1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

R1XFDZB6OPJXQ

W tym rozdziale zajmiemy się funkcjami zwanymi wielomianami. Każda funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ i każda funkcja kwadratowa $g (x) = a x^{2} + b x + c$ jest wielomianem. Innymi przykładami wielomianów są funkcje

$W (x) = x^{3} - 2 x$

$V (x) = 2 x^{7} - 3 x^{2} + 3$

$R (x) = 10 x^{5}$

Twoje cele

Poznasz pojęcie wielomianu.
Określisz stopień wielomianu jednej zmiennej.
Ustalisz, czym różni się wielomian zerowy od wielomianu stopnia zero.
Poznasz przykłady porządkowania wielomianów z jedną zmienną.
Udoskonalisz umiejętności nabyte przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych.

Wielomian

Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej $x$ stopnia $n$ , ( $n$ – liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

gdzie $x \in ℝ$ , $a_{n} \neq 0$ oraz $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ są liczbami rzeczywistymi.

Liczby $a_{n}$ , $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ nazywamy współczynnikami wielomianu.

Przykłady wielomianów $W (x) = - 3 x^{6} + 12 x^{5} - x^{3} - 1$

$W (x) = 2 x - x^{2} + 4 x^{3} - 8 x^{8} + x^{6} - 2 x^{7}$

$f (x) = - \frac{3 x^{5}}{4} + 11 x^{3} - 17 \sqrt[3]{5} x^{6} + \frac{13}{2 + \sqrt{3}}$

Przykłady funkcji, które nie są wielomianami

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - \frac{5}{x} + 3$

$g (x) = - 3 \sqrt{x} + 4 x^{3} + \frac{x}{3 + x}$

Wielomian jest funkcją zmiennej $x$ . Możemy obliczyć jego wartość dla danego argumentu $x .$ .

Przykład 1

Obliczmy wartość wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x$ dla $x = - 2$ oraz dla $x = - \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie:

W miejsce $x$ podstawiamy liczbę $(- 2)$ i otrzymujemy

$W (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2) = - 8 + 4 = - 4$

W miejsce $x$ podstawiamy liczbę $(- \sqrt{2})$ i otrzymujemy

$W (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 2 \cdot (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 0$

Zauważmy, że $W (- \sqrt{2}) = 0$ , zatem liczba $x = \sqrt{2}$ jest miejscem zerowym wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x$ . Miejsce zerowe wielomianu nazywamy często, podobnie jak miejsce zerowe funkcji kwadratowej, pierwiastkiem tego wielomianu.

Stopień wielomianu

Definicja: Stopień wielomianu

Dany jest wielomian $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ,
przy czym $a_{n} \neq 0$ .

Stopniem wielomianu nazywamy liczbę $n$ odpowiadającą najwyższemu wykładnikowi potęgi o podstawie $x$ .
Jeżeli $W (x) = a_{0}$ i $a_{0} \neq 0$ , to wielomian jest stopnia $0$ .
Jeżeli $W (x) = 0$ , to jest wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym i nie ma określonego stopnia.

Stopień wielomianu $W (x)$ możemy oznaczać symbolem $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

Przykładowe wielomiany i ich stopnie

$W_{1} (x) = 32 x^{5} - 80 \sqrt{2} x^{4} + 160 x^{3} - 80 \sqrt{2} x^{2} + 40 x - 4 \sqrt{2}$ ,
stopień wielomianu: $deg (W_{1} (x)) = 5$ .

$W_{2} (x) = (3 x^{2} + 1)^{12}$ ,
stopień wielomianu: $deg (W_{2} (x)) = 24$ .

$W_{3} (x) = (5 x^{6} - 2 x^{5} + 3 x^{2} - 11) - 5 x^{3} (x^{3} + 3 x - 1)$ ,
stopień wielomianu: $deg (W_{3} (x)) = 5$ , ponieważ współczynnik przy $x^{6}$ po redukcji wyrazów podobnych wyniesie $0$ .

Przykład 2

Określmy stopień podanych wielomianówstopień wielomianu jednej zmiennejstopień podanych wielomianów

RVGZVOD45594O

W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego

Wiadomo, że W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu
Zauważmy, że obliczając ten iloczyn najwyższą potęgę przy x uzyskamy w składniku siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej trzy x, razy, trzy x, razy, wielokropek, razy, trzy x, równa się, trzy indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, x indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego
Zatem deg nawias, W nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście

, P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego

P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu
Składnikiem o najwyższej potędze będzie dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, wielokropek, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, x indeks górny, czterdzieści dwa, koniec indeksu górnego
zatem deg nawias, P nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści dwa

, Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzysta, koniec indeksu górnego

Wiemy, że Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzysta razy poniżej ⏟ poniżej nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu
Rozumując analogicznie jak poprzednio uzyskujemy deg nawias, Q nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa tysiące sto

W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego

Wiadomo, że W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu
Zauważmy, że obliczając ten iloczyn najwyższą potęgę przy x uzyskamy w składniku siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej trzy x, razy, trzy x, razy, wielokropek, razy, trzy x, równa się, trzy indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, x indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego
Zatem deg nawias, W nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście

P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu
Składnikiem o najwyższej potędze będzie dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, wielokropek, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, x indeks górny, czterdzieści dwa, koniec indeksu górnego
zatem deg nawias, P nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści dwa

Wiemy, że Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzysta razy poniżej ⏟ poniżej nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu
Rozumując analogicznie jak poprzednio uzyskujemy deg nawias, Q nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa tysiące sto

W przypadku wielomianu jednej zmiennej porządkujemy go zwykle w kolejności malejących stopni jednomianów - czyli doprowadzamy do znanej z definicji wielomianu postaci $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ .

Przykład 3

Uporządkujmy wielomian $W (x) = - 3 x + 11 x^{7} - 5 x^{2} - 7 x^{3} - 2 x^{7} - 9$

R1ZQVKTTHE5LA

Przykład 4

W podobny sposób uporządkujmy wielomian $W (x) = 7 x \sqrt{3} - 12 x^{3} + x \sqrt{5} + 4 x^{2} \sqrt{2} - 9 x - x^{2} \sqrt{11} + 4 - 8 \sqrt{2} x^{3}$ .

R48JS25LGE5SX

minus, dwanaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, wielokropek, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, wielokropek, plus, siedem x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, x pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dziewięć x W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego plus, nawias, siedem pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, x, plus, wielokropek, plus, cztery W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego plus, nawias, siedem pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, x, plus, cztery

Prezentacja multimedialna

Dany jest wielomian jednej zmiennej $x$ , w którego zapisie występują również parametry. Przeanalizuj poniższą prezentację pokazującą, jak uporządkować taki wielomian

RNZ71REXR4AHF

Polecenie 1

Postępując analogicznie jak w prezentacji, uporządkuj wielomian $W (x) = 3 \sqrt{7} x^{6} - 2 x^{2} + 5 \sqrt{2} x^{3} + 4 x^{6} - 11 x + 7 x^{2} - \sqrt[3]{2} x +$ $+ \frac{2}{3} + \frac{x^{3}}{2} - 5 \sqrt{3} x^{5} + 3 \sqrt{5} x^{3}$ , zapisując go w kolejności malejących potęg przy niewiadomej.

$W (x) = (3 \sqrt{7} + 4) x^{6} - 5 \sqrt{3} x^{5} + \frac{10 \sqrt{2} + 1 + 6 \sqrt{5}}{2} x^{3} + 5 x^{2} - (11 + \sqrt[3]{2}) x + \frac{2}{3}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R8UT1GQDBT6F31

Ćwiczenie 1

RT5LJBL426QBB1

Ćwiczenie 2

R718A94GCJDGL2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

R13Z5MNRVD3LZ

R114F3PDZVTFN

Dany jest wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, pięć. Dobierz w pary wartości tego wielomianu dla odpowiednich argumentów x. W nawias, zero, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, cztery, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem

RX9GQD2RA9AZE2

Ćwiczenie 5

R9U4PMNGEU1UN2

Ćwiczenie 6

RGKJPQF3FX87L1

Ćwiczenie 7

Pogrupuj wielomiany według ich stopnia. wielomian stopnia zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia większego od trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 8

RKAVM1SD5HRZH

R5SD9M86DUKD6

Dobierz w pary wielomiany tego samego stopnia. nawias pięć x zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu dwa x, plus, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu nawias x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu dwa, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu dwa, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu

R1Q4JM757KVA32

Ćwiczenie 9

R15ZNUMFLRTCZ2

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

RQ7RE1NQUXPAE1

Określ stopień każdego z podanych wielomianów i podaj wartość jego wyrazu wolnego. $W (x) = 3 x^{5} - 2 x^{3} + 7, P (x) = 5 x^{6} - 4 x^{2} + 7, Q (x) = 5 x^{3} - 4 x^{2} + 7$

R1L413E8G44BT

R52OPJEQMGPHD1

Ćwiczenie 12

R1NHBQP7TNOEV1

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

RE56EVO677O8T

Zaznacz odpowiednimi kolorami składniki, których suma po uporządkowaniu utworzy podane wielomiany. Kolorem czerwonym zaznacz składniki wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka. Kolorem zielonym zaznacz składniki wielomianu P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka Kolorem żółtym zaznacz składniki wielomianu Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

\frac{1}{24} x^{}

\frac{1}{12} x^{}

\frac{1}{6} x^{}

\frac{1}{3} x^{}

\frac{2}{3} x^{}

\frac{1}{24}^{}

\frac{1}{12}^{}

\frac{1}{6}^{}

\frac{1}{3}^{}

\frac{2}{3}^{}

\frac{1}{24} x^{}

\frac{1}{12} x^{}

\frac{1}{6} x^{}

\frac{1}{3} x^{}

\frac{2}{3} x^{}

\frac{1}{24}^{}

\frac{1}{12}^{}

\frac{1}{6}^{}

\frac{1}{3}^{}

\frac{2}{3}^{}

RR2ESTVX5ONKS

Uporządkuj podane elementy w taki sposób, aby składniki dawały podany wielomian. W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, plus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 11. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, indeks górny, 13. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 14. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 15. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, indeks górny, 16. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, 17. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 18. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 19. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, indeks górny, 20. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, plus, x indeks górny, dwa, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 11. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, indeks górny, 13. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 14. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 15. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, indeks górny, 16. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, 17. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 18. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 19. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, indeks górny, 20. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 11. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, indeks górny, 13. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 14. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 15. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, indeks górny, 16. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, 17. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 18. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 19. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, indeks górny, 20. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa

Słownik

Wielomian

Wielomianem zmiennej $x$ stopnia $n$ , ( $n$ – liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

gdzie $x \in ℝ$ , $a_{n} \neq 0$ oraz $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ są liczbami rzeczywistymi.

współczynniki wielomianu

Liczby
$a_{n}$ , $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ występujące w wielomianie $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

jednomian zmiennej

x

jednomian zmiennej

x

Funkcja postaci $W (x) = a x^{n}$ , gdzie

a \in ℝ ∖ {0}, n \in ℕ_{+}

wyraz wolny wielomianu

składnik wielomianu, w którym nie występuje zmienna

stopień wielomianu jednej zmiennej

dla wielomianu $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ (przy założeniu, że $a_{n} \neq 0$ ) to liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi wielomianu; jeśli wielomian jest stałą niezerową, to jego stopień wynosi $0$ ; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Symbol stopnia wielomianu $W (x)$ : $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia

2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany