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości r, wysokością o długości r dodać sześć oraz tworzącą o długości trzydzieści.

Ponieważ promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$r^{2} + {(r + 6)}^{2} = 30^{2}$

$r^{2} + r^{2} + 12 r + 36 = 900$

$2 r^{2} + 12 r - 864 = 0$

$r^{2} + 6 r - 432 = 0$ .

Wobec tego $r = 18$ .

Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe:

$P_{c} = π \cdot 18^{2} + π \cdot 18 \cdot 30 = 324 π + 540 π = 864 π$ .

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego stożka.

R9x6aTxgXI5A3

Ilustracja przedstawia siatkę stożka o promieniu podstawy o długości r, tworząca stożka o długości l oraz kątem rozwarcia wynoszącym 135 stopni. Siatka stożka składa się z okręgu oraz z wycinka koła.

R1S09Vvwk7q8G

Ćwiczenie 8

R15ZutiCkE7V2

Ćwiczenie 9

R1Ct3GehBn0iR

Rvq2xMmovchyg

Ćwiczenie 10

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono stożki.

R1TqGXqXn7H54

Pojawiają się dwie ilustracje, pierwsza przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości x dodać 5, promieniem podstawy stożka o długości x oraz tworzącą stożka o długości x dodać 10, druga ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości x, promieniem podstawy stożka o długości x minus 2 oraz tworzącą stożka o długości x dodać 2,

RvFQhYr55kNPb

Ćwiczenie 11

R1GhUi7FsMTr7

Ćwiczenie 12

Promień podstawy stożka jest równy $r$ . Tworząca stożka jest cztery razy dłuższa od promienia podstawy. Wyznacz objętość tego stożka.

Wyznacz wysokośc stożka w zależności od promienia $r$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RvzJq79nYSSGM

Z treści zadania wiadomo, że $l = 4 r$ .

Długość wysokości $h$ stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} + r^{2} = {(4 r)}^{2}$

$h^{2} = 16 r^{2} - r^{2}$

$h^{2} = 15 r^{2}$

$h = \sqrt{15} r$ .

Wobec tego objętość stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{15} r = \frac{\sqrt{15}}{3} π r^{3}$ .

Ćwiczenie 13

Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej $16 π \sqrt{2}$ i polu powierzchni całkowitej $16 π \sqrt{2} + 8 π$ . Oblicz objętość tego stożka.

Na początku oblicz pole podstawy i z tej informacji wyznacz promień podstawy $r$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1HtiCdXCVrSK

Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:

$P_{c} = P_{p} + P_{b} = π r^{2} + π r l$ .

Ponieważ $P_{c} = 16 π \sqrt{2} + 8 π$ oraz $P_{b} = 16 π \sqrt{2}$ , zatem:

$P_{p} = 16 π \sqrt{2} + 8 π - 16 \sqrt{2} π = 8 π$ .

Jeżeli wykorzystamy wzór na pole powierzchni podstawy stożka, to długość promienia podstawy stożka wyznaczymy z równania:

$8 π = π r^{2}$

$r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Wiadomo, że pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru $P_{b} = π r l$ , zatem:

$π \cdot 2 \sqrt{2} \cdot l = 16 π \sqrt{2}$ , czyli $l = 8$ .

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} = 56$ , czyli $h = 2 \sqrt{14}$

Wobec tego objętość stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{14} = \frac{16}{3} π \sqrt{14}$ .

R1EhLd7D00DFm1

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Średnica kredki woskowej wynosi $6 mm$ , a jej pozostałe wymiary, jak na rysunku poniżej.

RAyQHXpKl6T36

Średnica kredki woskowej wynosi $6 mm$ , wysokość całej kredki wynosi $9 cm$ , natomiast wysokość kredki bez zatemperowanego stożka u góry wynosi $8 cm$ .

RK0Y58rg0Ll33

Ćwiczenie 16

R1BuzUy8X5Ydz

Rpn0A7MWgglCg

Ćwiczenie 17

Kieliszek w kształcie stożka na rysunku jest napełniony wodą do $\frac{3}{4}$ wysokości.

R1ELLu4FLoTMA

Kieliszek w kształcie stożka jest napełniony wodą do $\frac{3}{4}$ wysokości, ma on wysokość równą $8 cm$ i promień podstawy równy $4 cm$ . Kieliszek w kształcie walca jest pusty, walec stoi na nóżce o długości $2 cm$ . Średnica podstawy walca wynosi $4 cm$ , natomiast wysokość całego kieliszka w kształcie walca, razem z nóżką wynosi $6 cm$ .

RifhInRxGDSf5

R6xz28A8DjQOb2

Ćwiczenie 18

Ćwiczenie 19

Metalowa doniczka w kształcie stożka jest wykonana z metalowego wycinka koła o powierzchni $169 π {cm}^{2}$ i kącie środkowym $90 °$ . Jaką wysokość ma ta doniczka?

R1Pe35bZLgZD5

Ilustracja przedstawia na marmurowym tle metalową doniczkę w kształcie stożka, z której wystają szerokie liście oraz kilka mniejszych gałązek.

Na początek z informacji o powierzchni bocznej wyznacz długość tworzącej $l$ .

Obliczamy długość tworzącej tego stożka. Mamy więc $\frac{90 °}{360 °} \cdot π \cdot l^{2} = 169 π$ , a stąd $l^{2} = \frac{4}{1} \cdot 169 = 676$ . A stąd $l = 26 cm$ . A zatem $r = \frac{1}{4} \cdot 26 = 6, 5 cm$ .

Obliczamy wysokość tej doniczki z twierdzenia Pitagorasa: $6, 5^{2} + h^{2} = 26^{2}$ , a stąd $h \approx 25, 2 cm$ .

Doniczka ma wysokość około $25, 2 cm$ .

Ćwiczenie 20

Pewna manufaktura produkuje klocki. Zestaw klocków zawiera $150$ sztuk, po $50$ każdego rodzaju przedstawionego na rysunku. Wydajność farby wynosi $6 \frac{m^{2}}{l}$ , a do dyspozycji są $2 l$ farby. Ile pełnych zestawów klocków można pomalować tą farbą, jeżeli kładzione są dwie warstwy? Przyjmij $π = 3, 14$ .

R15MsYgR4JkZa

Pewna manufaktura produkuje klocki. Zestaw klocków zawiera $150$ sztuk, po $50$ każdego z trzech rodzajów: stożek o tworzącej $3 cm$ i średnicy podstawy $4 cm$ , walec o wysokości $4 cm$ i średnicy podstawy $2 cm$ , stożek o wysokości $2 cm$ i średnicy podstawy $2 cm$ . Wydajność farby wynosi $6 \frac{m^{2}}{l}$ , a do dyspozycji są $2 l$ farby. Ile pełnych zestawów klocków można pomalować tą farbą, jeżeli kładzione są dwie warstwy? Przyjmij $π = 3, 14$ .

Obliczymy pola powierzchni brył na rysunku:

$P_{s 1} = π \cdot 2^{2} + π \cdot 2 \cdot 3 = 10 π$

$P_{w} = 2 π \cdot 1^{2} + 2 π \cdot 1 \cdot 4 = 10 π$

$P_{s 2} = π \cdot 1^{2} + π \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = π + π \sqrt{5}$ (długość tworzącej drugiego stożka obliczamy z twierdzenia Pitagorasa)

A zatem łącznie powierzchnia do pomalowania wynosi $P = 50 \cdot (21 + \sqrt{5}) π \approx 3648 {cm}^{2}$ .

Malując dwukrotnie: mamy około $7296 {cm}^{2} = 0, 7296 m^{2}$ .

$2 l$ farby wystarczą na pomalowanie powierzchni $12 m^{2}$ . A zatem $12 : 0, 7296 \approx 16, 4$ , co oznacza, że można pomalować $16$ pełnych zestawów klocków.

Można pomalować $16$ pełnych zestawów klocków.

Ćwiczenie 21

Czapeczka urodzinowa ma wysokość $8 cm$ . Jaki powinien być promień wycinka koła, z którego powstanie czapeczka, jeżeli kąt środkowy wycinka ma miarę $216 °$ ? Czy szablon tej czapeczki można wyciąć z arkusza A4?

Zauważ że zależność pomiędzy długością promienia, a tworzącą wynosi $r = \frac{216 °}{360 °} l = \frac{3}{5} l$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $r = \sqrt{l^{2} - h^{2}} = \sqrt{l^{2} - 64}$ .

Z zależności pomiędzy długością promienia, a tworzącą $r = \frac{216 °}{360 °} l = \frac{3}{5} l$ .

Możemy więc utworzyć równanie z jedną niewiadomą: $\frac{3}{5} l = \sqrt{l^{2} - 64}$ .

Podnosząc stronami do potęgi drugiej otrzymujemy: $\frac{9}{25} l^{2} = l^{2} - 64$ , a zatem $\frac{16}{25} l^{2} = 64$ i stąd $l = 10 cm$ .

Tworząca stożka jest promieniem wycinka stanowiącego powierzchnię boczną stożka, a więc promień tego wycinka ma długość $10 cm$ .

Średnica wycinka ma długość $20 cm$ , więc można wyciąć szablon z kartki A4.

Promień wycinka koła $l = 10 cm$ . Można wyciąć szablon z kartki A4.

stożek

bryła obrotowa powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wzdłuż przyprostokątnej lub trójkąta równoramiennego wokół wysokości poprowadzonej na podstawę

tworząca

odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem na okręgu podstawy

wysokość stożka

odcinek łączący wierzchołek stożka ze środkiem jego podstawy

4. Stożek i jego siatka

6. Kula. Pole powierzchni i objętość kuli